音樂與數學

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畢達哥拉斯在世界上第一次發現了音樂和數學的聯繫

2500年前的一天，古希臘哲學家畢達哥拉斯外出散步，經過一家鐵匠鋪，發現裡面傳出的打鐵聲響，要比別的鐵匠鋪更加協調、悅耳。他走進鋪子，量了又量鐵鎚和鐵砧的大小，發現了一個規律，音響的和諧與發聲體體積的一定比例有關。爾後，他又在琴弦上做試驗，進一步發現只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以產生悅耳的音程：如1:2產生八度，2:3產生五度，3:4產生四度等等。就這樣，畢達哥拉斯在世界上第一次發現了音樂和數學的聯繫。他繼而發現聲音的質的差別（如長短、高低、輕重等）都是由發音體數量方面的差別決定的。千百年來，研究音樂和數學的關係在西方一直是一個熱門的課題，從古希臘畢達哥拉斯學派到現代的宇宙學家和計算機科學家，都或多或少受到「整個宇宙即是和聲和數」的觀念的影響，開普勒、伽利略、歐拉、傅立葉、哈代等人都潛心研究過音樂與數學的關係。數學幾何與哲學相契攜行，滲進西方人的全部精神生活，透入到一切藝術領域而成為西方藝術的一大特色。聖奧古斯汀更留下「數還可以把世界轉化為和我們心靈相通的音樂」的名言。現代作曲家巴托克、勛伯格、凱奇等人都對音樂與數學的結合進行大膽的實驗。希臘作曲家克賽納基斯（1933~）創立「演算法音樂」，以數學方法代替音樂思維，創作過程也即演算過程，作品名稱類乎數學公式，如《 S+/10-1.080262 》為10件樂器而作，是1962年2月8日算出來的。馬卡黑爾發展了施托克豪森的「圖表音樂」（讀和看的音樂）的思想，以幾何圖形的輪轉方式作出「幾何音樂」。

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我們這個世界可以由音樂的音符組成也可以由數學公式組成

數學是研究現實世界空間形式的數量關係的一門科學，它早已從一門計數的學問變成一門形式符號體系的學問。符號的使用使數學具有高度的抽象。而音樂則是研究現實世界音響形式及對其控制的藝術。它同樣使用符號體系，是所有藝術中最抽象的藝術。數學給人的印象是單調、枯燥、冷漠，而音樂則是豐富、有趣，充溢著感情及幻想。表面看，音樂與數學是「絕緣」的，風馬牛不相及，其實不然。德國著名哲學家、數學家萊布尼茨曾說過：「音樂，就它的基礎來說，是數學的；就它的出現來說，是直覺的。」而愛因斯坦說得更為風趣：「我們這個世界可以由音樂的音符組成也可以由數學公式組成。」數學是以數字為基本符號的排列組合，它是對事物在量上的抽象，並通過種種公式，揭示出客觀世界的內在規律：而音樂是以音符為基本符號加以排列組合，它是對自然音響的抽象，並通過聯繫著這些符號的文法對它們進行組織安排，概括我們主觀世界的各種活動罷了，正是在抽象這一點上將音樂與數學連結在一起，它們都是通過有限去反映和把握無限。

數學和音樂位於人類精神的兩個極端，一個人全部創造性的精神活動就在這兩個對立點的範圍之內展開，而人類在科學和藝術領域中所創造出來的一切都分布在這兩者之間。音樂和數學正是抽象王國中盛開的瑰麗之花。有了這兩朵花，就可以把握人類文明所創造的精神財富。被稱為數論之祖的希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯認為：「音樂之所以神聖而崇高，就是因為它反映出作為宇宙本質的數的關係。」世界上哪裡有數，哪裡就有美。數學像音樂及其它藝術能喚起人們的審美感覺和審美情趣。在數學家創造活動中，同樣有情感、意志、信念、冀望等審美因素參與，數學家創造的概念、公理、定理、公式、法則如同所有的藝術形式如詩歌、音樂、繪畫、雕塑、戲劇、電影一樣，可以使人動情陶醉，並從中獲得美的享受。

古希臘歐幾里德在《幾何原本》所建立的幾何體系，諶稱為「雄偉的建築」，「莊嚴的結構」，「巍峨的階梯」。它使得多少科學少年為之神往！數學中優美的公式就如但丁神曲中的詩句，黎曼幾何學與肖邦的鋼琴曲一樣優美。當你讀到某函數可演算為無窮級數形式的時候，你的胸坎頓時也會充滿一種人與天地並立的浩然之氣。當你面對圓周率π=3.141592653……時，也許不會引起你的任何美感，但是當你知道這個數表示一切你所見到的和未見到的，小至墨水瓶蓋大至一個星球之圓形的周長與直徑之比值時，你會為之讚歎！無窮級數的和諧和對稱性就具有一種崇高美，讀它就像讀一首數學詩，它彷彿是漂浮在蔚蘭天空的一片白雲，無邊無際。猶如宋朝朱敬儒的名句所道出的境界：「晚來風定釣絲閑，上下是新月。千里水天一色，看孤鴻明滅。」

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數字1～7在音樂中是神奇數字

反觀數之美也蘊含於音樂藝術之中，驗證了萊布尼茨的名言：「音樂是數學在靈魂中無意識的運算。」眾所周知，古今中外的音樂雖然千姿百態，但都是由7個音符（音名）組成的，數字1～7在音樂中是神奇數字：

數字1：萬物之本。《老子》云：「道生一、一生二、二生三、三生萬物。」整個宇宙就是一個多樣統一的和諧整體。這也是一條美感基本法則，適用於包括音樂在內的所有藝術及科學之中。古希臘數學家尼柯瑪赫早就提出「音樂是對立因素的和諧的統一，把雜多導致統一，把不協調導致協調。」簡言之，便是「一」變「多」，「多」變「一」的原理。中國俗語也說：「九九歸一」。文藝復興時期以來五百年的專業音樂在內容上和形式上儘管存在天壤之別，但都共同遵循這個原理。音樂上許多發展樂思的手法，如重複、變奏、衍生、展開、對比等等，有時強調統一，有時強調變化，綜合起來，就是在統一中求變化，在變化中求統一。單音是音樂中最小的「細胞」，一個個單音按水平方向連結成為旋律、節奏，按垂直方向縱合成為和弦，和聲。樂段（一段體）是表達完整樂思的最小結構單位。

數字2：巴洛克、古典、浪漫派音樂使用大小調調式體系，形成音階與和聲學的二元論（dualistic theory）。

數字3：三個音按三度音程疊置成為各種各弦。三和弦是最常用的和聲建築材料。愛因斯坦認為不管是音樂家還是科學家都有一個強烈的願望，「總想以最適合的方式來畫出一幅簡化的和易於領悟的世界圖像。」數字「2」與「3」在音樂中概括了最基本的節拍類型二拍子與三拍子以及曲式類型二段式三段式；T2=D3是開普勒行星運動第三定律的數學公式，表示行星公轉周期（T）的二次方與它同太陽距離（D）的三次方相等。開普勒從大量十分零亂的觀測資料中發現了這個自然規律，它是那樣簡潔、優美，被人稱為奇妙的「2」與「3」。T2=D3令人感到一種多麼簡潔的美感！

數字4：人聲天然地劃分為四個聲部，任何複雜的多聲部音樂作品都可以規範為四部和聲。我們平時所彈奏的鋼琴作品的曲式結構，大多數都是「古典四方體」方整結構，即4+4+4+4…… ，4小節為一樂句，8小節為一樂段。

數字5：五度相生律（畢達哥拉斯律）及五度循環揭示了樂音組織的奧秘，而和聲五度關係法則是構築和聲大廈的基石。

數字6：六和弦、六聲音階、一個八度之內有六個全音，常用的調是主調及其五個近關係副調。

數字7：更顯神秘莫測，常用的七聲音階由七個音級組成，巴洛克時期以前採用中古教會七種調式，19世紀民族樂派之後中古教會七聲調式部分地得到復興。太陽光譜由紅、橙、黃、綠、青、藍、紫七色組成，以牛頓為代表的科學家，曾對「七音」與「七色」之間奧妙的對應關係進行過有趣的探索。人體生理結構分為七大系統。舊約聖經中上帝創造世界用了七天，因此一個星期有七天。就連神話中的牛郎織女也選「七夕」（農曆七月初七晚上）來相會。化學元素是物質世界的基礎，門捷列夫發現的「元素周期表」的結構圖中有七個橫行，七個周期，還有七個主族，七個副族。

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菲波那齊數列、黃金分割比例在音樂中的普遍應用

任何空間物體、圖形都可以簡化、抽象為點 — 線 — 面 — 體幾何圖形，顯示出數理統一與和諧的美。同樣任何鋼琴作品也可據此進行簡化和抽象。例如：橫向時間系列分為樂句 — 樂段 — 樂章 — 套曲；縱向空間系列分為音級 — 音程 — 和弦 — 和聲；鋼琴織體層次分為單音一單聲部一聲部層（或伴奏層）織體類型。

某些數列廣泛地應用於音樂之中，如等比數列1、2、4、8、16、32用於音符時值分類及音樂曲式結構中；菲波那齊（也譯作斐波那契，小編注）數列用於黃金分割及樂曲高潮設計中。

菲波那齊是13世紀義大利數學家，他於1228年提出一個兔子繁殖數問題：「如果有一對小兔，兩個月後就能生，每月生一對，生下來的小兔也是如此，如果都不死，一年以後有多少對？」打從那以後，人們越來越注意這個數學題的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……這便是奇妙的菲波那齊數列。這個整數列有三個特點：（1）任何相鄰兩個數，其第一個數與第二個數的比值約等於0.618，相鄰兩個數的位置越靠後，比值越接近，稱為黃金比率。（2）任何相鄰三個數，其中前兩個數之和等於第三個數，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此類推。（3）任何相鄰三個數，其中第一個數和第三個數的乘積與第二個數的平方相差1。

從自然界到日常生活處處都存在菲波那齊數列，存在黃金比率。某些花的花瓣數是菲波那齊數：水仙花3瓣，金鳳花5瓣，翠雀花8瓣，金盞花13瓣，紫苑花21瓣，雛菊花34，55或89瓣，向日葵的花盤上面有21個順時針旋形與34個逆時針旋形；在動物中還可以發現一些軟體動物的甲殼花紋、昆蟲翅膀對的數目在一定程度上符合這個數列；一些無機物質的原子排列、分子的締合形式也與這個數列接近。人體最理想的比例（最靚的身材）應是上半身及下半身（以肚臍為界）的比值與黃金比率相吻合，例如一個模特的身高為1.618米，則上半身為0.618米，下半身為1米。如果再細分，上半身的黃金點在咽喉，面部的黃金點是眼睛，下半身的黃金點在膝蓋。

建築物廊柱間的比例，繪畫、攝影構圖地平線的分割，主體在畫幅中的位置，一本書長與寬的比例如果符合黃金比率的話就顯得美，如果改為1：1則顯得呆板，單調。文學、戲劇與詩歌寫作中的起、承、轉、合原則，所謂「轉」便是轉折、對比，是寫作的關鍵所在。「轉」在整個結構部位中接近黃金分割點。

菲波那齊數列在音樂中得到普遍的應用，如常見的曲式類型與菲波那齊數列頭幾個數字相符，它們是簡單的一段式、二段式、三段式和五段迴旋曲式。大型奏鳴曲式也是三部性結構，如再增加前奏及尾聲則又從三發展到五部結構。黃金分割比例與音樂中高潮的位置有密切關係。我們分析許多著名的音樂作品，發覺其中高潮的出現多和黃金分割點相接近，位於結構中點偏後的位置：小型曲式中8小節一段式，高潮點約在第5小節左右（見本教程曲44，第一個8小節樂段）；16小節二段式，高潮點約在第10小節左右；24小節帶再現三段式，高潮點在第15小節左右。

本教程曲46《夢幻曲》是一首帶再現三段曲式，由A、B和A′三段構成。每段又由等長的兩個4小節樂句構成。全曲共分6句，24小節。理論計算黃金分割點應在第14小節（24×0.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。有些樂曲從整體至每一個局部都合乎黃金比例，本曲的六個樂句在各自的第2小節進行負相分割（前短後長）；本曲的三個部分A、B、Aˊ在各自的第二樂句第2小節正相分割（前長後短），這樣形成了樂曲從整體到每一個局部多層複合分割的生動局面，使樂曲的內容與形式更加完美。大、中型曲式中的奏鳴曲式、復三段曲式是一種三部性結構，其他如變奏曲、迴旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黃金比例的原則在這些大、中型樂曲中也得到不同程度的體現。一般來說，曲式規模越大，黃金分割點的位置在中部或發展部越靠後，甚至推遲到再現部的開端，這樣可獲得更強烈的藝術效果。如本教程曲64莫扎特《D大調奏鳴曲》第一樂章全長160小節，再現部位於第99小節，不偏不依恰恰落在黃金分割點上（160×0.618=98.88）。據美國數學家喬·巴茲統計，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，這個結果令人驚嘆。我們未必就能弄清，莫扎特是有意識地使自己的樂曲符合黃金分割呢，抑或只是一種純直覺的巧合現象。然而美國的另一位音樂家認為。「我們應當知道，創作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數字遊戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，並有意識地運用它的。」

貝多芬《悲愴奏鳴曲》Op.13第二樂章是如歌的慢板，迴旋曲式，全曲共73小節。理論計算黃金分割點應在45小節，在43小節處形成全曲激越的高潮，並伴隨著調式、調性的轉換，高潮與黃金分割區基本吻合。

肖邦的《降D大調夜曲》是三部性曲式。全曲不計前奏共76小節，理論計算黃金分割點應在46小節，再現部恰恰位於46小節，是全曲力度最強的高潮所在，真是巧奪天工。

拉赫曼尼諾夫的《第二鋼琴協奏曲》第一樂章是奏鳴曲式，這是一首宏偉的史詩。第一部分呈示部悠長、剛毅的主部與明朗、抒情的副部形成鮮明對比。第二部分為發展部，結構緊湊，主部、副部與引子的材料不斷地交織，形成巨大的音流，音樂爆發高潮的地方恰恰在第三部分再現部的開端，是整個樂章的黃金分割點，不愧是體現黃金分割規律的典範。此外這首協奏曲的局部在許多地方也符合黃金比例。

我們再舉一首大型交響音樂的範例，俄國偉大作曲家裡姆斯－柯薩科夫在他的《天方夜譚》交響組曲的第四樂章中，寫至辛巴達的航船在洶湧滔天的狂濤惡浪里，無可挽回地猛撞在有青銅騎士像的峭壁上的一剎那，在整個樂隊震耳欲聾的音浪中，樂隊敲出一記強有力的鑼聲，鑼聲延長了六小節，隨著它的音響逐漸消失，整個樂隊力度迅速下降，象徵著那艘支離破碎的航船沉入到海底深淵。在全曲最高潮也就是「黃金點」上，大鑼致命的一擊所造成的悲劇性效果懾人心魂。

黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為「天然合理」的最美妙的形式比例。世界上到處都存在數的美，對於我們的眼睛，尤其是對我們學習音樂的人的耳朵來說，「美是到處都有的，不是缺乏美，而是缺少發現」（羅丹語）。（選自蔡松琦、蔡幸子著《鋼琴寶典》）

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