開方乘10 記考分

弘揚數學文化，推動數學教育

本文選自《數學文化》第3卷第1期

張景中教授做客學者講壇

一次，筆者與張景中先生感嘆：「現在很多大學生平時用功不夠，以致考試時分數普遍較低，不及格人數占很大的比例。這給任課老師帶來麻煩，因為不少的大學都有成文或不成文的規定，不及格人數不能超過某個比例，否則該課程考試作廢，任課老師除了重新出試卷考試之外，還得寫檢查反省。」

張先生表示現在大學教育確實讓人擔憂，他說：「以前我讀書（在北京大學）和教書（在中國科技大學）的時候，也有類似的事情。不過不是因為學生學得不行，而是由於那時候的老師不出送分題，每一個題目都有一定難度，所以如果平時不用功的話，考試及格是很困難的。遇到這樣的情況，一些老師則會採取開方乘10 的算分方法，減少不及格的人數。所謂開方乘10，就是將考試分數開方之後再乘10。不過，大學生們還是不希望老師用開方乘10 這種計分法，因為這說明考開方乘10 記分考試結果已經是慘不忍睹了。」

學生考試不及格，老師想辦法加分，這種做法是對是錯，筆者在此不想作什麼評論。不過這種開方乘10 的算分方法，比起那種每人加多少分更有數學味一些。

如果設原來考試得分為x，那麼開方乘10 後則為10 √x 。容易發現，原來考0 分和考100 的人分數保持不變，可謂是「不動點」；而原本要考60 分才能及格，現在只要考36 分就可以了。

假設一個人的考試分數是由從0 到100 隨機取數的話，那麼開方乘10 這種記分方法就將及格的幾率從原來的40％提高到64％。但這個假設的前提是不成立的，因為現在考試的命題對難度有規定，一般都是要求基礎題、中等題、難題的比例為6 ：3 ：1，也就是說大部分分數都是很容易得的，倘若還按照開方乘10 的演算法，那麼及格的幾率遠比64％高很多。一個人若連36 分都得不到，那也確實是無可救藥了。

下面我們進行定量分析。

如果求函數10 √x ? x的導數的零點，可得到x=25 ，也就是說原來得25 分的人加分最多，可以加25 分。但這個加25 分的人卻不是最幸運的人，因為加分後仍然沒有及格。幸運的人應該是原來得分在36 至59 之間的，因為開方乘10 使他們從原來的不及格變及格了，而最幸運的應該是得36 分的人，儘管他只加了24 分。

對0 和100 之間所有的x 的值，我們可以驗證10√ x ? x的二階導數都恆小於0。也就是說開方乘10 這種記分方法除了兩個極端（0 分和100 分）之外，其餘的人都加了分。那麼這應該是皆大歡喜啊，但實際操作起來，還得考慮一個因素，就是考試分數都是整數，沒有小數。那麼原來得分開方乘10 之後，還得進行一次四捨五入的操作。舉例來說，甲如果考59 分，開方乘10後為76.81，四捨五入後為77 分；乙如果考60 分， 開方乘10 後為77.45，四捨五入後也為77 分；那麼，一個原來及格了的人竟然和一個原本沒有及格的人得一樣多的分數。也許此時乙的心裡會感到一些不平衡吧。

如果考試總分超過100 分，比如說是120 分， 那麼公式則改為√（120x） 。原則就是端點不變，其餘人或多或少都要加點分。

開方乘10 是誰最先創造的呢？有人說是錢學森先生。

錢先生擔任中國科技大學力學系主任後，給科大首屆力學系的學生的開卷考試只出了兩道題，第一道概念題，佔30 分；第二道題是真正的考驗，題目是：「從地球上發射一枚火箭，繞過太陽再返回到地球上來，請列出方程求解。」這道題可把全班學生都難住了。你若平時只會死讀書不會活運用，根本做不出來。考試從上午八點半開始，直到中午還沒有一個人交卷，中間還暈倒兩個學生被抬出去。錢老宣布說：「吃午飯吧，吃完接著考。」直到傍晚也做不出來，大家只好交卷。成績出來，竟有95％的人不及格。於是錢先生便想出了開方乘10 的妙招，結果80％的人都及格了，皆大歡喜。

作者簡介

彭翕成，現工作於武漢華中師範大學國家數字化學習工程技術研究中心。主要從事數學文化傳播和數學教育技術的普及。發表論文百餘篇，出版著作多部。

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