數學向理性的回歸

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人類歷史是一部探索自然和社會發展規律的編年史。

今天講述的是19 世紀的西方數學。

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18 世紀的數學過於重視在自然科學中的應用，是近代以來西方數學背離古希臘數學的理性傳統最遠的時期。從19 世紀開始，西方數學界這種重應用、輕理性的風氣終於逐漸發生了改變。首先，極限定義問題引發了數學家們越來越大的憂慮，貝克萊引發的第二次數學危機已經到了必須予以解決的地步。1821 年，法國數學家柯西（Augustin-LouisCauchy，1789—1857）開始在極限概念的定義上取得突破，1841 年之後，德國數學家魏爾斯特拉斯（Karl T.W. Weierstra?，1815—1897）為極限提出了更完善的ε-δ 定義，一直應用至今。在柯西的努力下，微積分中一些重要的概念如連續、可導性、微分、積分、無窮級數的和等概念也都有了較為堅實的理論基礎。這種分析數學方法，實際上就是在向古希臘數學精神回歸。

但是在柯西之後，魏爾斯特拉斯等人發現為極限提出明確定義並沒有完全解決第二次數學危機，因為極限的定義會牽涉到實數，而實數仍然是一個未定義概念。他們通過各自的研究，獨立為實數提出了定義，這樣到19 世紀90年代，實數理論也得到了充分的建立，微積分終於有了較為牢固的基礎，第二次數學危機得到了徹底解決。

柯西雖然在分析數學領域做出了這樣重大的貢獻，但他卻因另外兩件事而備受後人指責，這就是他對挪威青年數學家阿貝爾（Niels H. Abel，1802—1829）和法國青年數學家伽羅瓦（éveriste Galois，1811—1832）的輕視。阿貝爾和伽羅瓦都把自己有關群論（group theory）的劃時代的數學論文送給柯西，結果卻被柯西弄丟了，導致他們的成果沒有立即得到重視。柯西的這種作風，反映了當時數學界的眼界多少有些狹隘。當然，平心而論，這兩位青年數學家的悲劇和他們的短命也有很大關係——阿貝爾因病去世，伽羅瓦則死於決鬥。在他們英年早逝之後，他們在群論方面的研究成果很快就得到了學界承認，作為最古老的數學分支之一的代數學由此進入了一個更為抽象、更為高等的新時代，數學也因此開拓了全新的研究領域。

另一位和柯西一樣對數學做出重大貢獻、卻背負了不愛惜人才惡名的數學家是德國的高斯（Karl Gau?，1777—1855）。高斯多才多藝，在數學和其他很多學科都取得了出色成果，其中最值得一提的是他為初等數論所做的奠基性貢獻，這為數學開拓了另一個被後人稱為「數學皇冠上的明珠」的領域——數論。但他不願與人交往，更懶於提攜後進。阿貝爾在拜訪柯西之前，曾經把自己的論文給高斯看過，據說高斯只看了幾行就丟到了一邊。更令人心寒的是，高斯很早就懷疑歐氏幾何中的第五公設（過已知直線外一點，能且只能作一條直線與已知直線不相交）不可能由其他4 條公設證明，更換這條公設可以建立非歐幾何體系，但是他自己擔心受人指責，生前一直沒有公布這方面的研究。俄國數學家羅巴切夫斯基（Н.И.Лобачевский，1792—1856）在1826 年公開建立了非歐幾何中的羅氏幾何（其第五公設更換為「過已知直線外一點，至少可以作兩條直線與已知直線不相交」），但在他飽受學界攻擊的時候，高斯也未能站出來對這位數學後輩表示支持。當時的數學界之所以不能接受非歐幾何，根本原因仍在於囿於數學須有應用性的成見，而無法接受邏輯謹嚴、但在現實中找不到對應物的幾何體系。直到羅巴切夫斯基去世之後，非歐幾何才逐漸為世人所接受。

無論是柯西、魏爾斯特拉斯等人對分析數學的貢獻，還是高斯、阿貝爾、伽羅瓦、羅巴切夫斯基等人對數學新領域的開拓，都說明數學在19 世紀獲得了長足進步，逐漸擺脫應用性的限制，而走在重新回到古希臘數學的道路之上。古希臘數學精神的巔峰，是歐氏幾何的公理化體系。在19 世紀末，數學研究的一大潮流，就是在各分支建立公理化體系，然後彼此再整合成更大的公理化的、統一的數學體系。這當中，德國數學家康托爾（Georg F. L. P. Cantor，1845—1918）建立的集合論最為著名，它不僅成為比實數理論更基本的公理體系，而且為20 世紀的數學研究開放了更多的門徑。然而，康托爾也因為其理論遭到許多攻擊，甚至一度為此精神崩潰。不過最終，數學界吸取了從阿貝爾到康托爾的一系列教訓，明確了數學的純理性本質，從而在20 世紀基本避免重蹈覆轍，把無謂的指責施加於新數學思想的先行者。今天，數學界在回答「數學有什麼用」的問題時，普遍還是願意先指出數學首先追求的是理性之美，而不是有用。這和古希臘哲人對「無用」的科學的追求已經基本合轍同拍。

當然，也不可否認，到了20 世紀，數學的發展在相當程度上仍然要受到物理學等自然科學的影響。統計學的發展在很大程度上就是因為生物學的需求。雖然在一些現代科學哲學學派看來，數學（及邏輯學）因為不涉及實證問題（簡單地說，就是理論是否能解釋和預測現象的問題）而不能歸入科學之列，但是從歷史主義角度來說，數學和自然科學的關係是非常緊密的，很多數學家同時也是自然科學家。這就是幾乎所有科學通史著作中都要把數學史包括進來的原因。

本文摘編自劉夙著《萬年的競爭：新著世界科學技術文化簡史》（北京：科學出版社，2017.4）。

ISBN 978-7-03-052332-7

責任編輯：侯俊琳 牛玲

今天，人類再次走到歷史的十字路口，對世界科技文化史本質的揭示，或許可以為解決當下的危及提供有益啟示。

《萬年的競爭：新著世界科學技術文化簡史 》創新地從演化論心理學入手，重新審視世界科技文化史。作者明確提出：自1.2萬年前的農業革命以來，人類仍然始終處在族群競爭之中；競爭所用的手段是各種自然技術和社會技術，以及作為一類特殊技術的科學。一部世界科技文化史，其實就是一部以族群關係為中心的世界史，相信不同領域讀者都可從中獲得豐富的啟示。

（本期編輯：王芳）

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