史上最簡潔易懂教程 用Excel理解梯度下降

AI 研習社按：本文作者為 Jahnavi Mahanta，前 American Express （美國運通公司）資深機器學習工程師、深度學習在線教育網站 Deeplearningtrack 聯合創始人。

Jahnavi Mahanta：對演算法的作用建立直覺性的理解——在我剛入門機器學習的時候，這讓我覺得非常困難。不僅僅是因為理解數學理論和符號本身不容易，也因為它很無聊。我到線上教程里找辦法，但裡面只有公式或高級別的解釋，在大多數情況下並不會深入細節。

就在那時，一名數據科學同事介紹給我一個新辦法——用 Excel 表格來實現演算法，該方法讓我拍案叫絕。後來，不論是任何演算法，我會試著小規模地在 Excel 上學習它——相信我，對於提升你對該演算法的理解、完全領會它的數學美感，這個法子簡直是奇蹟。

案例

讓我用一個例子向各位解釋。

大多數數據科學演算法是優化問題。而這方面最常使用的演算法是梯度下降。

或許梯度下降聽起來很玄，但讀完這篇文章之後，你對它的感覺大概會改變。

這裡用住宅價格預測問題作為例子。

現在，有了歷史住宅數據，我們需要創建一個模型，給定一個新住宅的面積能預測其價格。

任務：對於一個新房子，給定面積 X，價格 Y 是多少？

讓我們從繪製歷史住宅數據開始。

現在，我們會用一個簡單的線性模型，用一條線來匹配歷史數據，根據面積 X 來預測新住宅的價格 Ypred。

上圖中，紅線給出了不同面積下的預測價格 Ypred。

Ypred = a+bX

藍線是來自歷史數據的實際住宅價格 Yactual。

Yactual 和 Ypred 之間的差距，即黃色虛線，是預測誤差 E。

我們需要發現一條使權重 a,b 獲得最優值的直線，通過降低預測誤差、提高預測精度，實現對歷史數據的最佳匹配。

所以，目標是找到最優 a, b，使 Yactual 和 Ypred 之間的誤差 E 最小化。

誤差的平方和 (SSE) = ? a (實際價格 – 預測價格)2= ? a(Y – Ypred)2

（請注意衡量誤差的方法不止一種，這只是其中一個）

這時便是梯度下降登場的時候。梯度下降是一種優化演算法，能找到降低預測誤差的最優權重 (a,b) 。

理解梯度下降

現在，我們一步步來理解梯度下降演算法：

用隨機值和計算誤差（SSE）初始化權重 a 和 b。

計算梯度，即當權重（a & b）從隨機初始值發生小幅增減時，SSE 的變動。這幫助我們把 a & b 的值，向著最小化 SSE 的方向移動。

用梯度調整權重，達到最優值，使 SSE 最小化。

使用新權重來做預測，計算新 SSE。

重複第二、第三步，直到對權重的調整不再能有效降低誤差。

我在 Excel 上進行了上述每一步，但在查看之前，我們首先要把數據標準化，因為這讓優化過程更快。

第一步

用隨機值的 a、b 初始化直線 Ypred = a + b X，計算預測誤差 SSE。

第二步

計算不同權重的誤差梯度。

?SSE/?a = – (Y-YP)

?SSE/?b = – (Y-YP)X

這裡, SSE=? (Y-YP)2 = ?(Y-(a+bX))2

你需要懂一點微積分，但沒有別的要求了。

?SSE/?a、?SSE/?b 是梯度，它們基於 SSE 給出 a、b 移動的方向。

第三步

用梯度調整權重，達到最小化 SSE 的最優值

我們需要更新 a、b 的隨機值，來讓我們朝著最優 a、b 的方向移動。

更新規則:

a – ?SSE/?a

b – ?SSE/?b

因此：

新的 a = a – r * ?SSE/?a = 0.45-0.01*3.300 = 0.42

新的 b = b – r * ?SSE/?b= 0.75-0.01*1.545 = 0.73

這裡，r 是學習率= 0.01, 是權重調整的速率。

第四步

使用新的 a、b 做預測，計算總的 SSE。

你可以看到，在新預測上 總的 SSE 從 0.677 降到了 0.553。這意味著預測精度在提升。

第五步

重複第三、第四步直到對 a、b 的調整無法有效降低誤差。這時，我們已經達到了最優 a、b，以及最高的預測精度。

這便是梯度下降演算法。該優化演算法以及它的變種是許多機器學習演算法的核心，比如深度網路甚至是深度學習。

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