頂級數學家如何做數學？當代大師阿蘭·孔涅的探秘之旅

編者按：

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引言

本文描述一種與數學之間的非常個人化的關係。我們不要忘記，每一位數學家都是一個「特例」。以下所述內容，都只涉及它的作者，在任何情況下都不應被認為是「一般」的觀點。

在我看來，數學首先是最精緻的思維工具，是概念的發生器，有了數學，我們可以理解各種事物、尤其是理解我們身處其中的這個世界。新的概念，就是通過在思想的熔爐中長期精鍊才產生出來的。

將數學劃分為一些獨立領域的想法最初是吸引人的，例如幾何是研究空間的科學，代數是符號運算的藝術，數學分析則使我們理解無限和連續的概念，還有數論，等等。但是，這並沒有考慮到數學世界的一個本質特徵，也就是說，不可能將它的某一部分不傷筋動骨地隔離出來。

叛逆行為

伽羅瓦1811年生於法國，大學兩次落榜，還在面試時向一位提出

在我看來，關於數學首先要知道，我們無法通過學習成為數學家，而是通過做數學才能成為數學家。因此，重要的並不是「學問」，而是本領。當然，知識是絕對必要的——完全沒有必要拋棄前人所獲得的成就，但是，我始終認為，努力地思考一個幾何問題比起半生不熟地積累所謂知識來可以讓人有更大的進步。

這樣，在我看來，我們或多或少是通過某個反叛行為才開始成為數學家的！

這話怎麼講呢？它的意思就是，未來的數學家將開始對某個問題進行思考，然後他會明白，實際上他在文獻資料和書籍當中所讀到的，並不符合當他面臨問題時的個人看法。當然，很多時候這是因為沒有學到家，但是這並不重要，只要他的觀點是建立在他的個人直覺以及證明的基礎上就行了。此時他將明白，在數學裡面沒有權威！如果一個十二歲的學生能夠證明自己的論斷，就完全可以在他的教師面前堅持己見，並且正因為如此，才能夠讓數學與其它學科相比顯示出它的獨特之處。在那些學科里，教師很容易以學生所不具有的知識作為擋箭牌。一個五歲的孩子可以對他父親說「爸爸，沒有最大的數」，並且對此十分肯定，這並不是因為他在書中看到過，而是因為他在頭腦當中已經論證過了??對於善於按照規則進行探索的人來說，這裡有著廣闊的自由空間。最為重要的事情，就是成為自己的權威。也就是說，為了理解某些事情，不要立刻去嘗試確認這是否寫在某本書里。不要！這樣做只會延遲獨立性的覺醒。需要做的事情，是在他的頭腦當中驗證這是否是真的。從我們明白這一點的時刻開始，我們就可以逐漸地去了解熟悉數學王國的某個很小的部分，並且從此開始在這個王國的神奇領地上以自己的方式進行一次長途的尋寶之旅。

詩情蕩漾

伽羅瓦1811年生於法國，大學兩次落榜，還在面試時向一位提出

我們可以說，數學家的工作當中有兩個方面，一方面在於證明、驗證，等等，它要求全神貫注，要求高度的理性主義；然而幸運的是，還有另一個方面，眼光！眼光這個東西，有點像是受到直感的驅使而得到的，它並不服從某些確定性，卻更像是一種詩歌性質的有趣的東西。簡而言之，在數學發現當中有著兩個時間階段。在第一個階段里，還無法以推理的方式用公式化語言來明確表達出直覺。在這個階段里，重要的是眼光！這並不是靜態的那一方面，而是一種詩情蕩漾的境界。

這種詩情蕩漾幾乎無法用話語來傳達。可以毫不誇張地說，一旦當我們嘗試將它說出來的時候，我們就會使它變成石頭；而且我們會喪失這種動感，而它在數學發現當中是至關重要的。

然後，當我們理清了問題的足夠多的方面時，並且當我們認識到這種眼光最終幫助我們解決問題時，事情就會發生變化。例如，當我開始成為數學家時，在我所有的發現當中最讓我感到震動的一件事就是（那是我在雅克·迪斯米埃的指導下準備博士論文時期），一個非交換代數隨著時間在發生變化！我所證明的是，實際上，一個非交換代數都有一個隨時間的演化，這個演化是完全典則的。更加準確地說，Tomita理論所定義的演化依賴於某種態，實際上這種演化只是在模掉內自同構的意義上才依賴於這個態；這些內自同構是平凡的，不存在的。因此，這裡所展示的，就是這種非交換性生成了時間（註：這裡指的是孔涅的國家博士論文，其中他解決了馮·諾依曼代數理論中的第III型因子的分類問題。）！而且是從虛無當中生成的！如此簡單！就是這樣！當然，立刻由此得出的結果就是，一個代數會包含大量的不變數，例如它的周期，也就是說，使演化成為平凡所需的時間 t 。但是，儘管這些結果完全是可以公式化表達的和可以傳達的，卻並不會耗盡它們詩歌般的內容，也不會耗盡將最初的新發現付諸行動時的精彩之處。

雅克·迪斯米埃

數學現實

我對有些詩人非常欣賞，例如伊夫·博納福依（註：伊夫·博納福依（Yves Bonnefoy，1923—）法國詩人和散文家），這是由於他們在方法論層面上與數學相近。在我看來，數學家與詩人的不同之處，在於詩人所使用的原材料是人類經驗中的物質現實。詩詞的主要成分，是一個人的內心世界和外部現實之間的衝突，這種衝突之激烈總是使得我們震驚。而數學家的航程，則是在另外一個地理空間中、另外一個景觀中的旅遊。在此期間，他會碰到另外一種現實。這種數學現實與我們身處其中的物質現實同樣嚴酷而堅固。這個眼光部分對於數學家真正做數學來說是不夠的。也就是說，相比眼光部分，在論證之後隨之而來的階段里，有著一段不確定的令人痛苦的時間，總是擔心會搞錯。這有點像從陡坡上下來時，我們必須不停地往下看……我們也總是在不停地對自己說「瞧，我本來會在這裡出錯的，或許我已經搞錯了」。誰知道呢，我們總是在擔心！我們可能會經曆數小時可怕的惶惶不安的時間，正是因為我們遇到了一個真正的現實。因此，這不是普通意義上的現實，而可能是更加嚴酷的現實。

這樣一來，真理的概念用到了另外一個世界，它並不是人類在其外部現實當中所經驗的世界，而是數學現實的世界。需要理解的關鍵點是，無數的數學家們花費一生的心血致力於發現這一世界；對於這個世界的輪廓和聯通性，他們的意見是一致的：無論它的生命行程源自何處，如果說這一行程足夠遙遠，如果我們時刻警惕不被禁閉在某個特殊區域裡面的話，遲早有一天，我們會到達這些眾所周知的城堡當中的某一個，例如橢圓函數、模形式、ζ函數，等等。「條條道路通羅馬」，數學世界也是「連通的」。當然，這並不意味著所有這些部分都相似。格羅騰迪克（註：格羅騰迪克（Alexandre Grothendieck，1928—2014）20世紀最有影響的數學家之一，1966年菲爾茨獎獲得者，1988年克拉福德獎獲得者（他拒領該獎））在他的《收穫與播種》當中，這樣描述了一幅他從分析出發，最終來到代數幾何的過程中所經歷的景象：

「我仍然記得這個吸引人的印象（當然，這完全是主觀的），就像是我離開了令人厭惡的乾旱荒原，突然發現自己來到了一個華麗繁茂、遍地流金的『富裕地帶』，到處都充斥著無窮無盡的財富，這裡令人禁不住伸出雙手，去採摘果實或者開發寶藏??」

——亞歷山大·格羅騰迪克

阿蘭·孔涅和米哈伊爾·格羅莫夫

伽羅瓦

從某種意義上來說，伽羅瓦所領悟的，或者說真正的現代數學的起點，就是必須有能力超越演算。也就是說，不要去進行演算，而是在思想裡面進行演算！要明白這些演算的本質將會是什麼，將會出現的困難是什麼，等等，但是並不真正地去進行具體的演算，從而理解它的結果將會是什麼形式的，該結果將會有什麼對稱性。因此，要超越這種外表形式；如果我們不加警惕的話，就很容易被困於其中。需要嘗試從高處著手去擺脫困境，在對稱性方面進行思考，等等。

「雙腳併攏，跳過這些計算；將那些運算加以組合，按照它們的困難程度而不是按照其形式進行分類；在我看來，這才是我們的任務。」

——埃瓦里斯特·伽羅瓦

當伽羅瓦的前輩們探求某個方程的根的對稱函數時，他自己卻開始打破這種對稱性，以便看清楚將會發生什麼?? 他的出發點是選擇這些根的任意一個沒有任何對稱性的函數。奇妙之處就在於，他從這個根的函數所推導出來的不變群，實際上獨立於最初的任意選擇。

伽羅瓦的想法一點也不過時，它們仍然滋潤著當代數學，只是因為這些想法簡單明了並且引起了變動。格羅騰迪克所創立的主題理論可以看做是伽羅瓦的理論在大於0維時的某種自然推廣，也就是說，如果我們願意的話，它是在多變數多項式情況下的推廣。這些在目前的發展，就像伽羅瓦理論的發展一樣，是伽羅瓦思想的活力之所在。這裡，需要引用他的遺囑的結尾部分。

「我親愛的奧古斯特，你知道，這些課題並不是我所探索的全部內容。某段時間以來，我的主要思索集中在不確定性理論在超越分析方面的應用。這需要事先就明白，在超越數量或者超越函數之間的關係當中，我們可以進行怎樣的互換，我們可以用哪些數量來替換那些所給定的數量，同時保持這種關係。這立刻就會使我們所可能尋找的許多數學表達式變得不再可能了。但是，在這個廣闊的領域內，我沒有時間了，我的想法也還沒能足夠成熟。」

——埃瓦里斯特·伽羅瓦

代數與音樂

在我看來，對於一個孩子來說，關鍵是很早就開始讓他接觸音樂。我認為，讓一個孩子在五六歲的時候接觸音樂，可以適當減弱他在視覺智能方面的優勢，這種視覺智能是很奇妙的、純視覺的天賦，孩子很早就能獲得，實際上它與幾何相聯繫。音樂可以通過代數將它加以平衡，也就是說，音樂與時間有關，正如代數與時間有關一樣。在數學當中，存在著這種基本的二元性。一方面是幾何，它對應於大腦的視覺區域，並且是一種瞬時的即刻的直覺。在這裡，我們看到了一種幾何圖像，嘣！就是它，這就是一切，甚至不需要我們去解釋，我們不想去解釋。然後是另一方面，那就是代數。代數，它和視覺一點關係也沒有，相反，它具有時間性，與時間有關！這就是演算之類的東西。這就是某種變化著的東西，並且是某種和語言非常接近因此具有語言的奇妙精確性的東西。而且，我們可以通過音樂來認識到這種代數所產生的力量。因此，對於我來說，在如此感受到的音樂和代數之間，確實存在著一種奇妙的默契。例如，我酷愛肖邦的一些序曲，因為我發現，它們恰好具有這種美妙的凝聚性和精練性。在一間屋子裡聆聽這種音樂，就像窗戶被一陣風突然吹開，然後，又從另一個方向重新關上。從某種意義上來講，這就是要將一種思想以它最清晰、最純粹的形式凝聚出來??這就是它：代數。

伊萬·托多羅夫和阿蘭·孔涅

建議

我以幾個「實際」的建議來結束此文：

1.散步. 當我們面臨非常複雜的難題的時候（常常需要進行演算），有一種很好的實用方法，那就是外出長時間地散步（不帶紙和筆），並且在頭腦當中進行演算（這時，需要忘記「這樣做太複雜了」的最初印象）。即使我們後來沒有成功，它也會形成「鮮活的記憶」，並磨練智力。

2.床上思考. 一般來說，數學家們最大的問題，就是讓自己的配偶明白，他們在工作當中最全神貫注的時刻，就是在黑暗中當他們在床上睡覺的時候。不幸的是，計算機屏幕和電子郵件對他們的侵犯，使得這種自我集中的方式使用得越來越少；而這種方式以後只會越來越顯其珍貴。

3.勇敢. 在數學發現當中有兩段時間，在一段時間裡需要勇敢：需要沿著峭壁往上爬，並且絕對不要往下看?? 為什麼呢？因為如果你開始往下看，你就會說：「是的！當然是這樣的，某個人已經研究過這個問題了，他沒有能夠解決它，那麼我也就沒有任何理由能夠解決它。」然後，你將找到上百條合理的理由，它們會阻止你往上爬。因此，需要徹底地撇開它。從某種意義上來說，需要「保護自己的無知」，以便能夠孕育出某個想法，而不是在它尚處於意識里的某一個 t 時刻時就使它夭折了。

4.承受壓力. 在數學家的生活里，常常有這種情況出現（往往是在開始的時候），由於競爭激烈，他們遇到了某些困難。例如，我們收到了某個競爭者的「預印本」，其課題與我們正在進行的研究相同，因此我們感受到了壓力，急於發表論文。在這樣的情況下，我所了解的唯一解決方法，就是嘗試將這種沮喪情緒轉化為能量，去更加努力地工作。

5.不圖認可. 很久以前，我的一位同事向我透露說：「我們數學家的工作，就是為了得到很少幾個朋友的吝嗇的認可。」是這樣的，研究工作本質上就是孤獨的，研究者會感到需要以這種或者那種方式得到認可。說實話，關於這一點，只有唯一的一個評判者是重要的，那就是自己。並且，我們沒有辦法去違背自己。過於在意別人的觀點，簡直就是在浪費時間。到目前為止，沒有任何一個定理是由全體投票來得到證明的，正如費曼所說的：「為什麼你要在乎別人的想法呢！」

作者簡介

阿蘭·孔涅(Alain Connes)，當代數學大師，生於法國的德拉吉尼昂，1966-1970年在巴黎高等師範學校學習，其後在法國國家 科學研究中心做研究，1973年獲法國國家博士學位。1976-1980年在巴黎第6大學任教，1979 年以後在高等科學研究中心任教授，1984年起兼任法蘭西學院教授。1982年獲得菲爾茲獎，2001年獲得瑞典科學院克拉福德獎。他系統地把馮·諾依曼代數的結構理論推向完整，使運算元代數產生革命性的變化。他把運算元代數同各個主流學科聯繫起來，特別是微分幾何、葉形理論、拓撲學、K理論等，開創了非交換幾何的研究領域。

本文摘自高等教育出版社《解碼者：數學探秘之旅》（2010.9），原題為《阿蘭·孔涅——嚴酷的現實》。

來源：中科院物理所 Alain Connes

編輯：Gemini

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重播時間：會議結束後立即開始重播，循環播放至5月22日下午17:30

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