為什麼一年365天中地球自轉不是365圈？

作者：邱維元，復旦大學數學科學學院

來源：《十萬個為什麼·數學》

導語

2017年共有365天，請問今年地球一共自轉了多少圈？大部分人一定會脫口而出：365圈！地球自轉一圈就是一天，365天當然就是365圈啦。但是，這個答案對嗎？

讓我們的數學教授來告訴你。

地球繞太陽公轉一周為一年，地球自轉一周為一天。假設一年正好365天，問地球自轉了多少周？在回答這個問題之前，我們得先分析一下。

什麼叫地球自轉一周？確切地說，是地球自身旋轉了360°。那麼一天呢？一天就是24小時，或者說從中午12點到第二天中午12點。也就是從我們在地球上所在位置正對著太陽開始，到地球自轉至我們所在位置再次正對太陽為止。如果地球相對於太陽是不動的，一天時間地球正好自轉一周。但由於地球同時繞太陽公轉，當我們所在位置再次正對太陽時，地球已經繞太陽公轉了一個角度。假設公轉一周（即一年）是365天，則這個角度就是0.9863°（360°/365）。

由於地球自轉和公轉方向相同，一天內，地球自身旋轉轉過的角度事實上超過了360°。利用平行線的「內錯角相等」原理，我們可以算出超過的角度正好是0.9863°，即一天自轉了一周又0.9863°。如此，每天多轉0.9863°，一年365天累計多轉了0.9863°×365≈360°，正好一周。因此前面問題的答案是：一年365天，地球自轉了366周。是不是有點意外？

實際上地球繞太陽公轉一周多於365天，是365天5時48分46秒，所以一年中地球實際自轉了366.2422周。由於地球一天自轉的角度和一周相差無幾（不超過1°），人們通常稱地球自轉一周為一天，對日常生活幾乎沒有什麼影響。而在天文學上，為了區分這兩者，將通常的一天稱為一個太陽日，將地球自轉一周稱為一個恆星日，一個恆星日的時間是23時56分4.09秒。

地球繞太陽公轉示意圖

數學上還有類似的例子。比如，給定一個大圓、一個小圓，小圓的半徑為大圓的1/4，讓小圓在大圓外部沿大圓周滾動，這個情形和地球自轉的同時又繞太陽公轉是類似的。如果小圓繞大圓一周後回到起始位置，則小圓自身旋轉了5周而不是4周。如果讓小圓在大圓內部沿大圓周滾動繞大圓一周，則小圓自身僅旋轉了3周，讀者可以自己分析一下這個過程。

從中我們可以看到，如果讓同樣大小的兩個圓分別在一個大圓的內外滾動，以相同的時間在大圓上滾過相同的弧長（即線速度相同），那麼，外面圓的轉速（角速度）要大於裡面圓的轉速。反之，如果讓內外兩個圓的轉速相同，則在相同的時間內，裡面的圓滾過的弧長要大於外面的圓滾過的弧長。如果讓一個圓在波浪形曲線（比如正弦曲線）上滾動，並且單位時間內在曲線上滾過的弧長相同，則圓的轉速將是不均勻的，這與在直線上滾動是不一樣的，不能套用直線上的結論。

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