近岸水波的數值方法

知識 05-23

自由水面上擾動按某種規律傳播的現象稱為水面波，簡稱水波。江河湖海的水面上總是存在這樣或那樣形式的起伏，其他具有自由水面的水體在大部分情況下也不例外，可見，水波是自然界中一種普遍存在的現象。近岸水波特指在近岸海域中傳播、並在傳播過程中受海底地形以及自然或人工障礙物作用產生各種變化的重力波。它是近岸海域中最為重要的水動力學現象之一，也是海岸帶其他動力學過程的重要外力。

近岸水波動力學的主要研究方法

近岸水波動力學是以近岸海域中水波的運動規律及其動力學機理作為研究對象的一門應用科學。近岸水波動力學的理論基礎是流體力學，因此，它也被看作流體力學的應用領域；近岸水波動力學又是海岸科學和工程的理論支撐，所以它也被看作海岸科學和工程的學科基礎。

理論分析、物理觀測和數值計算是近岸水波動力學的主要研究方法。理論分析是通過引入適當的假設使得水波現象的某種特徵可用特殊形式的微分方程進行描述，然後用精確的或近似的方法求得相應微分方程的解析解，並以此為基礎分析水波運動規律的方法。理論分析的方法能全面完整地揭示水波運動規律的各個方面及其與各影響因素之間的關係，但往往因為引入了很多假設，不能直接應用於解決複雜的實際問題。

物理觀測可分為原型觀測和試驗觀測。原型觀測是通過布設科學儀器，直接記錄實際海域中波動現象相關物理量的時空變化，或者記錄和波動現象相關物理量有確定對應關係的其他物理量的時空變化。

試驗觀測則是基於某種相似律，在實驗室內構建物理模型，並利用機械造波，模擬實際問題中的波動現象，然後對模擬的物理現象進行觀測。水波現象及其影響因素的複雜性決定了物理觀測必然是近岸水波動力學研究的重要手段。它在問題的提出、現象的認識以及理論的驗證等方面具有不可替代的作用。然而，物理觀測也有其難以克服的局限性。原型觀測除了成本昂貴，極端海況條件下的觀測也往往無法實現。此外，複雜的自然條件還極有可能誤導觀測結果的解讀。試驗觀測相對於原型觀測的優勢是物理現象的影響因素在一定程度上具有可控性。利用試驗觀測研究近岸水波問題的難點是確保實驗室中的物理模型和實際問題的相似性。換言之，縮尺效應在很多情況下都是既難以避免又難以估計的。

20 世紀70 年代以後，數值計算已發展成為近岸水波動力學研究中獨立於理論分析和物理觀測的另一個主要方法。數值計算方法的主要優勢是其良好的通用性和相對低廉的應用成本。數值計算方法相對低廉的應用成本是計算機技術迅速發展的結果；數值計算方法良好的通用性則在很大程度上得益於計算流體力學以及偏微分方程數值求解方法等學科領域中日新月異的突破。

計算機技術的迅速發展已成為當今科學技術迅速發展的一個重要標誌。在過去的半個多世紀中，無論微型計算機還是大型計算機，其計算能力的進步都遵循著信息技術迅猛發展的摩爾定律。這段時期內，在成本不變的前提下，計算機的計算能力大約每隔不到兩年就能提高一倍。

近岸水波的數值方法

圖1 解析求解的步驟

圖2 數值計算的步驟

數值計算方法用於研究近岸水波動力學問題時所包含的幾個主要步驟和傳統的理論分析方法既有相似之處又有本質性的區別(見圖1 和圖2)。把實際的水波問題用數學方程進行描述的過程一般稱為數學建模，簡稱建模。涉及的數學方程也稱為相應物理問題的數學模型。數學模型一般都表現為偏微分方程的形式。無論數值計算方法還是理論分析方法都離不開建模。

在某些特殊情況下，數學模型的求解可用解析方法，或引入一定的假設進行簡化後可用解析方法，由此得到的問題的解即為解析解(見圖1)。解析解有精確解和近似解之分，其區別在於求解數學模型的過程中是否引入了假設。一般而論，假設的引入會或多或少地限制解的適用範圍。

在更多的情況下數學模型的求解只能藉助數值計算方法，得到數值解(見圖2)。所謂數值求解，是將待求未知量的變化規律在其定義域內用自變數預設值所對應的一組取值來代表，然後通過適當的途徑把偏微分方程求解問題轉化為關於這組特定取值的代數方程求解問題。由代數方程確定的未知量的離散解稱為原微分方程的數值解，將微分方程轉化為代數方程的過程稱為數值離散，簡稱離散。

隨著計算機技術的不斷進步，數值計算方法在近岸水波動力學研究中的優勢正在得到越來越充分的發揮。近年來，隨著並行計算、分布式計算等計算技術的快速發展，數值計算方法更是彰顯了其無比巨大的潛力。數值計算在近岸水波動力學研究中的重要性不斷得到加強的事實還表現為近年來各類學術刊物中相關研究論文數量的急劇增加。這些研究論文有的致力於數學模型的建立和完善，有的致力於數值計算方法的開發和優化，更多的則是將數值計算方法用於解決科學和工程中的實際問題。

近岸水波數學模型的主要類型

粗略地說，一個物理現象的數學建模有兩個主要途徑：一是利用經驗的方法歸納得出物理現象所遵循的基本規律，然後將基本規律用數學方程表述，屬於歸納法；二是從某一經過經驗驗證後被證明具有普遍適用性的數學模型出發，利用合理的假設，導出相比於普遍適用的數學模型較容易求解的數學方程，屬於演繹法。具有普遍適用性的原始數學模型也稱為普適數學模型，導出模型則可認為是普適數學模型的一個特例。所引入假設的有效範圍決定導出模型的適用條件。

近岸水波數學模型大多是從不可壓縮流體運動的基本方程出發用演繹法得出的近似數學模型。從普適性的角度考慮，以流速和壓強作為基本變數的不可壓縮流體力學的基本方程，即連續方程和Navier-Stokes 方程，自然是近岸水波數學模型的第一選擇。

理論上，這組方程適用於幾乎所有的近岸水波問題。但實際上，這組方程的求解在數學上困難重重。這不僅因為不可壓流體運動的基本方程是一組數學性質十分複雜的非線性偏微分方程，也因為自由水面的存在使得問題的求解域不能像通常的微分方程定解問題那樣獨立確定，即水波問題屬於所謂的動邊界問題。

此外，有些水波現象，如水波破碎過程和風生波過程，由於紊動、自由水面失穩等物理過程的複雜性，相應的定解問題並不一定就是傳統意義上的Navier-Stokes 方程求解問題，更是增加了直接求解流體運動基本方程的難度。也就是說，作為近岸水波普適數學模型的流體力學基本方程，對其進行解析求解難度非常大，對其進行數值求解亦非易舉。這也就決定了各種近似數學模型在近岸水波動力學中的重要作用。

近岸水波的近似數學模型或寬或窄都有一定的適用條件。有的要求水波具備某些性質，有的對波動流場的幾何特徵有一定的限制，有的則只適用於某一類或某幾類特定的水波現象。需要強調的是，即使是近似的近岸水波數學模型，當用於解決實際問題時，往往也只能採用數值方法進行求解。因此，近岸水波數學模型的適用性還要受到計算機計算能力的限制。對現象的描述越精確、適用範圍越廣的數學模型一般情況下對計算機計算能力的要求也越高。

近岸水波數學模型有平面二維模型、准三維模型和完全三維模型之分。近岸水波數學模型按其對物理問題的分辨能力又可分為局部模型、中尺度模型、廣域模型和超廣域模型。局部模型是完全三維的，能揭示波動流場的細節，可用來表徵建築物附近水體波動的特徵，也可用來研究諸如水波破碎之類的局部現象。中尺度模型是准三維的，可分辨波動流場的垂向分層結構。廣域模型是平面二維的，可以較為精確地反映緩變地形條件下波浪傳播和變形的規律，但在地形急劇變化處或在複雜結構物附近，會出現局部失真。超廣域模型通常只反映波能的傳播與守恆特徵，適用於大洋尺度的問題。

不同的近岸水波數學模型其基本方程的形式各不相同，數學性質差異也很大。有的是關於單一變數的單個方程，有的是關於多個變數的聯立方程；有的是橢圓型方程，有的是拋物型方程，有的是雙曲型方程；有的是線性方程，有的是擬線性方程，有的是完全非線性方程。

在普通的微分方程教程中，雙曲型方程通常被認為是描述波動過程的模型方程。事實上，相當多的近岸水波傳播問題確實可用雙曲型方程進行描述。但是，近岸水波的數學模型絕非只限於雙曲型方程，穩態波問題往往可用橢圓型方程進行描述，折射現象有時甚至用拋物型方程描述。需要指出的是，由於近岸水波傳播和變形現象的複雜性，在很多情況下，近岸水波方程的數學性質十分複雜，並不一定能夠簡單地歸結為某一標準類型。此外，近岸水波問題在本質上都是非線性問題。但在波高相對較小或其他一些特殊情況下，它也可能被近似為線性問題。

近岸水波數值計算方法的特點和發展趨勢

雖然說近岸水波動力學是流體力學的一個應用領域，但近岸水波的數值計算方法和通常意義上的計算流體力學(computational fluid dynamics, CFD)方法之間有著很大的不同。這不僅是因為諸多的近岸水波方程有其獨特性，更是因為近岸水波動力學儘管從流體力學的角度看是處理帶自由水面的不可壓流體在重力以及其他外力作用下的運動，但它的著眼點側重於自由水面位置和形狀的時空變化規律，或者說表面波的傳播和變形規律。有些時候，為了提高計算效率，甚至要求儘可能地迴避求解水波運動導致的流場。

近岸水波數值求解方法在很大程度上是偏微分方程數值求解方法在近岸水波動力學中的應用。需要指出的是，近岸水波數值求解方法的理論中也存在不少傳統偏微分方程數值理論中較少涉及的特殊問題，包括動邊界的處理方法、無反射邊界的處理方法等。

形式多樣且數學性質各異的近岸水波數學模型使得近岸水波的數值計算理論包含豐富的內容。事實上，常用的偏微分方程數值求解方法，包括有限差分法、有限單元法、有限體積法、邊界積分法等，在近岸水波數值求解中都有應用。值得注意的是，很多波動方程可以用不同的數值方法進行求解。這些方法各有優缺點，需要綜合權衡數值方法的格式精度和穩定性、處理各類邊界條件的便利性、解決有關問題的通用性、計算工作量以及對計算機性能的要求等，然後決定取捨。有時候數值計算方法的複雜程度、可利用的程序資源以及個人的偏好也影響計算方法的選擇。

近年來應用數值方法求解近岸水波問題的一個明顯趨勢是各類通用軟體的廣泛應用。在工程問題和科學問題的研究中受到特別重視的通用軟體有幾類。

第一類是計算流體力學軟體中，對自由水面的處理加以特彆強調的那些，如FlowScience 開發的Flow3D、ANSYS 的CFX 和Fluent 等。這類軟體所採用的數學模型是完全三維模型，用於計算局部波動問題可得到良好的結果。

通用軟體的第二類是從傳統的河口水動力學計算程序發展而來的，可稱為河流海岸動力學軟體，如EMS-I (Environmental Modeling System, Incorporated)的SMS (Surface-water Modeling System)、DelftHydraulics 開發的Delft3D、DHI(DanishHydraulic Institute)開發的Mike 系列等。這類軟體大多經過多年的改進和提升，在實際問題中得到了廣泛應用。它們都包含很多模塊，不僅能處理各類水動力學問題，還能描述泥沙運動及其引起的地形變化，有的還能模擬水質變化過程。河流海岸動力學軟體的水動力學模塊不僅包括傳統的淺水模型，還包括近年來受到廣泛重視的Boussinesq 模型。

通用軟體的第三類是所謂的海洋環流數學模型，這類模型是以模擬中尺度海洋物理現象為目的而開發的，大多是垂直分層的准三維模型。

海洋環流模型中開發歷史最長的一類，是以Kirk Bryan 和他的同事在美國國家海洋與大氣管理局(NationalOceanic and Atmospheric Administration, NOAA)地球物理流體動力學實驗室(Geophysical Fluid Dynamics Laboratory, GFDL)的工作為基礎的，包括該實驗室的研究人員開發的MOM (modular ocean model)、美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室(LosAlamos National Laboratory, LANL)的研究人員開發的POP (theparallel ocean program)、美國國家大氣研究中心(the National Centerfor Atmospheric Research, NCAR)研究人員開發的NCOM (NCAR communityocean model)、哈佛大學學者開發的HOPS (Harvard ocean prediction system)。

海洋環流模型在垂直方向上習慣於採用所謂的s 坐標，典型的有普林斯頓大學學者開發的POM (Princeton oceanmodel)、羅格斯大學和加利福尼亞大學洛杉磯分校學者聯合開發的ROMS (the regionalocean modeling system)，歐盟多國學者和團隊共同開發的COHERENS (coupledhydrodynamical ecological model for regional shelf seas)等。大部分海洋環流模型在水平面上採用定義在結構性網格上的有限差分方法，但馬薩諸塞大學達特茅斯分校學者開發的FVCOM (finite volume coastal ocean model)在水平面上採用了定義在更為靈活的非結構性網格上的有限體積法。麻省理工學院學者開發的MITgcm (MIT general circulation model)則是集成了多種數值方法。

本文摘編自余錫平著《近岸水波的數值方法》第1、2章，內容有刪減。

近岸水波的數值方法

余錫平著

責任編輯：劉寶莉

北京：科學出版社 2017.03

978-7-03-052196-5

《近岸水波的數值方法》將散見於各類文獻中各種具有典型意義的近岸水波數學模型及其相應的數值計算方法進行整理，以其精華形成一個比較完整的體系，是近岸海洋動力學以及海岸工程學領域研究人員提高數值計算理論水平的入門讀物。全書分為兩篇。第一篇為近岸水波的數學模型，介紹近岸水波現象、水波的各種特徵及各自的數學描述方法、水波理論的流體力學基礎、常見水波方程的推導方法、近岸水波方程的拓展和修正形式。第二篇介紹繞射方程的邊界元法、穩態緩坡方程的有限元法、瞬態緩坡方程的有限差分法、淺水波方程的特徵差分法、淺水波方程的有限體積法、Boussinesq 方程的有限差分法、線性勢波問題的邊界元法、NS 方程的有限體積法和NS 方程的光滑粒子法。書中除了計算方法的論述，還包括典型問題的計算結果。

目錄

前言

第1章引論

第一篇近岸水波的數學模型

第2章近岸水波現象

第3章水波屬性的數學表述

第4章水波動力學的流體力學基礎

第5章近岸水波方程

第6章近岸水波方程的修正和拓展

第二篇近岸水波的數值方法

第7章繞射方程的邊界單元法

第8章穩態緩坡方程的有限單元法