基於三角形的「完形」與「共性」之生長

基於三角形的「完形」與「共性」之生長

德文Gestalt的音譯，中文被翻譯成「完形」，其研究出發點是「形」。

運用圖形與圖形、圖形與背景的關係，我們可以看到相互借用的隱藏圖形。解幾何問題時，背景的殘缺、省略都會給正確理解圖形帶來困難，複雜或不規則圖形會給解題帶來障礙。這些複雜、不規則的圖形，從整體考慮，可看作某種圖形的一部分，將它們補充完整，則可得到常見的特殊圖形，這就是解幾何問題的補形法。本文我們在分析三角形的基礎上，通過恢復背景，得到規則的「完形」，從而在新背景下解決問題，並研究一些幾何圖形屬性中「共性」的自然生長。

「完形」之生長

一

1.三角形兩個內角平分線的夾角與第三個內角的關係

如圖1-1，已知ABC，BP，CP分別平分∠ABC、∠ACB，可得∠BPC=90+∠A；

2.三角形一個內角與一個外角平分線的夾角與第三個內角的關係

如圖1-2，已知ABC，BP1，CP1分別平分∠ABC、∠ACB的外角∠ACD，可得∠BP1C=∠A；

3.三角形兩個外角平分線的夾角與第三個內角的關係

如圖1-3，已知ABC，BP2，CP2分別平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，可得∠BP2C=90-∠A；

對於，上述的三個結論，我們在教學中常用方法是「導角」，由角平分線性質，三角形內角和定理及推論，推導出結論，可對於學生來說，卻是難點，老師講解時聽得懂，自己導角時卻又導暈了。

下面我們從基礎圖形，圖1-1出發，從生長的角度來理解另兩個結論是如何生長：

分析：

1.在圖1-1中，由三角形內角和定理知∠BPC=180-（∠1+∠2）

由角平分線性質知∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）

由三角形內角和定理知∠ABC+∠ACB=180-∠A

所以，有∠BPC=90+∠A

2.在圖1-1基礎上生長，增加條件CP1平分∠ACD，我們可以得到什麼結論呢？

如圖1-2，不難發現CP⊥CP1,即∠PCP1=90，

那麼由∠BPC是PCP1的外角，則∠BPC=∠PCP1+∠P1=90+∠P1

對照結論1（∠BPC=90+∠A），易得∠P1=∠A；

3.在圖1-2基礎上再生長，增加條件BP2平分∠EBC，我們又可以得到什麼新的結論呢？如圖1-3，同理有BP1⊥BP2,即∠P1BP2=90，

那麼有∠P1+∠P2=90，

對照結論2（∠P1=∠A），易得∠P2=90-∠A。

在恢復背景，我們還可以得到規則的「完形」，如圖1-4，

並得到新的結論：

?∠P1+∠P2=90

∠BPC+∠P2=180

我們總會讚歎於一種巧妙思路的產生的同時，對其解法或輔助線出現而驚訝甚至百思不得其解，事實上，很多時候是我們沒有從基礎上尋找每個生長節，如同上述方法。

「共性」之生長

二

四邊形兩個角的角平分線夾角與其餘兩個內角的關係

如圖2-1，已知四邊形ABCD，BP，CP分別平分∠ABC、∠ACB，

探究∠BPC與∠A+∠D的關係；

分析：

我們可遵循思維的連續性，類比上述（一）1的導角方法：

由三角形內角和定理知∠BPC=180-（∠1+∠2）

由角平分線性質知∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）

由四邊形內角和知∠ABC+∠ACB=360-(∠A+∠D)

所以，有∠BPC=（∠A+∠D)

由一.可知，在這個圖形的基礎可生長，如圖2-2.

且∠BPC、∠P1與∠P2三個角之間關係仍滿足結論：

?∠P1+∠P2=90

?∠BPC+∠P2=180

易得，∠P1=（∠A+∠D)-90

∠P2=180-（∠A+∠D)。

得到結論如此簡單，比上辛苦的導角啊導角，這樣解決問題的感覺是不是很舒服，呵呵！

可得命題：

四邊形ABCD中，若P是∠ABC、∠ACB兩個內角的角平分線交點，P1是∠ABC、∠ACB的外角兩條角平分線交點，P1是∠ABC及∠ACB的兩個外角的角平分線交點，則有

?∠BPC=（∠A+∠D)，?∠P1=（∠A+∠D)-90，?∠P2=180-（∠A+∠D)。

介於對命題嚴謹性的考慮，應分三種情況說明：

情況1.當∠ABC+∠ACB

情況2.當∠ABC+∠ACB=180時，

?∠BPC=∠P2=90

?∠P1不存在

情況3.當∠ABC+∠ACB>180時，如圖2-3，則結論為：

?∠BPC=（∠A+∠D)

?∠P1=90-（∠A+∠D)

?∠P2=180-（∠A+∠D)。

拓展與思考

三

（一）拓展：探究五邊形兩個角的角平分線夾角與其餘三個內角的關係。

如圖5亦有結論如下：

?∠BPC=（∠A+∠D+∠E)-90

?∠P1=（∠A+∠D+∠E)-180

?∠P2=270-（∠A+∠D+∠E)。

六邊形呢？

……

n邊形呢？

無論圖形的邊數如何變化，我們總可以得到規則的「完形」，從而就有這類幾何圖形屬性中「共性」的自然生長。

介於對命題結論的完整性考慮，凸n邊形（n>3）應分三種情況說明：

情況1.當∠ABC+∠ACB

?∠BPC=（∠A+∠D+…)-（n-4）90

?∠P1=（∠A+∠D+…)-（n-3）90

?∠P2=（n-2）90-（∠A+∠D+…)。

情況2.當∠ABC+∠ACB=180時，

?∠BPC=∠P2=90

?∠P1不存在

情況3.當∠ABC+∠ACB>180時，有「完形」（圖4）

?∠BPC=（∠A+∠D+…)-（n-4）90

?∠P1=（n-3）90-（∠A+∠D+…)

?∠P2=（n-2）90-（∠A+∠D+…)。

（二）思考：

題1.三角形兩個內角平分線與夾邊的的夾角的角平分線……與第三個內角的關係

（1）如圖6，已知ABC，BP1，CP1分別平分∠ABC、∠ACB；BP2，CP2分別平分∠P1BC、∠P1CB；BP3，CP3分別平分∠P2BC、∠P2CB；……；BPn，CPn分別平分∠Pn-1BC、∠Pn-1CB（其中n為正整數)，探究∠BPnC與∠A的關係。

（2）猜想：一.2，3的結論是相同或相似？

題2.四邊形兩個內角平分線與夾邊的的夾角的角平分線……與其餘兩個內角的關係

（1）如圖7，已知四邊形ABCD，BP1，CP1分別平分∠ABC、∠ACB；BP2，CP2分別平分∠P1BC、∠P1CB；BP3，CP3分別平分∠P2BC、∠P2CB；……；BPn，CPn分別平分∠Pn-1BC、∠Pn-1CB（其中n為正整數)，探究∠BPnC與∠A+∠D的關係。

（2）猜想：二.2，3的結論是相同或相似？

特

別

說

明

1.「完形」之理念，來自黃特；

學習「黃東坡智慧大講堂」中，拜讀《帶你發現數學之美》叢書。

2.「生長」之理念，來自卜特；

在QQ群「初中數學草根學堂」中，聆聽《20170510卜以樓生長數學每周一課研討（矩形）》

本公眾號的文章全部來自原創，由攀老師教學隨筆整理，旨在服務於更多的學生，還有與攀老師一樣愛數學，愛鑽研的朋友們！

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「 努力，堅韌！

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