把這種瓷磚鋪滿世界，圖案也不會重複

彭羅斯瓷磚能以永不重複的方式鋪滿無窮平面。這種出自數學家之手的圖案同樣出現在材料科學領域，還為我們帶來了更好的不粘鍋和 3D 列印材料。

作者 PATCHEN BARSS

翻譯 楊晨

審校 王妍琳 張士超

1974年，英國數學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）創造了一套具有革命意義的貼磚樣式，這套貼磚，能夠以永不重複的方式鋪滿在無窮平面上；1982年，以色列晶體學家丹尼爾·謝赫特曼（Daniel Shechtman）發現，某種金屬合金的原子排列與之前測量的其它結果都不一樣。後來，彭羅斯獲得了數學圈中少有的公眾知名度，謝赫特曼則贏取了諾貝爾獎。這兩位學者，都違抗人類的直覺，改變了我們對自然結構的基本認識，並揭示了從高度有序的環境中出現無盡變化的可能性。

兩人突破的核心觀念是「禁用對稱性」（forbidden symmetry），之所以叫這個名字，是因為它完全違背了人們對重複與對稱之間關係的固有認識。對稱的基礎是對稱軸，出現於軸線一側的形象，在軸線另一側被完全複製。這種關係在數學中可以由貼磚圖案反映出來。矩形、正三角形這類對稱圖形可以不留縫隙也不重疊地鋪滿平面。它們所鋪的圖案是周期性的，而且具有平移對稱性。也就是說，如果你將圖形錯開到另一個位置，它還和沒動過一樣。

彭羅斯是一位大膽而充滿豪情的學者，他對單一的圖形和重複不那麼感興趣，而對無窮的變化興味盎然。準確說來，他感興趣的是一類「非周期性」貼磚，它們由若干塊組成一套，可以嚴絲合縫地鋪滿無窮大的平面，而構成的圖案又不會重複。這可是一個難題，因為他不能使用具有二、三、四、六條對稱軸的圖形（如矩形、正三角形、正方形和正六邊形），這些圖形在無窮大的平面上會鋪成周期性的重複圖案。這就意味著彭羅斯只能依靠那些會在平面上留下縫隙的圖形，也就是那些具有禁用對稱性的圖形。

彭羅斯將思路轉向具有五條對稱軸的正五邊形，想靠它來構建自己的無重複圖案。他曾經提過，理由之一是五邊形「看上去很順眼」。彭羅斯貼磚的獨到之處，就在於它們沒有因為正五邊形的線條和角度留下讓人難受的空隙。它們的排列天衣無縫，在平面上輾轉騰挪，眼看就要重複了，卻總能峰迴路轉。

彭羅斯貼磚吸引大眾的原因主要有兩個。其一，是他找到了只用兩種貼磚就生成無限變化圖案的方式。其二則更了不起，他找到的這兩種貼磚，都是形狀簡單的對稱圖形，本身看不出一點不尋常的跡象。

彭羅斯為他的非周期貼磚設計了幾種不同的版本。最有名的一套稱為「風箏」與「飛鏢」。「風箏」看上去就和孩子們玩的風箏一樣，飛鏢的輪廓則像簡化版的隱形轟炸機。兩者都能幹凈利落地由對稱軸一分為二，它們的表面還繪有兩條簡單、對稱的弧線。彭羅斯制定了一條平鋪規則：「合法」的拼貼必須能使弧線對接，連成連續的曲線。沒有這條規則，風箏和飛鏢就會擺出重複的圖案；而在這條規則之下，就永遠都不會出現重複。風箏和飛鏢，永恆地舞動在五條對稱軸周圍，組合出滿天星、十邊形，蜿蜒的長線則繪成蝴蝶與花朵的形狀。形態似「似」而非，蘊藏無窮變化。

風箏與飛鏢：英國數學家羅傑·彭羅斯只用風箏和飛鏢兩種形狀（圖中藍線段構成的圖形），就構造出了這片充滿美感、變化無窮的圖案。

阿肯色大學數學系助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士論文主題就是彭羅斯貼磚。他為我們做了一個對比：「試想你走在一個由正方形構成的世界裡，你每走到一塊正方形的邊緣，下一塊都還是同樣的正方形。一直走下去，你都知道會看到什麼東西。」而彭羅斯貼磚的性質正好完全相反。「不論你掌握了多少信息、看過多少貼磚排列，你都無法預測下一步的花紋，它將會是你之前從未見過的圖案。」

平面上的非周期圖案具有一個奇特的性質，排布位置的信息似乎能夠通過某種方式跨過很大距離進行傳遞。某處的一塊貼磚可以防止數百（甚至數千、數百萬）塊貼磚之外出現某種排列類型。哈里斯說：「局部約束鬼使神差地拓展為全局約束。這些貼磚在任何尺度下都不會出現周期性的片段。」比如，你可能要選擇在一處放一塊風箏，或是在另一處放一塊飛鏢。這兩件事都能做到，但無法同時實現。

在這些組合成無窮非重複圖案的貼磚中，能看到斐波那契比例的身影。斐波那契比例又稱為「黃金比例」。如果在兩個數中，較小數與較大數的比，等於較大數與兩數之和的比，那麼這兩個數就符合黃金比例。就貼磚來說，風箏的面積與飛鏢的面積比等於黃金比例；風箏的長邊與短邊之比也等於黃金比例。

彭羅斯貼磚還可以分割成小一號的貼磚。風箏可以分成兩片小風箏和兩片半塊的小飛鏢；飛鏢可以分成一片小風箏和兩片半塊的小飛鏢。（在任何合理的拼貼方式下，那些半塊的飛鏢都能兩兩組合。數學上我們將兩片半塊飛鏢視為一個整體。）哈里斯說：「假設我有一片彭羅斯貼磚，包含 A 塊風箏和 B 塊飛鏢，那麼分割一次之後，我就能得到 2A + B 塊風箏和 A + B 塊飛鏢。」

彭羅斯瓷磚的另一種圖案。圖片來源：維基百科

如果分割無窮次，它們就可以看成是鋪展在無盡平面上，由此便能夠得到兩種貼磚數量的整體比例。對於這種計算，重複圖案的比例一定是有理數，如果不是，就說明圖案永遠不會完全重複。彭羅斯貼磚的比例不僅是無理數，而且還是斐波那契比例，飛鏢數：風箏數量=風箏數：貼磚總數。

不論是菠蘿的螺紋還是兔子的繁殖，斐波那契比例在自然界中都隨處可見。不過它一個與物質世界沒什麼關係的貼磚系統居然也以斐波那契比例為基礎比例，這就叫人奇怪了。彭羅斯的創造在數學上讓人眼前一亮，而且它們那種非自然的組合，也非常引人注目。這就好比他寫了一本介紹某個新物種的小說，結果動物學家真的發現了這個物種。彭羅斯貼磚實際上將黃金比例這個人工發明的數學概念，與我們身邊的數學聯繫到了一起。

彭羅斯在接受禁用對稱性之時，還不知道自己已經處於為材料科學帶來革命的新思潮之中。畢竟，對稱一直是純數學和自然世界的基礎。天文學家馬里奧·利維奧（Mario Livio）將對稱稱作是「破解自然設計的最根本工具之一」。大自然使用正方形與正六邊形的理由和人類設計者一樣：它們簡單、有序、有效率。如果五邊形在貼磚圖案這種簡單的室內設計中都不實用，那麼它們也就不可能出現在晶體這種固體材料之中了。

畢竟，晶體是由原子構成的三維柵格，它們的生長方式是不斷添加原子、拓展柵格，而這一過程在原子以重複方式組合時最有效。幾十年來，晶體的觀念止步於此：晶體是重複的結構，僅此而已。

然後到了1982年，謝赫特曼離開以色列海法理工學院進行學術休假，來到美國國家標準局。他在那裡的實驗室擺弄鋁錳合金，但合金的衍射圖樣卻看不出晶體學家熟知的任何標準對稱。實際上，它們原子排列的樣子，似乎正像彭羅斯在數學世界中颳起旋風的那些正五邊形、長菱形、風箏形和飛鏢形。

謝赫特曼說：「我對彭羅斯貼磚當然是很熟悉的。」但他沒法認為它們和合金有關。「我不知道圖樣反映的是什麼。接下來的幾個月我一次又一次地重複實驗，等到休假快要結束，我已經完全了解它不是什麼了，但還是不知道它是什麼。」

為了理解自己發現的東西，謝赫特曼像彭羅斯一樣，向同樣的直覺與常識發起了挑戰。他不得已接受了禁用對稱性與五邊形帶來的困惑和非重複性質。回以色列後，謝赫特曼滿不情願地得出結論：他發現了一種非重複的晶體原子結構。不過他和材料科學的其他人一樣，一開始都不願意將自己的發現稱為晶體，而稱之為「准晶體」（quasicrystal）。

這就彷彿是彭羅斯的奇幻數學殺進了自然界中。謝赫特曼說：「80年來，晶體都被定義為『有序且具有周期性的』物質，因為自1912年起，人們研究的晶體都具有周期性。直到1992年，國際晶體學聯合會成立了一個委員會重新定義了『晶體』，這是晶體學的一次範式轉移。」

理解、吸收謝赫特曼這一發現的困難，不僅在於破除思維慣性這一點。非周期晶體結構不只是讓人陌生，還被認為是非自然的事物。回憶一下，一塊彭羅斯貼磚的位置可以影響幾千塊貼磚之外貼磚的擺放，局部約束導致了全局約束。如果晶體是一個個原子堆積而成，那麼應該沒有哪條自然法則會允許彭羅斯貼磚那種內在的約束存在。

結果人們發現晶體並不總是由原子一一堆聚而成。謝赫特曼說：「金屬互化物的結構異常複雜，原胞很大。它們不是局域性的。」如果晶體不是逐漸積聚成形，而是一次生成很大的一塊，相距很遠的原子就會像彭羅斯貼磚那樣，影響對方的位置。

禁用對稱性像許多禁忌一樣，最終得到了接受，成為自然存在的一種合理形式。准晶體不僅成為學術研究新領域的課題，它們不尋常的結構還具有許多有用的性質。比如，不規則的原子構形可以降低材料的表面能，使其不易與別的物質粘黏。因此，准晶體可以用作不粘鍋的表面材料。（彭羅斯發明他的新貼磚時，根本就沒料到它會在晶體學領域開花結果，更別說拿來煎雞蛋了。）准晶體往往還具有較低的摩擦係數和不易磨損的特性，因此，剃刀和手術用具這類接觸人體的鋒利工具，可以用准晶體作理想覆層。

鈥-錳-鋅准晶體電子衍射圖。圖片來源：維基百科

由於准晶體的結構從不重複，它們在電磁波下會形成獨特的衍射圖樣。光電子研究者對它們如何影響光的透射、折射與光致發光效應很感興趣。准晶體在過冷狀態下，電阻會飆升接近無窮大。它們又能吸收紅外輻射，迅速變熱。這使它們成為3D 列印的高價值添加劑。3D 列印通常用塑料粉末作為主原料，混入准晶體粉末後，在紅外光照射下，准晶體粉末會迅速升溫，將周圍的塑料顆粒融化，使它們粘黏固定在一起。

沒人知道禁用對稱性的故事會怎樣完結。數學家繼續探索著彭羅斯貼磚的性質，准晶體也還是基礎與應用研究的課題。但它們經歷了一段不可思議的旅程。在過去的40年里，五軸對稱由不切實際變得富有價值，由違背自然變為合乎自然，由離經叛道變成主流課題。對於這場轉變，我們要感謝那兩位學者，他們推動傳統觀念進一步發展，從而揭示出自然界無窮變化的新形式。

http://nautil.us/issue/13/Symmetry/impossible-cookware-and-other-triumphs-of-the-penrose-tile

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