柏拉圖哲學中的數學

文史 05-27

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柏拉圖哲學中的數學

歐文·埃爾加·米勒著覃方明譯

節選自《柏拉圖哲學中的數學》

柏拉圖對數學的一般態度

柏拉圖對於數學有著深湛的興趣；但哲學仍是他的酷愛。這兩種興趣匯聚成為智識上完全相互作用的關係。柏拉圖的數學研究有著迥異的動機、表象和結果，這來自這樣的事實：他首先是哲學家，他的哲學（對數學）有著不同的運用；也來自這樣的事實：他熱愛數學。《柏拉圖哲學中的數學》將數學要素置於顯著的位置，特別提及要展示哲學要素對數學的意義。在其餘部分里，要把哲學要素置於顯著位置，試圖展示數學要素對它的影響。

柏拉圖的對話富含著對數學的隱喻和徵引。不難看出他是數學科學的偉大鑒賞家，對於數學有著敏銳的鑒賞力。讓我們在追究細節之前先舉出一般狀況的一點例證。

數學研究迷住了柏拉圖乃是出於其「魅力」。正是通過這一品質，立體幾何得以進步，即使它還沒有得到發展，沒有獲得普遍欣賞，也沒有得到好好傳授，人們聲稱算術有著「偉大而鼓舞人心的效能」。它是「一種最佳天性應當從中得以受到訓練的知識」，對人類來說是不可或缺的。數學價值的這後一概念由柏拉圖可能最晚期的對話《法律篇》予以非常強調之論斷。在此他論證說「對於人類不可或缺的東西和對這些東西的證明的無知對每個人來說都是可恥的」。某種程度的數學知識「對於被視為神、半神、英雄或者想要知道任何最高品類的知識的人來說都是必需的」，「不知道數學的基本應用是荒唐而無恥的，更多的是豬的而非人類的特徵」。

柏拉圖以如此崇高的措辭表達他對數學科學的欣賞與讚美。深入且更詳細的研究將更加具體地表明，他對待這一主題的態度的本質和這一態度賴以建立的基礎。他對於數學研究價值的判斷更多地是從哲學的思維方式中成長起來，而非來自實際的思維方式。他對於實用的態度如何將在後面予以詳細討論。在此我們有充分理由說，他在數學上的主要興趣集中在數學的品質、特性、精神過程和所涉及的方法，他在數學中看到的科學程序的可能性，以及數學在哲學的過程、方法和成果領域對他有所啟發的暗示與類比。

在柏拉圖認為有價值的數學研究的品質與特徵之中，最重要的是數學的普遍訓練價值。任何像他一樣對推理過程的培養那麼感興趣的人都忍不住會看到數學在這方面的可能性，即使數學科學在他那個時候還是片斷零碎的也罷。他觀察到，接受數學訓練使得一個哪怕在其他方面都愚笨的人，要比沒有接受過數學訓練的人在所有其他知識門類里都有著快得多的理解力。他對這一事實的印象如此深刻，以至他在討論算術時曾經談到過這個觀點，後來在討論幾何學時又重複了這個觀點。正是因為數學賦予抽象能力和推理過程的訓練的緣故，柏拉圖在其哲學的唯理論傾向之外，將數學當作哲學的預備課程。

雖然在柏拉圖的時代，所有科學，其中包括數學，都多少處於發展的萌芽階段，但是數學這一主題，出於其要素的相對單純性的理由，已經遠遠超越了其餘科學，並且由於其程序的清晰和結果的確定，巍然屹立於卓爾不群的境地。這樣一個事實對於柏拉圖有著比能夠為數學的精確所激起的任何功利價值都更大的興味。他對以下事實有著哲學的鑒賞力：涉及算術的技藝和涉及稱重與測量之類的技藝是最精確的，而在這些技藝中，那些「為純粹哲學衝動[即，理論的或者純粹的數學] 所激活的技藝或者科學乃是在精度與真偽上無限地優越」。他感覺這一清晰與確定的原因在於三個重要的特徵：（1）數學中的直觀要素；（2）數學更準確地將定義概念化；以及（3）數學的程序方法。因為這些要點後面還要在另一個關係里予以進一步的討論，因此，在這裡只對它們進行最簡略的闡述。

柏拉圖對於數學中的直觀要素印象深刻這一點確實來自對《美諾篇》的徵引，如果我們沒有其他來源的話。當他需要為他的知識學說尋找一個例證以確認知識是在此生之前的狀態中被感知的，他轉向了數學。《美諾篇》里的奴隸少年被塑造為完成了一個幾何學的示範，這裡「沒有教導」，但是通過提問的過程，他自己恢復了他的知識。無論柏拉圖是否感知到數學中直觀要素的意義的全部力量，但他確實在這一實踐例證中展示出這一要素。認為正是數學中的這一直觀要素要麼創造出了這一哲學問題，要麼也是創造這一哲學問題的一個因素，難道不合理嗎？柏拉圖在他的回憶學說中尋求的就是這一哲學問題的答案。

數學，相比其他學科，也已經達到更高程度的關於定義的精確概念化。柏拉圖欣賞數學的理由之一也可以在對這一事實的頻繁闡述中看出端倪，他藉由它來說明對於好定義必備的條件是什麼。在《泰阿泰德篇》里，對於平方數、橢圓和根的定義被用來展示枚舉作為定義原則是不充分的，並且定義必須以普遍術語來表達，必須引出與邏輯分類的原則相一致的一個類。在《高爾吉亞篇》里，修辭學被一個對話者定義為一門涉及論說的藝術。這一定義的鬆散立刻被注意到了，其他人指出，修辭學以這樣的方式定義無法與其他所有也涉及論說的藝術相區別。為了澄清事物，給出了一個來自數學領域的例證。如果算術被定義為那些通過言辭起作用的藝術之一，那計算也是如此。那麼，兩者的區別在哪裡？必須指出——區別就在於計算的藝術不僅考慮奇數和偶數的數量，而且還考慮它們彼此的數值關係。

對於來自數學中直觀要素和仔細定義的這類確定性與清晰性，柏拉圖認識到，還要補充一點，它們也起因於程序的方法。

在此是一門人們不信任且力避所有來自可能性的論證的科學。「數學家如果在幾何學裡從可能性與相似性來進行推導，那他就一文不值。」

有跡象顯示，柏拉圖特別感興趣於數學暗示著一種特殊的程序方法——分析的方法。有證據顯示，他對這一方法給予了特別關注，並且將它發展到更高程度。傳統上，他被認為是這一方法的發明者。在《美諾篇》里，他暗示這一方法可以應用於數學領域之外。

在論證美德是否能夠被教會的問題時，像在幾何學裡一樣，首先作出一個假設，然後從它推導出結論。如果這些結論與已知的事實相矛盾，這個假設就被駁倒；反之，如果結論與事實一致，假設就被接受。

毋庸置疑，一個具有哲學秉性的人應當被數學過程的美所打動。在那個研究領域還沒有被細碎分割為專業的時代，那時科學程序的方法還處在發展的萌芽階段，在這裡有一門科學至少還有某些東西屬於它自己的技術。從具有無可懷疑的清晰性的直觀材料與毫不含糊予以定義的概念出發，藉助於在每一步驟防範謬誤的方法前行，就可以達到結論的確定性，這種確定性與其他科學模糊的可能性形成了鮮明的對比。

與數學的清晰性與確定性的品質密切關聯的還有必然性與普遍性。柏拉圖也注意到了這些品質，並且留下了強烈的印象。

談到算術，他說：「這一知識也許確實會被稱為必然的，因為它是純粹理智在達到純粹真理時必須要用到的。」然而這一段落不是結論性的。但是在《法律篇》里，他在提到數學主題時指出：「在它們中間存在某種必然的東西，不能棄之不顧」；而且他還補充說：「也許那個說出了有關神的箴言的人在他說話時將此銘記在心，甚至神自己也不能對抗必然性。」在《泰阿泰德篇》里，算術的觀念被歸類於普遍觀念，並且在他於《理想國》中描述的為武士階級規劃的教育藍圖中，他賦予以下說法極大的重要性：注意力集中在「具有普遍用途的東西——所有藝術與科學與智力共同使用的某物——數字與計算上，所有的藝術與科學必定分享這些東西」。

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