電磁學與電動力學中的磁單極-V

本文是在電磁學和電動力學中講解磁單極奇妙性質的最後一篇文章.在前4篇文章[1-4]中分別介紹了磁單極在角動量方面的角色和作用，狄拉克磁單極及其與規範變換的關係，磁單極在作用量中的作用，磁單極在磁電介質中的作用.可以換種角度來對前面文章中出現的各種磁單極子系統進行分類，首先單個的狄拉克磁單極是我們第2篇文章[2]主要討論的內容，它通過一系列正負磁單極對構造的磁偶極子從某個場點串聯起來連到無窮遠在場點形成單個的狄拉克磁單極.這篇文章提示我們即使研究單個磁單極，應該在其中加入一些新的物體（這裡是一系列正負號相間的磁單極串）;通過觀察它們之間相互作用或它們的聯合行為來展示磁單極的奇特效應.對單個磁單極系統可加入的另一種最簡單物體，就是點電荷，如果這個新加入的點電荷與磁單極之間相互分離並且相互都不受其他外力而運動，就會引出我們在第1篇文章[1]站在磁單極上觀察運動的電荷進而討論的系統角動量問題；而如果這個新加入的點電荷與磁單極之間相互分離並且受外力而被約束在某個區域運動，就引發我們在第3篇文章[3]站在位於球心的磁單極上觀察被約束在單位球面上的點電荷運動進而討論所導致的作用量不存在問題；如果這個新加入的點電荷和磁單極不分離而是結合在一起，就導致我們在第4篇文章[4]在磁電介質中討論的雙荷子.在這4篇文章中，我們在原始的磁單極上要麼額外加進負號磁單極形成磁偶極子要麼加進點電荷，自然一個更進一步的擴展系統是考慮既加進負號磁單極又加進點電荷，這就是本篇文章所要關注的新體系.在第2篇文章[2]所涉及的磁偶極子描述中原始的出發點是正負磁單極子組成的系統，但實際上卻是以一系列電流圈構造的磁偶極子串——也就是螺線管來實行計算，這自然提出以正負磁單極子對構造的磁偶極子和以電流圈構造的磁偶極子是否完全一樣的問題，這是本文所關注的重點.以往這些文章都給出磁單極在特定電磁學和電動力學系統中所呈現出的非常有別於純電荷電流體系的現象，磁單極的出場總是展示出另類特別的特點.作為磁單極系列的收官文章，我們為反襯前4篇文章中磁單極的奇怪與非平庸，在本文中反其道而行之，證明磁單極也可能只產生極平庸的現象和結果，反而是普通的電荷電流會造就不平庸和奇怪的現象.以下先在第1節把磁偶極子的兩種不同定義的問題提出來，引進點電荷與磁偶極子的系統並進行討論；然後在第2節介紹2012年業界在點電荷與磁偶極子系統中對狹義相對論和電動力學可能衝突的討論，並討論它與我們介紹的磁偶極子兩種不同定義之間的關聯；最後在第3節對點電荷與磁偶極子的系統中磁偶極子是延展的情形做詳細的計算，進一步地驗證第2節的結論.

1 磁偶極子的定義

這個標題看起來好似十分平庸，其實不然.學過電磁學的人都知道磁偶極子.它的標準定義是一個截面積S（矢量方向代表面積的法向）電流強度I的小電流圈體系，這個電流圈的面積趨於零但電流強度趨於無窮大，保持兩者乘積固定.這個體系（假設位於坐標原點）的矢量勢A電流圈為

(1)

其中r是磁偶極子到場點的距離，m是磁偶極子的磁偶極矩，它可以寫成

(2)

這裡j是磁偶極子的電流密度.此磁偶極子所產生的磁感應強度B電流圈為

(3)

注意式（3）中最後的正比於δ函數的項通常是被忽略掉的，因為通常所討論的磁偶極子的場都不在r=0處，這時最後一項恆為零.注意按照安培環路定理，此磁感應強度對應的電流密度若用磁偶極矩m表達則為，也就是磁偶極子中存在一個電流源.如果用磁化強度M描寫的話，由我們得到.

目前這個磁偶極子的電流圈定義實際上和其所叫的名稱是不一致的，因為名稱原本指的是一對相互反號無窮靠近的磁單極.只是因為在現實世界沒看到磁單極，而人們又發現電流圈的磁感應強度在r≠0處和一對相互反號的無窮靠近的磁單極的磁感應強度完全一樣，因此用電流圈代替描寫真正的磁偶極子.那原本的磁偶極子真可以完全等價於電流圈嗎？以下我們先設法直接計算最原始的一對相互反號無窮靠近的磁單極的磁感應強度.在一定的磁荷單位選擇下，一個磁荷為g的磁單極的磁感應強度為（其中μ是真空的磁導率），因此此磁單極對應的磁標勢為.把它和電量為q的點電荷的標量勢（其中ε是真空的介電常數）進行對比，發現我們磁荷單位的選擇使得磁荷與電荷的對應關係為:.以此對應關係，從電偶極矩為p=ql（其中正反電荷之間的距離l0,q∞但維持電偶極矩p固定）的電偶極子的標量勢為出發，我們利用對應關係得到磁偶極矩為

(4)

正負磁單極子之間的距離l0,g∞但維持磁偶極矩m固定的正負磁單極構成的原始磁偶極子的磁標勢為

(5)

而它對應的磁感應強度B正負磁單極為

(6)

而按照安培環路定理，此磁感應強度對應的電流密度為，也就是這個體系中嚴格地沒有電流源存在！對比正負磁單極對給出的磁偶極子的磁感應強度式（6）和電流圈給出的磁感應強度式（3），我們發現除δ函數項外，它們確都相同.差別存在於僅在磁單極所在處有貢獻的正比於δ函數的項.對正負磁單極的這一項貢獻一個反磁偶極矩m方向相對強度為4πm/3的磁場，而對電流圈的這一項貢獻一個沿磁偶極矩m方向相對強度為8πm/3的磁場，兩者符號相反大小相差兩倍.或

(7)

其中式（7）最後的δ函數項貢獻的是式（3）和式（6）所差別的純電流源項，或者用前面討論的此純電流源貢獻的磁化強度M=mδ(r)來描寫即為B電流圈=B正負磁單極+μM.若有辦法從實驗上區分出這種差別，我們就能真正鑒別在物理中實際碰到的磁偶極子到底屬於哪種！這對尋找磁單極具有重大意義，因為即使找不到單獨存在的磁單極，若能發現由正負磁單極對構成的磁偶極子，也是磁單極存在的重要證據.

為看出兩種不同的磁偶極子定義可能的物理效應，我們考察在離磁偶極子d處放置一個電量為q的靜止點電荷,d的方向由磁偶極子指向點電荷（注意這和我們磁單極系列文章第4篇[4]討論的點電荷與一個磁單極構成的雙荷子體系是不一樣的，現在一是電荷與磁單極之間的距離可以是有限的，二是現在是兩個相互反號的磁單極而不是單個磁單極.如不顧及距離有限而硬要與本系列文章第4篇[4]比較則相當於考慮兩個相互反號的雙荷子並在一起）.我們關心點電荷與磁偶極子之間的相互作用能動量.在目前的靜止系，相互作用的能量為零W靜止=0 (若不為零則需要有非此系統內點電荷產生的外電場或非此系統內磁偶極子產生的外磁場)；但由於點電荷提供電場，磁偶極子提供磁場，這樣一個既有電場又有磁場的體系應該具有相互作用的電磁動量P靜止（這時點電荷和磁偶極子分別都具有無窮大的自作用的能量，但不具有自作用的動量）.這對磁偶極子是由電流圈定義的情形來說確是如此，但對以正反磁單極對定義的磁偶極子來說，卻不是這樣.理由很簡單，對正磁單極和點電荷聯合產生的相互作用動量與負磁單極和點電荷聯合產生的相互作用動量由於正反磁單極無窮靠近正好大小相等符號相反因而相互抵消為零.因此這樣一個體系的電磁動量的取值依賴於磁偶極子的定義，特別對正負磁單極對定義的磁偶極子正好為零P正負磁單極，靜止=0.對這個體系中的磁偶極子是由正負磁單極對定義的情形，由於在靜止系的相互作用能動量都為零，因此依照洛倫茲變換，我們可以推出在任意勻速運動系下相互作用能動量都為零.

(8)

從這個結果看，由磁單極子構造的這個體系在相互作用能動量的意義上是最簡單和平庸的.這與前4篇文章[1-4]中磁單極總是出風頭的情形正好形成鮮明的反差，這裡磁單極偃旗息鼓甘做低調平庸的角色.為了對比和以後的討論，以下我們先利用式（7）和式（6）把磁偶極子是電流圈時靜止系的電磁動量P電流圈，靜止計算出來，

(9)

在整個體系以速度v運動的體系中，通過洛倫茲變換，我們得到

(10)

(11)

式(8)與式（10）、式（11）比較形成鮮明的反差，似乎通過觀察體系的能動量既能鑒別磁偶極子是磁單極對還是電流圈構成的.然而這種反差真能有可觀察的效應嗎？

2 電動力學與狹義相對論衝突嗎?

狹義相對論誕生於電動力學，它怎麼能與它的母親發生衝突呢？這事還真的貌似發生了，就發生在上節討論的點電荷與磁偶極子系統中， 它在2012年曾在業界曾引起了一個不小的波瀾.事件過程如下: 2012年5月7日，美國物理學會的著名雜誌《物理評論快報》發表了美國Arizona大學光學數據儲存中心主任、光學科學學院教授Masud Mansuripur撰寫的題為「洛倫茲力的麻煩: 與狹義相對論和動量守恆不協調」的文章[5]，文章提出我們在電磁學和電動力學所熟知的洛倫茲力與狹義相對論的洛倫茲變換及動量守恆在某些地方會發生衝突.而在《物理評論快報》上文章還沒正式發表出來之前，在4月27日發表的《SCIENCE》雜誌上的新聞和分析版就已經有人發表了題為「教科書上的電動力學可能會與狹義相對論衝突」的介紹和評論這項工作的文章[6].在文中作者用圖1直觀而簡潔地說明了衝突的所在之處:

圖1（a)是一條通有電流向右流動（在其上電子反向向左運動）的導線，它在周圍會產生磁場，這時導線上任何一處的電荷密度都為零.導線旁邊有一個帶正電的點電荷沿電流方向向右運動，它因導線上電流產生的磁場的作用而受指嚮導線的洛倫茲力（來自磁場）.

圖1(b)是站在點電荷靜止的參考系（磁場對點電荷不會貢獻洛倫茲力）中看(a).這時導線上原本在(a)中靜止帶正電的空穴開始運動，而導線上原本在(a)中反電流方向向左運動的電子運動速率也會變化，通過洛倫茲變換可以知道在(a)中導線中正好在帶電方面相互抵消的空穴密度和電子密度在(b)中不再相互抵消（因為空穴是從靜止變到運動，而電子是從運動變到運動或極端的情形可以從運動變到靜止），因而在導線上產生了凈剩的純負電荷，它所產生的電場導致導線外靜止的點電荷受到指嚮導線的洛倫茲力（來自電場）.

圖1(c)是一個帶正電的靜止點電荷和一個靜止的被認為是一系列的電流圈構成的（也就是螺線管）磁鐵體系.點電荷和磁鐵相互之間不受力，也沒有力矩.

圖1(d)是出現衝突的情形.觀察者不動，點電荷和磁鐵都同時向右運動，如(b)所示原本無凈電荷密度的電流線在運動後會遺留下凈電荷密度，考慮到磁鐵就是一系列電流圈，計及運動方向會導致磁鐵兩邊分別出現不為零的正反電荷密度，因而形成電偶極子.此電偶極子會因其正反電荷的受力距離矢量不同而受到點電荷電場所施加的力矩，因而會產生旋轉.這顯然與(c)給出的物理圖像相互衝突！為了解決此問題消掉這個不該出現的力矩Mansuripur提出應該修改洛倫茲力公式，並做了十分複雜的討論.

看到這些報道，在當年清華物理系的電動力學課上作者即給學生介紹了這個問題，作者系裡上普通物理電磁學課的老師據說也做了類似的介紹.當時清華物理系的一些學習比較好的同學就開始在老師的建議下自己琢磨如何解決此問題.其中的一位叫吳宇愷的同學在5月19日還特別在系裡做了題為「Lorentz力公式是否需要修正」的報告，指出洛倫茲力實際上是不需要進行修正的.據說他還把結果寫成文章投稿到《物理評論快報》上，遺憾的是雜誌拒絕發表他的文章.但雜誌確在一年後集中發表了一系列對Mansuripur結果進行批評的評論文章[7-10]及Mansuripur對這些評論給予的摘要回復[11].Mansuripur的詳細回複發表在文獻[12]上.2015年本文作者在清華物理系給學生上課討論費曼第二冊書的內容，當談到圖1的上右圖中涉及的運動導線上電荷密度為什麼不為零的計算時，把這段業界的風波做了簡要介紹，並作為一個課題留給學生課後研究.有四位同學自告奮勇組織課後討論，他們研究了所有能找到的相關材料包括前面提到的學長吳宇愷報告的PPT，然後在2015年5月13日的課堂上先後由童鑫熠、謝天佑、徐集思和劉陸川共用三節課的時間把前人的工作及他們的理解、看法和解決方案進行了報告.課上大家進行了激烈的討論，正是因為此次報告的刺激才激發作者寫作此文.作者對文獻中和同學們提出的解決這個問題的各種方法和角度進行整理歸納，與大家進行分享.由於電流圈可以有無窮小或有限大兩種情形，而力矩可以有通過角動量的時間變化率計算或直接用距離叉乘受力計算兩種方式，組合起來我們原則上可以有4種處理此問題的方式: 無窮小電流圈通過角動量的時間變化率計算； 無窮小電流圈通過距離叉乘受力計算； 有限大電流圈通過角動量的時間變化率計算； 有限大電流圈通過距離叉乘受力計算.我們主要採用方式和進行討論；在中把尺度取無窮小極限即回到；的計算過於複雜我們沒有討論.

以下我們先在本節討論，並由此給出一種對有力矩但不轉動的可能解釋.然後再在下節討論，並討論其無窮小極限，其中我們使用對電流圈中運動的小球計算出了電流圈的動量、角動量，給出了另一種對有力矩但不轉動的可能解釋.

對無窮小電流圈的情形，注意圖1(c)和(d)正是我們在第1節中所討論的一個點電荷與一個磁偶極子的體系.這裡我們把磁鐵看成是一個磁偶極子，我們先把磁鐵縮成一個點，因而成為一個嚴格的點磁偶極子.點磁偶極子的問題搞清楚了，原則上把很多個點磁偶極子疊加起來就得到了有限尺寸的磁鐵.若認為這種處理不夠嚴格，在第3節我們直接對有限尺寸的磁鐵進行計算.

前面提到的衝突是在取磁偶極子是電流圈的假設基礎之上的，矛盾或衝突來自在運動的時候磁偶極子受電荷給予的力矩.為了討論這個問題，我們先建立如圖2的坐標系.S′系中點電荷和磁偶極子都靜止，S′系相對於S系沿x軸正方向作速率為v的勻速直線運動.

注意這個坐標系的xyz取向與Mansuripur原文中放入磁偶極子的坐標系取向有差別.如果我們把運動磁偶極子所受力矩的作用點選擇在電荷所在點O′處，這時相當於是在S′系中對點電荷和磁偶極子組成的系統進行觀察，因為點電荷和磁偶極子組成的系統相對於S′系靜止，對應於圖1(c)，這個力矩可由電荷和磁偶極子的相互作用角動量M電流圈≡－d×P電流圈的時間變化率得到.而由式（10），對勻速運動，=0，而d又是個固定常數，因此=0，實際上並沒有力矩，與觀察結果一致.但是如果我們把力矩的作用點選擇在O點處時，這時相當於是在S系中對點電荷和磁偶極子組成的系統進行觀察，對應於圖1(d)，則M電流圈=l×P電流圈，求力矩.對於如圖2所示的情況，式（10）的m×d與v的夾角θ剛好90°，cosθ剛好為零，所以運動電流圈的取值與靜止電流圈的取值相同，都為.代入求出的力矩大小為，方向沿z軸負向.這個結果劉陸川和謝天佑也曾計算過.我們發現，的確出現了力矩.那麼這個力矩會引起電流圈的轉動嗎？這實際上也是Science文章提出問題的出發點.通過觀察發現，這個求出來的力矩與Mansuripur原文計算出來的力矩大小相同但方向相反.這裡就把有力矩但不發生轉動的第一種解釋介紹給大家.參考文獻[7]、[9]、[10]都提出了一個「hidden momentum」的說法.下面是參考文獻[9]的一段原文: Different models that use current loops to represent a magnetic dipole predict that the dipole acquires a hidden momentum in the presence of the external electric field due to relativistic effects on the moving charges of the loops. This hidden momentum is counterbalanced by the electromagnetic momentum obtained from the integral in the whole space.按照這個說法，使用上述方法計算出來的動量是全空間的動量，而Mansuripur原文使用距離叉乘力的方法計算出來的力矩對應著一個所謂的「hidden momentum」，這兩個動量大小相等，方向相反，剛好抵消.為了驗證這個說法，我們使用文獻[10]中「hidden momentum」的計算公式.把在前面磁偶極子定義中討論過的m和代入，可得

.磁偶極子所在位置處r=0，所以，剛好和全空間的動量大小相等，方向相反.由它代入角動量的變化率算出來的力矩就等於Mansuripur原文使用距離叉乘力的方法計算出來的力矩，，方向沿z軸正向.這個力矩和前面算出的全空間的力矩剛好抵消，無凈力矩，因此電流圈不會產生轉動.

下面來看看另一種將磁偶極子換成採用正負磁單極對的情況.按照式（8）P正負磁單極=0，選取O′點為力矩原點時，磁偶極子和點電荷的相互作用角動量為零，磁單極所受的力矩自然為零.選取O點為力矩原點時，儘管l在不斷變化，但是P正負磁單極=0，所以還是為零.在前面的內容中我們提到過電流圈有電流密度為

純的電流源而正負磁單極對沒有電流源，這個差別也許就體現在有純電流源的電流圈會產生所謂的「hidden momentum」，它的作用是抵消體系原來的電磁動量.

通過對這樣兩種不同的磁偶極子定義模型的計算，我們發現，不論是電流圈還是正負磁單極對，都得到不發生轉動的情況.兩種模型在理論上體現出的最大區別在於: 電流圈構成的磁偶極子體系有相互作用角動量；而正負磁單極構成的磁偶極子體系根本沒有相互作用角動量！這是我們在本文的一開始所特彆強調的「磁單極有時也可以導致的極平庸的現象和結果」的明確顯示.由此在這個體系里完全無法從磁偶極子是否轉動上來區分磁偶極子是由電流圈構成的還是由正負磁單極構成的.實際上如果任何實驗都測不出兩種構成的磁偶極子的差別的話，也就意味著在現實世界電流圈足以替代正負磁偶極子對來頂替磁偶極子的角色.我們生活的世界也許真就不再需要磁單極的存在了.

到此為止，似乎討論應該結束了.有些細心的讀者會說: 把磁偶極子壓縮成一個點，再用點電荷到它的距離－d或者使用l叉乘它似乎不太合理.因為對有限大的電流圈，不同位置的電流應該用不同的距離矢量叉乘，這也許會造成新的差別，它是否會產生有效的力矩？也就是先算有限尺寸的磁單極所受的力矩，而不是先縮成點算力矩再疊加.這種對極限與求和的次序交換是否對本問題會造成差別呢？這個情形也就是我們的學生所具體研究和計算的問題，雖然結論相同，但具體計算相當複雜，我們把它們留在下節進行仔細討論.

3 有限尺寸運動的磁偶極子受運動電荷的作用力矩

本節分為兩個部分，一是運動的有限尺寸間隔的正反磁單極對受運動電荷的作用力矩，二是運動的有限大小的電流圈受運動電荷的作用力矩.我們發現，對於運動的有限尺寸間隔的正反磁單極對力矩嚴格為零.對於運動的有限大小的電流圈，的確存在力矩，但有另外一種不會發生轉動的解釋.

3.1 運動的有限尺寸間隔的正反磁單極對受運動電荷的作用力矩

相比於有限大小的電流圈，有限尺寸間隔的正反磁單極對的情況要簡單得多（也就是本文的主題）.我們首先建立如圖3的坐標系，S′系中點電荷和磁偶極子都靜止，S′系相對於S系沿x軸正方向作速率為v的勻速直線運動.根據Mansuripur的詳細回復中的描述畫出正負磁單極對，見圖3.在由運動電荷q產生的電磁場中， 磁單極受到洛倫茲力的作用為[13]

(12)

下面我們對正反磁單極對進行受力分析，在電荷q產生的磁場當中，正負磁單極都分別受到了沿y軸負方向的磁場力，見圖4.在電荷q產生的電場當中，正負磁單極都分別受到了沿y軸正方向的電場力，見圖5.由於運動電荷q產生的電場和磁場之間有下面的關係，而，因此我們可以得知，作用在正磁單極上的磁場力和電場力因為大小相等，方向相反，導致正磁單極受到的合力為零，對於負磁單極情況也是一樣.因此，正負磁單極對不會受到力矩的作用，力矩為零.

3.2 運動的有限大小的電流圈受運動電荷的作用情況

這部分工作主要是班上的謝天佑同學做的，並在2015年5月13日的課堂上做了簡化的介紹.根據計算，運動的有限大小的電流圈上下兩邊積累了不同電性的電荷，整個電流圈受到了比較複雜的電場力和磁場力的作用，但所受合力為零.雖然所受合力為零，但是電流圈的確受到了電磁力矩的作用，只是這個電磁力矩只引起了電流圈角動量的變化，而沒有導致電流圈的轉動.下面我們對這些結果進行一一詳細說明.

3.2.1 運動的有限大小的電流圈受運動電荷的作用力

首先建立與上面磁單極取向一致的坐標系，此時，圖1右下圖中給出的運動電荷q和電流圈相對於S′系靜止，設它們之間的距離為R′.在該系中觀察到的電流圈是一個邊長為l′ 的正方形，其上下左右四邊的電流大小相等，都為I ′，電流的繞行方向為逆時針方向，整個電流圈上下左右四邊呈電中性狀態，見圖6.這裡畫出的電流圈實際上是有一定粗度的，存在截面積A′.在這裡需要說明一下，為了在討論的過程中不引起混淆，在S′系中觀察的物理量我們都在字母的右上方加上一撇，在S系中觀察的物理量的字母沒有一撇.在S系中觀察時（見圖7），由於相對論效應，運動電荷q和電流圈之間的距離變短了，而且電流圈的上下邊縮短了，左右邊沒有發生變化，形狀變成了一個長方形，上下左右四邊的電流大小發生了變化，同時電流圈的上下邊積累了不同電性的電荷，計算如下:

在S中觀察到的電流圈由於相對論效應上下兩邊的長度變段為，左右兩邊的長度沒有發生變化，電荷q和電流圈中點之間的距離變短.

根據費曼物理學講義，在靜止系S中觀察到的運動直導線的電荷密度ρ和電流密度j與在一個以速率v相對靜止系x軸正向運動的參考系S′（在該系中直導線靜止）中觀察到的直導線的電荷密度ρ′和電流密度j′之間的關係是

(13)

在S′系當中，因為導線靜止，所以ρ′=0，

從S系觀察到的電流圈上邊導線橫截面積不變，長度縮短，積累的電量為

(14)

這裡出現負號表明累計了負電荷，取負號的原因是電流圈上邊導線的電流密度方向與導線運動方向相反.同樣可以算出電流圈下邊積累的正電量為.電流圈左右兩邊沒有電荷的積累.

根據I=jA及I′=j′A′及式（13）的後面3個式子，可以得到從S系觀察到的電流圈上下邊的電流，左右邊的電流為.

現在來考慮運動電荷q產生的電磁場對電流圈的作用.根據電動力學理論，在S系中，沿x軸方向運動的電荷q在空間產生的電場和磁場分別是

(15)

(16)

下面我們首先分析電流圈受到的電場力和磁場力作用，見圖8.為使分析稍微簡單一些，我們簡化模型，假定只有一圈電流，並且放置在xy平面中，也就是說z=0.

從圖8中可以看出，電流圈受到的力比較複雜.電流圈左右兩邊由於沒圖8電流圈受到的電場力磁場力和力矩分析

有電荷的積累，所以不受到電場力的作用.上下兩邊受到電場力的作用.電流圈的上下左右因為都存在電流，均受到磁場力的作用.可以看出Fm左上=－Fm左下,Fm右上=－Fm右下，上下兩邊對應點受到的電場力在x軸上的分量也由於大小相等方向相反而抵消了，下面我們看看作用在上下兩邊的磁場力和在y軸方向的電場力能否相互抵消.只對電流圈下邊的一點dx作分析.現在把導線看成一根線，，它受到y方向上的電場力為

它受到y方向上的磁場力為

所以在電流圈的上下邊這兩個力也抵消了，因此我們可以得到結論: 電流圈不受力的作用.

3.2.2 運動的有限大小的電流圈受運動電荷的作用力矩

整個電流圈不受力的作用，那麼它也不受到力矩的作用嗎？答案是否定的.在S系中，通過觀察，我們發現如果以S系的原點O作為力矩中r的起點，則對力矩有貢獻的電場力分別是Fex,F′ex,Fm左上,Fm左下,Fm右上,Fm右下，下面我們就分別計算這些有貢獻的電場力和磁場力所產生的力矩.

我們的計算是在S系當中進行的.先看電場力的力矩.經過分析，電力矩

沿z軸正向.電流圈上下兩邊對應位置的電荷受到的電場力在x軸上的分量大小相等方向相反，可以合在一起計算，並且可以看出在不同的受力點r與x軸之間的夾角θ不一樣，但是rsinθ=y的值都是一樣的為.因此電場力力矩為

積分到這裡，我們發現不知道t的取值，但知道，因此上下限分別使用S′系中的和代入，最後算得

(17)

再來考慮磁場力的力矩.磁場力在電流圈左邊和電流圈右邊產生的力矩

和分別沿z軸正向和z軸負向，總磁力矩為.與計算電場力力矩類似，發現左右受力點的r與x軸之間的夾角θ不一樣，但兩邊rsinθ的值都為y，所以有

先計算對電流圈右邊的作用

下面做一個積分變換技巧，先將(x－vt)2/(1－v2/c2) 代換為，上述積分變為

再採用一個積分技巧，代換y=(R′+l′/2)tanα，求得同時把x2′=R′+l′/2代入，先不考慮常數項，可得以α為變數的積分為

積分的上下限我們在後面再進行考慮.

積分第一項為

積分第二項為

現在討論積分的上下限，已知角度關係，把代入，求得，當y=ly/2=l′/2 時，，當y=－ly/2=－l′/2 時，

因此，採取同樣類似的方法可以求得，，其中sinα1=.

注意到力矩和分別沿z軸正向和z軸負向，為了和沿z軸正向的電力矩疊加，取z軸正向為正，則取負值，總的磁力矩為

(18)

綜合電力矩和磁力矩，得到電流環受到的總力矩

(19)

從上面的計算可以看出，電流圈的確受到一個不為零的力矩.

有限大尺寸的電流圈的力矩看起來比無窮小電流圈的力矩複雜的多，它們之間能夠對應起來嗎？下面來看看它們之間的對應關係.

在力矩原點選擇O點處，無窮小電流圈力矩的大小在前面的計算中可以知道為，其中.代入上式有，有限尺寸的電流圈力矩大小為上面式（19）.其中無窮小力矩表達式中的d與第二式的R′相等，是同一個距離.

對照兩式，通過觀察，發現不同的地方只在，如果能夠證明兩者在線圈l′趨於無窮小時相等，說明兩者可以對應上.

下面從入手，把sinα1和sinα2代入，並處理一下，得到

(20)

下面做一些技巧處理，把所有帶根號項的根號去掉（可以這樣做的原因是l′0，是無窮小量），使用公式

同理可得

把去掉根號的量代入式（20），得到

再使用無窮小量公式ln(1+x)～x，得到

由於太小了，視為零.可得到，剛好就是.

從上面的討論可以看出，當l′0時，有限大尺寸的電流圈和無窮小的電流圈的力矩統一起來了.那麼這個力矩一定會引起電流圈的轉動嗎？這就是我們下面要討論的問題.

3.2.3運動的有限大小的電流圈受力矩作用但不轉動

在前面無窮小電流圈的情況下我們已經對出現了力矩但電流圈不會發生轉動的情況的一種解釋進行了說明，即全空間的力矩和對應著「hidden momentum」的力矩相互抵消，無凈力矩，不會發生轉動.對於有限大電流圈情況，我們同樣可以使用（其中電場的公式為上面的式（15），磁場除了式（16）還要考慮運動的電流圈產生的複雜磁場)計算出全空間的動量，從而進一步計算出相應的力矩，該力矩與3.2.2節計算出來的力矩抵消.但是由於上式計算過於複雜，我們就不詳細進行討論了.我們將在下面的內容中計算出與3.2.2節計算出來的力矩相對應的動量和角動量，並給出另外一種有力矩但不轉動的解釋.

對於有限大尺寸的電流圈，為了計算電流圈的電磁動量，建立如下微觀模型.在把S系中整體呈電中性電流圈看作是一個帶負電的管子和運動著的帶正電e的小球組成，小球與管壁之間為彈性碰撞，無摩擦力，見圖9.在穩態情況下，根據左右兩邊電流相等和整個迴路的載流子能量相等可以導出

(21)

(22)

其中n1和n2為粒子數密度，v1和v2為小球的運動速率，m1和m2為小球的質量，φ1和φ2為運動粒子q產生的電勢.

進一步寫為

把和代入，得

同樣對上下邊對應位置的灰色小球也做類似分析，可以得到這兩個小灰球的質量m′1和m′2相等（因為φ′1和φ′2相等），還可得到.

有了以上的準備工作，下面我們就可以計算電流圈的動量.整個電流圈的動量是每一個小球動量的疊加.對於x軸方向，動量為

對於y軸方向，動量為

經過分析，由於，該電流圈上下兩邊的動量被抵消了，只剩下左右兩邊的動量.p的方向沿y軸正向.

對於第一個積分，作代換y=(R′－l′/2)tanα，對於第二個積分，作代換y=(R′+l′/2)tanα.與前面計算力矩的推導類似，可以得到

(23)

可以看出，該電磁動量是一個不隨時間變化的量，而且它的方向保持為y軸正向.上面的討論雖然是在S系當中得到的結果，但是對於S′系，結果是一樣的，只是具體計算時因為有些物理量在S系和S′系中不一樣，要把相應物理量的取值改變.

相應地，我們可以使用L=r×p，直接通過對每個運動小球的積分計算出整個電流圈角動量的值.其中對於每一個小球角動量的大小L=rpsinθ中的r和sinθ雖然都是變數，但rsinθ為一恆定值x.求出的角動量為

(24)

方向沿z軸正向.

角動量的變化率

(25)

通過對電流圈中運動著的小球積分，我們得到了一個與力矩有對應關係的角動量.我們發現該角動量的變化率剛好等於電流圈所受到的力矩.到此人們可能還會問，雖然這個力矩對應上了一個角動量的變化率，但是怎麼知道它不會引起磁鐵的轉動呢？就此我們引入第二種解釋.算出的P沿y軸正向，可以寫成球坐標系下的形式

(26)

當我們對p進行求導數的時候，會出現項，這兩個角度的變化可以表徵轉動，但是實際上因為p是一個常數，，所以也等於0，無轉動發生.

電流圈的情況比較複雜，在此做一下小結.我們對無窮小電流圈計算出了運動的電荷和磁偶極子體系的動量和相應力矩，「hidden momentum」和相應力矩，並給出了電流圈不發生轉動的第一種解釋: 兩個力矩相互抵消，無凈力矩，不發生轉動.對有限大的電流圈使用距離叉乘力的方法計算出了電流圈受到的力矩，使用對電流圈中運動的小球計算出了電流圈的動量、角動量，角動量的變化率正好對應於力矩.並從動量不發生變化，電流圈沒有角度的變化給出了電流圈不發生轉動的第二種解釋.

4 結語

電流圈構造的磁偶極子與正反磁偶極子對構造的磁偶極子所產生的電磁場在外部完全相同，在內部相互反號, 大小相差兩倍.在磁偶極子和點電荷形成的系統中無論是在靜止系還是在運動系，磁偶極子不管是兩種構造中的哪種都不會發生轉動.只是磁偶極子若是由正反磁單極對構造的，體系的相互作用能動量和角動量都為零，因而十分簡單和平庸；而若磁偶極子若是由小電流圈構造的，體系的相互作用能動量和角動量除了靜止系的能量為零之外一般都不為零.

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引文格式: 王青.電磁學與電動力學中的磁單極—V[J]. 物理與工程，2016，26（1）：10-22.

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