電磁學與電動力學中的磁單極-II

本文是在電磁學和電動力學中講解磁單極奇妙性質的第二篇文章.在上篇文章[1]中，我們對磁單極的概況作了介紹，並特別討論了它在角動量方面的角色和作用.在這篇文章中我們關注磁單極與規範變換的關係.以下先介紹規範變換與規範對稱性，再介紹狄拉克磁單極，並討論狄拉克磁單極和普通磁偶極子的關係，進而討論狄拉克磁單極與規範變換的關係，最後給出狄拉克磁單極的顯式表達式，並在此基礎上進一步構建出沒有奇異的吳大峻-楊振寧磁單極.

1 規範變換與規範對稱性

規範變換來自電場強度E和磁感應強度B與標量勢φ和矢量勢A之間的如下關係式：

（1）

上式對給定的電場強度E和磁感應強度B無法完全確定標量勢φ和矢量勢A，可以具有如下任意性：

（2）

或用四維時空的表達式：.（2）式的詮釋是：式（1）把φ和A換成式（2）給出的φ′和A′仍然成立.另一種更理論化的說法是式（1）在式（2）定義的變換下保持不變.式（2）就是本文重點討論的規範變換，其中的是一個類似於標量勢φ的任意可以求導的標量場.由於場的任意性，因此它是一個不可觀察的場量.

電場強度和磁感應強度代表電磁作用可觀察的物理量.人們經常更一般地說，電磁學和電動力學可觀察的物理效應在規範變換下保持不變.這種不變性代表了電磁相互作用具有一種抽象的對稱性——U(1)規範對稱性.在傳統電磁學和電動力學教材中一般不太提及規範對稱性，而最多只提及規範變換.在電動力學的理論物理描寫中，人們把這種U(1)規範對稱性上升為電磁作用的基本原理——規範原理，也就是要求電磁相互作用在規範變換（2）下保持不變.由此配合上一些其他的基本原理就可以從理論上推導出真空中的麥克斯韋方程組.這個推導出的電磁場理論因此也叫U(1)規範場理論.

由於規範變換（2）可以決定自然界的基本電磁作用，因此在理論上具有極其特殊的作用和地位.早年楊振寧和米爾斯把它推廣到更一般的非阿貝爾形式，建立了著名的非阿貝爾規範場理論.人們發現目前人類業已發現的四種基本相互作用，除引力外都是由規範場所描述的.這使得源自電磁學和電動力學的規範變換在人類探究基本相互作用的領域擔負起了至為關鍵的角色.

雖然規範變換（2）在理論上有這麼重要的價值和地位，在日常的電磁學和電動力學計算中它確經常是麻煩製造者.因為它導致標量勢和矢量勢的確定有任意性，使得不同人針對同樣的電場和磁場計算得到的標量勢和矢量勢一般都不相同，不容易進行相互比較.為此人們一般採取選擇一個約束條件來去掉任意性的辦法，而這個約束條件通常被稱作規範固定條件，選擇規範固定條件簡稱選規範.在電磁學和電動力學中常用的兩種規範，一個是庫侖規範：；另一個是洛倫茲規範：.人們在具體計算勢時，一般總要問：你是在哪個規範下算的？

在規範變換（2）中場是任意的，因此當然應該不會有什麼物理意義.但本文後面會看到，狄拉克磁單極卻使它顯現出了直觀的圖像.

2 一般的狄拉克磁單極

磁單極是單個的磁極，狄拉克磁單極是一種特殊的通過磁偶極子構造的磁單極.為了介紹狄拉克磁單極，首先從磁偶極子說起.磁偶極子是由一對不重合無窮靠近的正負磁極構成的體系.若干個同樣的磁偶極子沿一條曲線順序同向頭尾相連排列起來的效果是曲線中間的磁單極都正負相互抵消了，只剩下曲線兩端的正負磁極.在電磁學和電動力學中證明了這樣的體系所產生的空間磁感應強度分布和沿曲線走向的一個載有電流的螺線管是完全一樣的.若曲線是簡單的直線，則退化到一個簡單的情況：兩個相距有限遠的正負磁極在它們連線之外的空間產生的磁場和在連線上的一個無窮細的條形磁鐵或在連線上無窮細載有電流的螺線管產生的磁場是完全一樣的.

狄拉克磁單極是狄拉克1931年提出的[2]，它實際就是將這種沿一條曲線順序同向頭尾相連排列起來的磁偶極子的一端一直延續到無窮遠所構成的系統，如圖1所示.對這樣的體系，如前面所述，位於曲線中間的所有正負磁極都相互抵消，而只有兩端的正負磁極沒有相互抵消.位於無窮遠那端的磁極對有限空間區域磁場的貢獻由於距離無窮遠而可以忽略，因此這樣一個體系對有限空間區域的磁場只有位於有限空間那端的磁極有貢獻，因而等價於那個端點的磁單極.由於是用磁偶極子構造的，狄拉克磁單極與一般磁單極不同之處就在於多了一個從磁單極之處沿某條曲線伸展到無窮遠的弦，這條弦通常被稱為「狄拉克弦」.在弦上由於有磁偶極子，磁場和矢量勢都是奇異的.從圖像上看，狄拉克磁單極就像是一個蝌蚪，磁單極就是蝌蚪的頭，狄拉克弦就是蝌蚪的尾巴，這個尾巴一直延伸到無窮遠.

狄拉克磁單極是由無窮多磁偶極子所組成的系統.反過來能否通過狄拉克磁單極構造磁偶極子呢？這當然是可以的，只要像標準的偶極子構造那樣，將兩個具有相同弦（即弦的曲線路徑相同）無窮靠近大小相等相互反號的狄拉克磁單極組合在一起就可形成標準的磁偶極子.這時很容易看到，兩個狄拉克弦嚴格相消，只剩下所需要的磁偶極子.有人會問，如果這兩個狄拉克磁單極所分別對應的狄拉克弦不相同，會出現什麼問題呢？這點留待本文後面再進行討論.

狄拉克磁單極所具有的狄拉克弦是一個很奇怪的東西.對固定在空間某場點的狄拉克磁單極（也就是說狄拉克磁單極的頭位於此點）來說，可以有不同的狄拉克弦，只要弦的一端固定在場點，而弦的其他部分可以取不同的曲線.從一條曲線變為另一條曲線，好像狄拉克磁單極的尾巴在擺動.人們會問狄拉克弦有可觀測的效應嗎？ 通常認為狄拉克弦是不可觀察的.理由很簡單，空間沒看到那個奇異的弦.如果是這樣，那弦對應什麼呢？下節將仔細討論.

3 狄拉克弦的擺動與規範變換

先計算狄拉克弦所產生的矢量勢.我們採用把無窮多的小磁偶極子對場點的矢量勢的貢獻疊加起來的辦法.每個小磁偶極子的磁偶極矩設為dm，在合適的單位制下，它和組成這個小磁偶極子的正負磁荷±g及它們之間的距離dl′的關係為：μdm=gdl′.如圖1右邊的圖，我們建立一個坐標架，坐標原點取為O，場點取為P.坐標原點指向場點的矢量為r，坐標原點指向小磁偶極子的矢量為r′.場點的矢量勢AL(r)為

（3）

其中,積分號的下標L用來標記積分所走的路徑，也就是狄拉克弦.現在如果對處於同一地點但具有不同弦路徑（一條設為L，另一條設為L′，如圖2的右邊圖所示）的磁單極，我們看看它們的矢量勢差別是多少？

（4）

其中,C是一個先沿L′正向繞行再沿L反向繞回來的封閉迴路，利用格林公式在第二個等號把沿迴路的曲線積分換成了迴路所包的面積上的曲面積分，上式括弧中第二項積分的被積函數實際上是一個δ函數：

（5）

如果選擇場點r不在兩條弦上，則r≠r′，δ函數恆為零.因此，

（6）

注意到在上式的第二個等號中把一個微商的變數從r′換成了r，由此多出一個負號.然後把這個對r的微商移到了積分的外面.在第三個等號中，我們發現被積函數變成了常數1，因而積分可以嚴格完成，結果就是由路徑C（也是路徑L到L′所掃過的面積）對場點r所張的立體角Ω（圖2的左邊圖）.對比上式和矢量勢的規範變換（式（2）右邊的式子），發現上式實際上就是一個規範變換.因此結合規範變換，式（6）的結果告訴我們，當從路徑L變到L′時（直觀圖像就是狄拉克磁單極的尾巴從L擺動到L′時），矢量勢經歷了一個規範變換，且規範變換的場在這種特殊情形下是

（7）

前面曾提到規範變換的場是任意沒有什麼物理意義的場，現在它有了圖像：是場點對狄拉克弦擺動區域的張角Ω乘以係數.而反過來，狄拉克弦本來也應是不可觀察的.目前雖然不能說出狄拉克弦本身有什麼可觀察的效應，但它的擺動卻是直接對應著另一個不可觀察的規範變換的場！磁單極和規範變換中各自的不可觀察的東西相互之間顯現出了確定的聯繫.

4 位於坐標原點弦為直線的狄拉克磁單極的顯式表達

前面式（3）給出的狄拉克磁單極的矢量勢是用一個曲線積分給出的.在現實中我們更希望顯式地知道這個曲線積分完成後，到底矢量勢對場點的坐標具體是如何依賴的.特別地，顯式給出的狄拉克磁單極將明顯地展示出狄拉克弦的奇異性.

在本節中我們就在一個特殊情形下完成這個曲線積分.為方便起見，把狄拉克磁單極的「頭」設在坐標原點，而先把「尾巴」放在負z軸上，也就是「尾巴」從坐標原點一直沿負z軸延伸到負無窮遠.對這種特殊的安排，式（3）化為

（8）

式（8）中的積分可以完成，結果可用r與z軸的夾角θ及r的模r來表達

（9）

雖然這個積分的結果包含有積分下限造成的無窮大，我們將發現這個無窮大對結果沒有影響.將積分結果代回式（8），利用在球坐標中：

（10）

（11）

（12）

因為這時磁單極的狄拉克弦是沿z軸走向的，若我們把它推廣到沿任意方向走向，並計這個方向的單位矢量為n（即從無窮遠指向磁單極的方向）.則這個n就是現在的ez，因而cosθ=n·ez，結合式（11），我們進一步得到：，把它代回式（12），我們最後得到

（13）

這就是位於坐標原點，狄拉克弦為沿n方向直線的狄拉克磁單極的矢量勢的顯式表達式！它正是人們通常所認定的狄拉克磁單極的標準表達式.從式（13）中我們很容易看到在er沿-n方向（也就是從坐標原點沿-n方向的直線上）出現了奇異，這正是狄拉克弦.

5 小結與討論

奇妙的狄拉克磁單極在其狄拉克弦為直線時具有十分簡潔的矢量勢表達式（13）.這個不可觀察的狄拉克弦原則上可以任意選擇，通過弦的擺動可以詮釋規範變換：弦的擺動導致矢量勢的規範變換.或反過來說，對一類特殊的可以用狄拉克磁單極來產生的矢量勢來說，對其進行規範變換，相當於產生這個矢量勢的狄拉克磁單極的尾巴做了某種擺動，具體擺動區域的張角與規範變換的場的關係由式（7）給出.

在現實世界中，到目前為止實驗上一直未能發現磁單極，因此目前現實世界的矢量勢都是磁偶極子（或電流圈）所產生的.加上前面說過磁偶極子是可以由一對反號的狄拉克磁單極構成的知識，我們得到：目前現實世界所有矢量勢的規範變換都相當於產生這個矢量勢的狄拉克磁單極的尾巴做了某種擺動.注意對磁偶極子，不是兩條相消的狄拉克弦一起擺動，那樣的貢獻是完全相互抵消的，而是其中一條狄拉克弦進行擺動.這就解釋了前節遺留的由反號狄拉克磁單極組成的磁偶極子體系的兩條狄拉克弦重合與不重合有什麼差別的問題，它們的差別就是矢量勢的規範變換，或直觀圖像上對應其中一條狄拉克弦的擺動.現實世界的磁偶極子用狄拉克磁單極描寫的圖像可以形象地比喻為一個舞動長袖的舞者：舞者兩臂分別代表正負磁極，兩臂帶動飄逸的長袖（假設它們無窮長）就是相應的狄拉克弦，長袖的舞動所產生的效應就是規範變換！

狄拉克磁單極中的狄拉克弦具有奇異性，我們有沒有可能把這個奇異的狄拉克弦去掉呢？注意到當n=ez時，在z>0的北半球空間沒有狄拉克弦，而當n=－ez時，在z

這樣的磁單極叫吳大峻-楊振寧磁單極，它的矢量勢沒有奇異，但在的赤道上兩個勢並不相等，它們只相差一個規範變換.為了構造這個沒有奇異弦的磁單極子矢量勢，所付出的代價是整個空間變成了兩個大半球的並集，並且在它們的交集上要做規範變換.

參考文獻

[1]王青. 電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅰ[J].物理與工程，2013，23（6）：8-11.

[2]Dirac P A M. Quantised singularities in the electromagnetic field［J］. Proc. Roy.Soc. 1931, A133: 60.

[3]WU T T , YANG C N. Some solutions of the classical isotopic gauge field equations[M]//MARK H, FERNBACH S. Properties of Matter Under Unusual Conditions. New York: Wiley-Interscience, 1969.

引文格式: 王青.電磁學與電動力學中的磁單極—Ⅱ[J]. 物理與工程，2014，24（5）：30-34.

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