俗語新解，用數學的眼光看世界

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俗語新解，用數學的眼光看世界

來源：演算法與數學之美

原出處：科學松鼠會 方弦

很多俗語，其實都是人們對經驗的概括。它們未必很準確，卻總是有些道理。如果我們嘗試用數學的眼光去分析這些俗語，又會得到什麼結果呢？

上得山多終遇虎

靠山吃山靠水吃水，住在山邊的人，饞了上山打獵，病了上山採藥，總之是經常與大自然親密接觸。但是，在古代，環境還沒有被破壞得這麼厲害，山上有老虎是常有的事。儘管一隻老虎的領地可達數平方公里，它也不是天天在領地閑逛，所以上山打一次獵遇到老虎的概率也不高。但對於那些天天上山打獵的老獵人來說，在職業生涯中一次老虎都沒有遇到過，倒是件稀有的事。所謂「上得山多終遇虎」，大概就是指的這種情況。

假設獵人每次上山打獵，遇到老虎的概率是 p，也就是說遇不到老虎的概率是 1 - p。那麼，在 m 次打獵中，每次都沒有遇到過老虎的概率就是 (1 - p)^m。只要有可能遇到老虎（相當於說 p > 0），當 m 越來越大時，(1 - p)^m 就會越來越小，最終趨向於 0。也就是說，儘管每次倒霉遇上老虎的概率不高，但如果每天都去打獵的話，總有一天會倒霉的。

可能有人會反過來想：我每次買彩票，中頭獎的概率都不是 0；那麼，總有一天我會中頭獎的。這種想法既對又不對。理論上來說，一直買下去的話的確總有一天會中獎，但是大概要買多少遍才會中頭獎呢？以 36 選 7 為例，中頭獎的概率是 1 / C(36, 7)，所以大概要買 C(36, 7) 期會有一期中頭獎，那是大概八百萬期，也就是大概兩萬年。兩萬年後，福彩是否存在還是個問題。

而對於獵人來說，每次上山遇虎的概率顯然沒有那麼低。要是聽到虎嘯也算遇虎的話，千分之一應該算是一個不錯的估算。這樣算來，大概打一千次獵就會有一次遇到老虎。對於經常上山的獵人來說，大概十多年就有這個數了，難怪「上得山多終遇虎」。

現在環境破壞得嚴重，要「遇虎」，大概只能到動物園去了，山裡反倒非常安全。「盛世出猛虎」之類的，只能是笑話了。

數學博士眼中的雲。

坐吃山空

「坐吃山空」，大概是告誡那些只願吃閑飯不願幹活的人，無論家裡有多少錢，總有一天要吃光的。

在忽略貨幣變化的前提下，假設家裡的存款是 M，一頓飯只需要花費 m，這些存款也只能支撐 M/m 頓飯，也就是說人是不可能永遠吃閑飯吃下去的。

用數學的語言來說，只要 m 不是 0，無論 m 多麼小，將很多同樣的 m 加起來，我們可以得到要多大有多大的數。這種性質叫做實數的阿基米德性質。

利用阿基米德性質，我們能解釋 0.999... = 1 的問題。假設 p = 1 - 0.999... ，如果 p 不等於 0 的話，p 就是一個正實數。根據阿基米德性質，總存在一個整數 M，使得 M*p ≥ 1。於是 p ≤ 1/M，1 - 1/M ≥ 1 - p = 0.999... 。然而，這是不可能的，因為 1/M 總會在小數點後某一位開始非 0，導致 1 - 1/M 不等於 0.999... 。這個矛盾表明我們的假設是錯誤的，也就是說其實 0.999... = 1。

很多我們常見的數都有阿基米德性質，比如說有理數、實數、複數。當然，對於複數來說，「要多大有多大」就要重新定義了，一般是用它的範數——也就是在複平面上與原點的距離——來定義的。在複數裡邊，就應該是可以得到範數要多大有多大的數。

也有一些數是沒有阿基米德性質的，比如說 p 進數。它們的結構普遍比實數的要複雜得多，也能表達更多的東西。

數學博士眼中的植物。

久賭必輸

從來只聽過開賭場而富甲一方的，沒聽過有賭徒能靠賭博過上幸福生活的，反倒是家破人亡的不計其數。在賭場賭博的話，略去抽頭不談，就連賭局本身也是對賭場有利的。說難聽點，去賭場賭錢就相當於直接送錢給賭場老闆。就算是一對一機會均等的賭局，要是一直賭下去的話，也總有一天會輸光的。這就是「久賭必輸」。

假設每盤賭局的賭注是 1，而賭徒的財產是 n。在每盤賭局中，賭徒有 1/2 的概率贏，有 1/2 的概率輸。那麼，如果一直這樣賭下去的話，賭徒輸光的概率是多少呢？

顯然，賭徒的錢越多，輸光需要的局數也越多。當賭徒的財產是 n 時，我們記輸光的概率為 p(n)。因為每次賭局有一半的可能贏，一半的可能輸，贏的時候財產變成 n + 1，輸的時候變成 n - 1，所以 p(n) = (p(n + 1) + p(n - 1))/2。當 n = 0 的時候，即使不用賭，所有東西都輸光了，所以 p(0) = 1。

所以，p 可以看作一個滿足下列遞推關係的數列：

p(0) = 1

p(n+1) = 2 * p(n) - p(n-1)，也就是 p(n+1) - p(n) = p(n) - p(n-1)

容易驗證 p(n) = n * p(1) - (n-1) 正好符合上面的遞推關係。因為 p(n) ≥ 0，所以對於任意的 n，必定有 p(1) ≥ 1 - 1/n。因此 p(1) = 1，並且對於所有的 n，p(n) = 1。在無限次的賭博中，賭徒在某一次賭博中輸光的概率是 1。

賭徒的賭博軌跡，可以用所謂的馬爾可夫鏈來描述。把賭徒的財產值視為不同的狀態，而每次賭局則相當於在這些狀態之間轉移，贏錢時轉移到錢多些的狀態，輸錢時轉移到錢少些的狀態。而破產的狀態就像個陷阱，是跳不出的，因為已經沒有賭本了。如果一條馬爾可夫鏈有這樣的「陷阱」狀態，而每一個狀態都有可能到達「陷阱」的話，在不斷的轉移中，總有一天會掉到「陷阱」里去。所謂「久賭必輸」，其實說的就是這麼一個道理。

數學博士眼中的山脈。

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