藝術引領數學？

一般認為數學和藝術是不同的學科，一個致力於抽象概念，另一個則注重情感。但有時候兩者的界限並不分明。

從伊斯蘭瓷磚到傑克遜·波洛克的混亂圖案，我們可以看到藝術與數學研究之間的明顯的相似性。兩種思考模式並不完全相同，但有意思的是，似乎經常其中一個預示了另一個。

是不是有時候藝術會啟發數學發現呢？沒有簡單的答案，但在某些例子中，看起來很可能是的。

阿爾罕布拉宮的圖案

在14世紀和15世紀，阿爾罕布拉宮是柏柏爾人君主的宮殿和寢宮。對很多遊客而言，這幾乎是地球上最接近天堂的所在了：諸多有噴泉的樓天庭院，四周是遮陰避雨的環廊。天花板上布滿了模印的類似鐘乳石的精美幾何圖案。而最精美的當屬四周牆壁的多彩瓷磚上的裝飾，令人眼花繚亂，沉醉於喜悅之中。這種幾何圖案類似於音樂，令人靈魂出竅，如聞天音，喜不自勝。

阿爾漢布拉宮的瓷磚。Credit: 煎蛋第六位畫師Chon

這是藝術的勝利，也是數學推理的勝利。這種裝飾引發了一個數學分支名為鋪砌問題，即利用規則的幾何圖形覆蓋整個空間。數學上已證實，平面可被三角形、四邊形和六邊形等圖形鋪滿，但五邊形不行。

結合不同的形狀也是可以的，比如利用三角形、四邊形和六邊形瓷磚完全填充空間。阿爾罕布拉宮就浸淫於這種精美的幾何組合，使得看起來似乎是在移動中，而不是靜止。這些圖案似乎在我們眼前旋轉，令我們的腦子在觀看的時候不斷思考，不斷排列、重新排列這些圖案，形成不同的新圖形(比如盯著廁所的瓷磚思考人生)。

情感體驗？不錯。但這種伊斯蘭瓷磚最令人著迷的是這些無名藝術家和工匠的傑作還表現出幾近完美的數理邏輯。數學家們已經鑒定出17種對稱形：左右對稱，旋轉對稱等等。阿爾罕布拉宮就包含了至少16種，就像是教科書的圖解。

這些圖案不僅僅是漂亮，還蘊含著嚴密的數學，幾乎完全囊括了基本的對稱特性。而數學家們直到阿爾罕布拉宮建成幾個世紀之後才提出對稱原理的分析。

准晶體瓷磚

雖然阿爾罕布拉宮的裝飾物是極好的，但波斯的傑作可能還要更勝一籌。1453年，伊斯法罕Darbi-I Imam聖地的無名工匠發現了准晶體圖形。這些圖形具有複雜神秘的數學性質，直到1970年代彭羅斯拼圖的發現，數學家才能夠進行分析。

這種圖形能以規則的形狀完全填滿空間，但是所用的圖形絕不重複。實際上，即使趨近於無限也不會重複，不過黃金分割這一數學常數會不斷重複出現。

Daniel Schectman由於發現了違反完形法則的准晶體獲得2001年的諾貝爾獎。這一突破性進展迫使科學家重新考慮物質本質的概念。

2005年，哈佛物理學家Peter James Lu證實可以利用相對簡單的結瓷磚(girih tile)產生准晶體圖形。結瓷磚結合了幾種純粹的幾何形狀形成五種圖案：正十邊形，不規則的六邊形，蝶形，菱形以及正五邊形。

Girih tile. Credit: 煎蛋畫師Chon

不管理論如何，反正Darbi-I Imam聖地的准晶體圖案是由不精通數學的工匠製造的，花費了數學家幾個世紀的功夫來分析和解釋。換言之，直覺先於完全的理解。

透視與非歐幾里得數學

幾何透視使得畫師能逼真而準確地描繪所見世界，引發了義大利文藝復興的藝術變革。並且還可以說透視引起了對基礎數學定律的重要重新檢查。

根據歐幾里得數學，兩條平行線永遠平行不相交。而在文藝復興透視的世界中，平行直線在遠處最終會相交於所謂的「沒影點」。即是說，文藝復興透視提出了一種遵循通常數學法則的幾何，但是非歐幾里得的。

Credit: 123RF

當數學家首次在19世紀早期提出非歐幾里得數學時，他們想像出一個平行直線在無限遠處相交的世界。他們所研究的幾何在很多方面，都類似於文藝復興透視圖。

非歐幾里得數學此後轉向探索12維或者13維空間，遠超文藝復興的透視世界。但值得深思的是，文藝復興藝術是否使得那最初的一步更為容易呢？

波洛克的混亂畫作

現代藝術中一個有意思的個例打破了傳統的界限，與近期的數學發展具有相似之處，那就是傑克遜·波洛克的畫作。

對於首次看到的人，波洛克的畫作似乎非常混亂沒有意義。但隨著時間推移，我們會逐漸發現其中具有一定的有序元素，雖然並非傳統意義上的那種。他們的形狀既是可預測的，同時也是不可預測的，這種方式類似於水龍頭的滴水，無從估計下一滴的準確效應。但是，如果我們繪製滴水的圖案，就會發現會落入一個具有清晰形狀和邊界的區域。

這種不可預測性曾經超出了數學的處理能力。但近年來，這已成為最熱門的數學探索領域之一。例如，混沌理論探索不可預測但落入確定可能性範圍的模式，而分形分析研究類似但不相同的形狀。

波洛克自己對數學沒有任何特別的興趣，而且已知對此領域並無多少天賦。他所創造出的這些迷人的形式都是出於直覺和主觀。

有趣的是，數學家們至今仍未能準確描述波洛克在畫作中所做的。例如，曾經有研究者試圖利用分形分析創建他的風格的數值「簽名」，但至今仍未能成功，無法區分波洛克的親手畫作與劣質的模仿。即使認為波洛克利用了分形的觀點這一想法可能也是不正確的。

儘管如此，波洛克的同時混亂和有序的圖形仍然為數學研究提供了多種可能方向。可能某一天，研究者能描述波洛克畫作中的數學，藝術家也會繼續前進，制定探索的新邊界。

本文譯自 conversation，由譯者 CliffBao 基於創作共用協議(BY-NC)發布。Henry Adams

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！