勾股定理的這些美妙的證法你知道嗎？

知識 05-06

勾股定理的這些美妙的證法你知道嗎？

本文來源：《數學不了情》

作者：談祥柏

如果直角三角形的直角邊長為a和b，斜邊長為c，那麼，a2+b2=c2。公元前6世紀，古希臘傑出的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）首先從理論上證明了這個定理後，欣喜若狂，宰了100隻牛來表示慶祝，因此這個定理又被人叫做「百牛定理」。不過，有些歷史學家不以為然，認為不過是用麵粉做了100頭牛作為貢品來酬謝神明而已。

在我國，有一部流傳下來的、最早的數學與天文著作。名叫《周髀算經》，成書於公元前100年左右，即西漢時期。書中有一段記載商高（生活在公元前11世紀的人）回答周公的話「勾廣三，股修四，經隅五」，其意思是，如果直角三角形兩條直角邊長為3和4，則斜邊長必定是5。書中還有一段陳子（公元前6世紀，周朝中期時人）答榮方問，他說：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」。這就說得更清楚了，如果用現代記法，便是的意思。我們知道，在古漢語中，「邪」與「斜」是通假字。陳子的話，已十分明確地表達了現代勾股定理的內容。

我國古代幾何學不但有悠久歷史和豐富內容，而且具有自己獨特的風格，我國古代幾何學的特色之一是從實踐中總結提高所形成的「出入相補」原理。一個平面圖形從一處移置他處，面積不變；把圖形分割成幾塊，則各部分面積之和等於原來圖形的面積。

三國時期魏人劉徽（公元3世紀）在注《九章算術》勾股術時說：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類」。其意思就是將「出」的割下，補到「入的地方」，其餘部分保留不動（圖1顏色區域）。我國著名數學家華羅庚先生曾建議把「青朱出入圖」帶上宇宙飛船，讓外星人知道我們還能證明勾股弦定理，這是一個非常聰明的想法。

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圖1 青朱出入圖

趙爽的「弦圖」，證法也極簡單。如圖2所示，以弦c為一邊的正方形，含有4個以a和b為直角邊的直角三角形與一個以b-a為邊長的小正方形，於是有

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圖2 趙爽的「弦圖」

勾股定理的證明引起了古今中外許多人的興趣，尋找新的證明方法從來沒有間斷過。真是百花齊放，推陳出新，人人都想插上一手。有人聲稱，3000年來，已經找到了400多種不同證法，但這僅僅是極不完全的統計，無人知道確切數字。這些證明者中間，上至達官貴人，下及販夫走卒，包括各個階層的人物。在中國古代的「疇人」（數學家的別稱，有一本名著叫《疇人傳》）中，知名者就有梅文鼎、項名達、楊作枚、李銳、陳傑、安清翹、何夢瑤，華蘅芳等，大家都不甘示弱，各有各的證法。日本的和算聖人關孝和（1642~1708）在其專著《解見題之法》（1682年出版）中有圖證，據近人李潢考據，其方法與「青朱出入圖」大同小異。

號稱趣味數學三大名家之一的英國人亨利杜登尼（H.E.Dudeney,1857~1930）於1917年發表了一個勾股定理的「風車證法」，只要在「股」上的正方形剪兩刀即可證出，可以看出，兩線的交點在正方形的中心，分別與「弦」平行或垂直，所得出的4個圖形完全一模一樣，非常美麗，而且對稱（圖3）。

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圖3 風車證法

說起對稱，不能不提一提文藝復興時期的義大利大畫家達芬奇（Leonardo da Vinci 1452-1519），他在歐幾里得《幾何原本》的插圖上，下各添加一個直角三角形（圖4），就不難看出六邊形ABHKJG與六邊形ACBDEF是縱橫合同的，前者軸對稱（對稱軸為GH），而後者中心對稱（對稱中心是弦上正方形的中心）。

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