Sargent數量經濟學：SciPy

SciPy

SciPy（https://www.scipy.org/）包構建在NumPy基礎上，為科學計算提供了一些常用的工具，例如

線性代數

數值積分

插值

最優化

分布與隨機數生成

信號處理

等等

與NumPy一樣，SciPy也很穩定、成熟，並且被廣泛使用

許多SciPy程式都是對行業版Fortran軟體的再包裝，例如LAPACK,BLAS等等

你們並不需要學習整個SciPy

更加常見的方式是了解SciPy有什麼功能，然後看看其說明文件（https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/index.html）

在本講中，我們只強調該包中一些有用的部分

SciPyversusNumPy

SciPy是一個包含許多構建於NumPy基礎上的工具包，使用其數組數據類型和相關的函數

事實上，當我們輸入SciPy時，我們也得到了NumPy，被當作來自於SciPy初始化文件

然而，更常見、更好的方式是直接使用NumPy的函數

SciPy中有用的東西是其子包中的函數

scipy.optimize,scipy.integrate,scipy.stats, etc.

這些子包和他們的屬性需要單獨輸入

下面，我們看看一些主要的子包

Statistics

scipy.stats子包提供

大量的隨機變數對象（密度、積累分布、隨機抽樣，等等）

一些估計程序

一些統計檢驗

隨機變數和分布

回一下numpy.random提供的產生隨機變數的函數

這會從下列分布中產生一幅圖，其參數a，b=5,5

有時，我們需要得到密度，或CDF，分位點等

為了實現它，我們用scipy.stats，其提供了所有函數與隨機數生成的功能

例如

產生的圖如下

在這行代碼中，我們創建了一個所謂的rv_frozen對象，通過調用q=beta(5,5)

概念的「frozen」部分意味著q代表一個特殊分布，且有一些特別的參數

一旦我們這麼做，我們就能產生隨機數，得到密度等等，所有的都來自於該固定分布

創建這些對象的一般命令是

其中，distribution_name是scipy.stats（https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html）中的一個分布名

其中，有兩個關鍵的元素loc和scale，

這個命令把原始隨機變數X轉換成Y=c+dX

在結束這個部分之前，我們注意到調用上述方法，還有一種備擇方式

例如，下面的代碼替換上述代碼

Scipy.stats里的其它好玩意

在scipy.stats里，還有許多統計功能

欲知詳情，請參考說明文件（https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html#statistical-functions）

尋根與不動點

一個實函數在[a,b]上的根，即f(x)=0

例如，如果我們划出函數的圖

其中，x屬於[0,1]，我們得到

唯一的根近似0.408

下面，我們來試試尋根的數值技術

二分法

最常用的數值尋根演算法就是二分法

為了理解其演算法，回憶一個著名的遊戲，其中

參與人A在1-100之間秘密想一個數字

參與人B問該數字是否小於50

如果小於，B就問是否小於25

如果不小於，B就問是否小於75

等等

這就是二分法

該演算法在Python中實施非常簡單

事實上，SciPy提供了自帶的二分法函數，下面我們就來使用一下公式（2）中定義的f

Newton-Raphson方法

另一種常用的尋根演算法是Newton-Raphson method（https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method）

不像二分法，NR方法用局部斜率信息

該方法是一把雙刃劍：

當函數是well-behaved，NR方法就比二分法快

當函數不是，NR法可能就不靈了

我們用相同的函數來說明這個問題，首先看看潛在的不穩定性

第二個初始條件導致收斂失敗

另一方面，用Ipython的timeit，我們可以看見newton更快

混合法

迄今為止，我們已經發行NR法快，但不穩定

二分法穩健，但相對較慢

這說明一般性原理：

如果你關於你的函數有特殊的認識，你能有效地解出它

如果沒有，那麼，演算法選擇就要在收斂速度和穩健性之間做出取捨

從實踐來看，大部分默認的尋根、最優化和不動點演算法就是使用混合方法

這些方法以下列方式將速度和穩健性結合起來：

1、嘗試用快的方法

2、進行診斷

3、如果診斷結果不好，那麼，就轉向利用穩健的演算法

在scipy.optimize，函數brentq就是混合方法

這也能找到正確的根，速度幾乎與newton法相同

多元尋根

更多細節，參見說明文件（https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.fsolve.html）

不動點

SciPy也提供解不動點問題的函數

最優化

大多數數值包僅僅只剔紅最小化函數

最大化能通過把函數前面加負來轉換

最小化接近於尋根問題：對於平滑函數，內點最優對應著一階導數的尋根

上面所描述的速度/穩健性取捨現在就存在於數值最優化

除非你有一些先驗信息，最好的方式就是使用混合方法

對於約束單變數最小化，一種好的混合選項就是fminbound

多變數最優化

多變數局部最優化包括minimize,fmin,fmin_powell,fmin_cg,fmin_bfgs,和fmin_ncg

約束多變數局部最優化包括fmin_l_bfgs_b,fmin_tnc,fmin_cobyla

更多細節可參見說明文件（https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/optimize.html）

積分

大部分數值積分方法都是依靠計算一個近似多項式的積分

誤差依賴於多項式擬合積分的程度有多高

在SciPy中，數值積分的相關模塊是scipy.integrate

單變數積分的命令是quad

實際上，quad是一個Fortran包QUADPACK中標準數值積分的埠

它用Clenshaw-Curtis求積（https://en.wikipedia.org/wiki/Clenshaw-Curtis_quadrature），基於切比雪夫多項式展開

其它的單變數積分方法有fixed_quad，它運行很快，且在for循環中

還有許多多變數積分函數

詳細信息可參見https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html

線性代數

NumPy為線性代數所提供的模塊稱為linalg

SciPy為線性代數提供的模塊也有相同的名字

更多細節可參見https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html

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