流體江湖風雲錄·柯老邪番外篇

安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），來源：kolmogorov.com

編者按：

桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。

東邪黃藥師，天下五絕之一，武功超凡脫俗，已臻化境。他聰明絕頂，博覽群書，兼學百家，志趣深遠。上通天文，下知地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫、醫卜命相、術數縱橫，乃至農田水利、經濟兵略等亦無一不曉，無一不精。他薄湯武，非周孔，漠視禮法卻珍視大節，恃才傲物卻難掩溫情。他獨居東海孤島，不問世事，快意瀟洒，卻在南宋江山岌岌可危之際，義助襄陽，主持戰局。此等人物，雖有沽名之嫌，遷怒之過，仍不得不為我輩所神往也。

而在流體力學發展的長河中，也曾有過這樣一位全才大師，以神來之筆在現代湍流發展史上寫下了濃墨重彩的一章。此人之才情，比之黃老邪亦有過之而無不及。他便是蘇聯數學大師安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），「柯老邪」是也。

作者| 潘玉林（麻省理工學院機械系博士生）

責編 | 呂浩然

上回說到：席捲六合、美玉微瑕的K41理論被朗道抓住破綻，便如釜底抽薪般地將K41理論的普適性瓦解於無形。然而，這個有著瑕疵的K41理論所描述的2/3律仍然被一次次實驗所重複著。這又是為什麼呢？

為什麼自然對柯老邪更加青睞？

要回答這個問題，我們需要從柯老邪2/3律背後的物理深意講起。柯老邪當年以一招量綱分析，將二階結構函數S2(l) 表示為尺度l的冪函數，實際上暗示著湍流場的一個重要特性，即尺度不變性。

何為尺度不變性？假設我們有一個形如y=xp的冪函數。在區間(x,2x)內，y從xp變化至(2x)p。如果我們將區間尺度擴大a倍，變為(ax,2ax)，那麼y則會從apxp,變化至ap(2x)p。除了ap這個因子外，後者中y的變化形式與前者相同，皆擴大了2p倍。因此，觀察者無論從哪個尺度上看這個函數，它都是相似的。

尺度不變性函數例子 ，來源：wiki

我們再以中國南海海岸線試舉一例。如果我們從下圖所示的三個完全不同的尺度來觀察海岸線，我們會發現它們的特徵都是相似的。如果不藉助地名標註，我們無法分辨自己身處哪一尺度。

中國南海海岸線，來源：豆瓣文章《繼續分形的討論》

柯老邪的2/3律則意味著，湍流場也有著尺度不變性。在η

這也的確是柯老邪在1941年所推測的。他不僅將二階結構函數S2(l)=〈δu(l)2〉 寫為l的冪函數形式，更是通過量綱分析寫出了任意n階結構函數Sn(l)=〈δu(l)n〉 的通用標度律形式Sn(l)～ln/3。

後世的實驗證明，儘管對於n較小的低階統計數據，柯老邪的公式描述相對準確，但對於n較大時的高階統計數據，朗道論證的威力就會顯現出來，實驗數據與柯老邪的公式差異明顯。這個差異，在數學上被稱為「標度奇異性」，它從根本上打破了尺度不變性這一K41理論的立身之所。

而追根溯源，這一切皆始於朗道所提出的耗散率ε隨時間變化這一特性。各學派繼而研究發現，ε的變化在時間與空間上都普遍存在，而且不僅存在於朗道所說的大尺度，在小尺度上更有愈演愈烈之勢。這一特性，被稱為湍流之「間歇性」，也成為了湍流的基本性質之一。

湍流渦結構在不同尺度空間分布不均的間歇性(Kaneda & Ishihara, 2006)。

如何在間歇性存在的前提下建立描述湍流的定量普適物理模型，成為了當今湍流理論研究之重心。自K41理論與朗道論證以來，此問題已現百家爭鳴之勢，甚至柯老邪本人也於1961年試圖修正K41理論將間歇性納入體系之中。其它諸如拉格朗日方法，重整化群理論，分形幾何學，混沌理論等等眾派武學也紛紛現身江湖，一試身手。然而眾說紛紜，莫衷一是，令世人廣為信服的理論尚未出現，湍流研究也仍處於群雄紛爭的探索之中。

K41理論瑕疵既存，其一統江湖之勢便無從談起，但這絲毫沒有動搖它在湍流史上的地位。它對於湍流動能的描述依然精準有效，其應用亦是絢麗多彩。而它的一點瑕疵則指引著後世的物理學家們繼續探究著湍流的本質與奧秘。正如十九世紀末物理學大廈的兩朵「烏雲」引領了相對論與量子力學的革命，我們今天仍在等待著湍流界的「相對論」和「量子力學」的出現。

衣缽傳承

在湍流這個充滿爭議的物理領域中，似乎很難有人將數學上的精確解與之相聯繫。然而，這一點在下面這位主角出場後成為了可能。他以弱非線性為前提，為柯老邪的K41理論建立了完整的數學體系，並將其擴展至任意波系之中。

此人名為維拉蒂米爾·扎克哈洛夫(Vladimir Zakharov)。作為柯老邪湍流理論的衣缽傳人，我們稱他為扎小邪。

維拉蒂米爾·扎克哈洛夫，photo by:Dan Quinn.

扎小邪研究興趣之廣泛深受柯老邪與朗道兩派影響。在他所涉足的等離子體物理、流體力學、海洋學、地球物理、固體物理、光學、廣義相對論等諸多領域中，許多基礎方程式皆以他命名。他執掌朗道理論物理研究所，其學派弟子遍及天下，威名遠播。他又兼修詩賦，其詩集英文譯本「雲之天堂(The Paradise for Clouds)」於2009年在英國出版後大獲好評。

此等人物，實難將其與問題少年聯繫起來。而事實上，扎小邪之少年行事，已頗有柯老邪桀驁不馴之風範。他早年就讀於莫斯科動力學院，卻因打架被學校開除。幸得朗道弟子羅爾德·薩格蒂夫(Roald Sagdeev)慧眼識珠，將扎小邪收為門人。在物理學的新世界中，扎小邪將過去的問題拋之腦後，迎接他的將是一段璀璨多彩的奇幻旅程。

扎小邪隨薩格蒂夫攻讀博士期間，就發現聲波系統似乎也有著柯老邪K41理論中的湍流性質，即聲場能量從長波傳向短波，其能量譜與波數呈冪函數關係（前文中奧布科夫所用的K41理論的等價形式）。更為美妙的是，以弱非線性為前提，這一切都可以從聲波動力學方程中嚴格推導出來。

扎小邪繼而將他所悟出的理論體系用於水波研究中，並再獲成功。水波能量譜不僅遵循冪函數關係，還有著更為奇妙的現象。能量不僅可以像K41理論描述的那樣從長波傳向短波，也可以從短波傳向長波。這在隨後也被物理實驗及數值模擬所證實，被稱為反向能級串過程。數學與物理相互印證，美妙如斯。

既為朗道之再傳弟子，扎小邪這套理論體系也深深打上了朗道學派的烙印。而他精研柯老邪及其門生的理論著作，在湍流上的理論功底也非比尋常。因此，扎小邪有此成就，實乃其兼修兩派絕學之功。如果我們將其理論體系加以總結，此特點亦可不言自明。對於任意一類波系的動力學方程，扎小邪的處理如下：

·將動力學方程寫為經典力學中的漢密爾頓形式 – 朗道學派之傳統；

·以弱非線性假設為前提，利用攝動理論剔除方程高階非線性項 – 朗道學派之傳統；

·推導隨機場方程，並通過多元關聯函數與二元關聯函數的聯繫將方程閉合 – 米林斯奇科夫（周培源）的方法；

·建立動能方程(Kinetic Equation)– 奧布科夫的體系；

·從動能方程中找到能量譜冪函數形式的穩定解 – 柯老邪K41理論之嚴格數學解，乃扎小邪之首創。

這個能量譜的理論解，被稱為柯爾莫哥洛夫–扎克哈洛夫能量譜；這整個體系，被稱為弱湍流（或波湍流）體系。扎小邪也因對湍流理論的貢獻獲得了2003年的狄拉克獎章（理論物理學最高榮譽）。

我們看到，扎小邪以弱非線性假設為前提，忽略湍流間歇性的影響，為柯老邪的K41理論創立了嚴格的數學體系。弱湍流理論運用於扎小邪所涉足的物理領域，皆取得了非凡的成就。時至今日，柯爾莫哥洛夫–扎克哈洛夫能量譜已存在於等離子體物理、水波、磁流體、聲學、光學等諸多領域，並漸漸自成一派武學，為江湖眾派弟子所推崇。柯老邪當年潛心所創K41理論之冪函數形式能量譜，竟為如此多的自然現象所遵循，不得不感嘆天道之雄奇庄偉也。

有九陰總綱為證。天之道，損有餘而補不足，是故潮起浪涌，皆循其形，星辰軌動，盡依其理。流動百態，造化萬物，不謀而能譜自同，勿約而級串斯契，此誠天機之博奧也。

此時，若我們再次回顧梵高之畫作，人腦思維之湍流一說似乎也並非無稽之談。如能建立人類思維的控制方程，以扎小邪之理論作為指導，得到思維湍流的K41理論也並非全無可能。

當然，這一切都還只是紙上空談，行之何其難也。

湍流本質的研究亦是如此。在以K41理論為基礎的這篇武學巨著中，柯老邪、周培源、朗道、扎小邪等必然位列其中，永載史冊。然而，這篇巨著尚未完結，K41理論中的瑕疵仍是眾多物理學家們的心結，弱湍流理論也帶來了很多新的問題。江山代有才人出，這些湍流界遺留的問題定會有人解決，我們也期待著這部鴻篇巨製最終完成的一天。

後記

1943年柯老邪曾這樣說過：「二十年內沒有人會知道我們國家究竟發生了什麼。(In twenty years no one will know what actually happened in our country.)」 在這段最為黑暗的歲月里，一個戰火摧殘，恐怖瀰漫，封閉專制，人性壓抑，饑寒交迫的國度卻成為了數學與物理大師們的沃土。這片土地上的各個學派中，學者們對於自然科學的追尋源自心底對於真理的熱愛。

他們大多精於思考，勤於交流，對相互間的研究了如指掌（這或許也造成了蘇聯學者們不善於向外界講述他們的成果）。對於外界所流傳的蘇聯學者常以激進的方式解決學術爭端的說法，我們必須認識到這樣一點：在一個充斥著政治謊言的環境中，科學是這些學者們唯一的凈土。

今天，我們的環境更加開明，人心更加寬容。在這個時代，是否還會有新的「柯老邪」出現呢？

全文完

本文首發於《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權刊發，內容略有修訂。

作者簡介：

潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學方面的研究工作。研究領域包括理論與計算流體力學，非線性波浪力學，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。

製版編輯：呂浩然丨

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