吳國平：難學上天的微積分是如何被創立的？

人類對自然、社會、自身等各方面的認識從來沒有停止過，也不會永遠止步。如微積分這門學科的出現就是很好的證明，它讓人類認識自然社會的視角從有限到無限，再從無限回到有限，使整個人類文明實現質的飛躍。

說到微積分，很多人多多少少都會了解或學習到一些，如二次函數當中求最值問題（最大值和最小值），就是屬於微積分一類。

對於很多人來說，如果參加工作後不從事數學相關工作，或許就很少運用微積分數學知識，但其中的極限思想卻會影響我們的思考和行為。可以這麼說，雖然微積分這門學科在幾百年前就已經創立，發展起來，但時至今天很多人連理解都成困難，更別說掌握了。

學習微積分給人類思維發展提供了一個很好的思想鍛煉機會，二次函數的圖象是一條拋物線，這條曲線向兩端無限延長，但同時又接近最高抵或最低點。體現微積分精髓之一，研究對象從有限到無限，又從無限回到有限。微積分這樣的思維方法是一種數學的方法，體現數學的哲學思辨、邏輯性、系統性思考方法。

其實微積分的應用已經是非常廣泛，如在經濟學、管理學、銀行、金融、財會上等各方面，微積分處處都起著重要的作用。同時微積分也滲透和影響其他學科的發展，如對物理、天文等學科學生來說，微積分也是必學知識之一。

因此，今天我們就一起來簡單了解一下微積分的發展歷史，讓更多人認識到這一門學科的重要性。

微積分是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支，屬於數學的一個基礎學科。

微積分主要內容包括極限、微分學、積分學及其應用。

微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論，它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。

積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

毫不誇張的說微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，如過去很多無法用初等數學知識解決的問題，一旦運用微積分知識，這些問題往往就變得簡單。

人類進入17世紀以來，隨著社會的進步和科技技術以及生產力的發展，當時很多數學知識已經無法適應和支撐社會的發展。因此，基於當時社會發展的需要，各行各業對數學知識也提出更高的要求，如當時航海、天文、礦山建設等各方面存在許多問題要解決。

之後這些問題直接促進數學開始研究變化著的量（變數），數學進入了「變數數學」時代，自然也就成了促使微積分產生的因素。總的來說歸結起來，大約有以下四種主要類型的問題：

一、運動中速度與距離的互求問題

已知物體移動的距離表為以時間為變數的函數，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為以時間為變數的函數公式，求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現的，困難在於，所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。

二、求曲線的切線問題

這個問題本身是純幾何的，而且對於科學應用有巨大的重要性。由於研究天文的需要，光學是十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這裡重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直於切線的，所以總是就在於求出法線或切線；另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現於運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。

三、求長度、面積、體積、與重心問題等

這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時期移動的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體 的重心，一個相當大的物體（如行星）作用於另一物體上的引力。實際上，關於計算橢圓的長度的問題，就難住數學家們，以致有一段時期數學家們對這個問題的進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。

四、求函數的最大值和最小值問題

例如炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴於炮筒對地面的傾斜角，即發射角。一個「實際」的問題是：求能夠射出最大射程的發射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）發射角是45度時達到最大射程；他還得出炮彈從各個不同角度發射後所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題。

十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。十七世紀下半葉，英國科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨在前人工作的基礎上，分別在自己的領域裡獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。

微積分在17世紀左右正式成為一門學科，成為數學的分支，但實際上積分的思想在古代早就已經產生了。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代其實已經有比較清楚的論述，如我國的莊周所著的《莊子》一書的「天下篇」中，記有「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到「割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。」這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。還有是在公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。

雖然人們已經充分認識到微積分重要作用，但在提出誰是這門學科的創立者的時候，卻造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。那時候，由於民族偏見，關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。

牛頓和萊布尼茨分別是自己單獨進行獨立研究，在大體上相近的時間裡先後完成的。值得一提的是牛頓創立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。兩個人都是偉人，為微積分發展做出重要貢獻，唯一區別就是研究方向各有長處，也都各有短處。

雖然牛頓和萊布尼茨確立了微積分的誕生，但在一些方面也存在缺陷。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。

直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。

極限理論的創立使得微積分從此建立在一個嚴密的分析基礎之上，它也為20世紀數學的發展奠定了基礎。

可惜的是，雖然在中世紀是歐洲數學大發展的時期，但我國基本處於停滯狀態（明、清時期），因此當時我國的數學家與微積分發展基本無緣。

進入20世紀以來，華裔數學大師陳省身在微分幾何領域，利用微積分的理論來研究幾何，這門學科對人類認識時間和空間的性質發揮著巨大的作用，並且這門學科至今仍然很活躍。

中國的數學愛好者發現了積乘和微商，使微積分的內容進一步拓展。

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