心臟支架、摺紙藝術與超材料設計
泊松比(Poisson s ratio)是力學中的一個概念,它的定義是材料受到縱向壓力(或拉力)的時候,在彈性範圍內它的橫向變形量與縱向變形量的比值,泊松比也叫橫向變形係數。人們在日常生活中所見到的大部分材料的泊松比都在0~0.5之間,例如:空氣的泊松比為,鋁的泊松比為0.33,水的泊松比為0.5。傳統材料受到外力擠壓的時候,在壓力作用的方向會收縮,而同時在垂直於壓力的方向會發生膨脹。而負泊松比材料則正好相反,當負泊松比材料受到外界壓力的時候,其同時會在平行與垂直於外力的方向發生收縮。負泊松比材料在軍事、航天航空、汽車、船舶、醫療、體育用品等各個行業有著廣泛用途。負泊松比特性很大程度上是由其微觀幾何結構所決定。所以可以通過設計其微觀結構來獲得所需的材料特性,這也催生了一個新興的研究領域——超材料設計(metamaterial design)。心臟支架就是一個幾何、材料、機械和醫學等多個學科結合的例子。
心臟支架(圖1),又稱冠狀動脈支架,是一種常見的手術器材。從功能上分析,動脈支架具有收縮和膨脹兩種狀態,收縮的時候體積應該盡量的小,從而可以順利通過動脈血管。用傳統材料製成的動脈支架在圓周徑向收縮時,會在圓柱的縱向拉伸,即具有正泊松比。但是在動脈支架的應用中,人們希望找到一種理想材料,當徑向壓縮支架時,其縱向長度也收縮,即具有負泊松比的材料。這樣,手術風險會被降低。
圖1 動脈支架收縮前後示意圖(圖片來源:搜狐網)
自然界中所有的材料都具有正泊松比,負泊松比材料只能被人工製造出來。負泊松比的彈性形變特性是由材料微觀結構的幾何模式決定的。圖2顯示了具有負泊松比的動脈支架,它是最近被發明出來的新型支架。整體上,在收縮狀態,材料比較緻密,體積較小;而在膨脹時,材料是各項同性的,向各個方向均勻擴張。
圖2 具有負泊松比的心臟支架
負泊松比材料的微觀結構具有高度的對稱性。歷史上最早的負泊松比材料來自於摺紙藝術,摺紙激發出許多負泊松比材料設計的靈感。古典的摺紙藝術不允許使用剪刀、漿糊,只能沿著摺痕摺疊,如圖3所示的魔球。
圖3 折出的魔球
當魔球形變時,紙上任意兩點之間(在紙面上)的最短路徑保持不變,任意兩點間的測地距離也不改變。這種形變被稱為是等距形變(isometric deformation)。當表面發生等距形變時,內部體的形狀也發生改變,這種曲面被稱為是柔性曲面(flexible surface)。
普通的紙張材質比較剛硬,容易折成四面體、六面體這樣的剛性曲面,很難構成自由曲面。但是,一旦摺疊成自由曲面之後,整體柔性增加了很多,可以用於形變成各種形狀。
一個封閉曲面,如何判定它是否具有剛性,是一個古老的幾何命題。這個問題的一種解決思路與廣義相對論有關。在廣義相對論中,愛因斯坦度量描繪了時空的幾何。
給定一個多面體曲面,可以用數學的方法來判定它是剛性還是柔性的。如圖4所示,左側多面體是剛性的,右側是柔性的。首先,需將多面體曲面的內部進行三角剖分,得到一個四面體網格(有時,需在多面體內部加入頂點才能得到三角剖分)。然後,結合Schlafli定理計算希爾伯特-愛因斯坦能量的海森矩陣(Hessian Matrix),如果零空間的維數等於內頂點個數的3倍,那麼多面體具有剛性;否則,多面體具有柔性。海森矩陣零空間的維數反應了origami的柔性維度。
圖4 剛性多面體(左)和柔性多面體(右)
柔性幾何為超材料設計提供了理論依據。目前,人們對於柔性幾何的研究才剛剛開始,無論在理論上,還是在實際中都有很多尚未解決的問題,也是非常具有潛力的方向。在這裡,人們又一次看到自然真理的普遍聯繫:古老的摺紙和廣義相對論出乎意料地緊密結合。人們期待著機械力學、材料科學和現代幾何的一場深刻合作。
(責任編輯王麗娜)
作者簡介:陳仕魁,紐約州立大學石溪分校機械工程系助理教授;顧險峰,紐約州立大學石溪分校計算機系終身教授,清華大學丘成桐數學科學中心訪問教授。
注:本文發表在2017年第10期《科技導報》,歡迎關注。本文部分圖片來自互聯網,版權事宜未及落實,歡迎圖片作者與我們聯繫稿酬事宜。
《科技導報》
中國科協學術會刊
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