心臟支架、摺紙藝術與超材料設計

最新 06-14

泊松比（Poisson s ratio）是力學中的一個概念，它的定義是材料受到縱向壓力（或拉力）的時候，在彈性範圍內它的橫向變形量與縱向變形量的比值，泊松比也叫橫向變形係數。人們在日常生活中所見到的大部分材料的泊松比都在0~0.5之間，例如：空氣的泊松比為，鋁的泊松比為0.33，水的泊松比為0.5。傳統材料受到外力擠壓的時候，在壓力作用的方向會收縮，而同時在垂直於壓力的方向會發生膨脹。而負泊松比材料則正好相反，當負泊松比材料受到外界壓力的時候，其同時會在平行與垂直於外力的方向發生收縮。負泊松比材料在軍事、航天航空、汽車、船舶、醫療、體育用品等各個行業有著廣泛用途。負泊松比特性很大程度上是由其微觀幾何結構所決定。所以可以通過設計其微觀結構來獲得所需的材料特性，這也催生了一個新興的研究領域——超材料設計（metamaterial design）。心臟支架就是一個幾何、材料、機械和醫學等多個學科結合的例子。

心臟支架（圖1），又稱冠狀動脈支架，是一種常見的手術器材。從功能上分析，動脈支架具有收縮和膨脹兩種狀態，收縮的時候體積應該盡量的小，從而可以順利通過動脈血管。用傳統材料製成的動脈支架在圓周徑向收縮時，會在圓柱的縱向拉伸，即具有正泊松比。但是在動脈支架的應用中，人們希望找到一種理想材料，當徑向壓縮支架時，其縱向長度也收縮，即具有負泊松比的材料。這樣，手術風險會被降低。

圖1 動脈支架收縮前後示意圖（圖片來源：搜狐網）

自然界中所有的材料都具有正泊松比，負泊松比材料只能被人工製造出來。負泊松比的彈性形變特性是由材料微觀結構的幾何模式決定的。圖2顯示了具有負泊松比的動脈支架，它是最近被發明出來的新型支架。整體上，在收縮狀態，材料比較緻密，體積較小；而在膨脹時，材料是各項同性的，向各個方向均勻擴張。

圖2 具有負泊松比的心臟支架

負泊松比材料的微觀結構具有高度的對稱性。歷史上最早的負泊松比材料來自於摺紙藝術，摺紙激發出許多負泊松比材料設計的靈感。古典的摺紙藝術不允許使用剪刀、漿糊，只能沿著摺痕摺疊，如圖3所示的魔球。

圖3 折出的魔球

當魔球形變時，紙上任意兩點之間（在紙面上）的最短路徑保持不變，任意兩點間的測地距離也不改變。這種形變被稱為是等距形變（isometric deformation）。當表面發生等距形變時，內部體的形狀也發生改變，這種曲面被稱為是柔性曲面（flexible surface）。

普通的紙張材質比較剛硬，容易折成四面體、六面體這樣的剛性曲面，很難構成自由曲面。但是，一旦摺疊成自由曲面之後，整體柔性增加了很多，可以用於形變成各種形狀。

一個封閉曲面，如何判定它是否具有剛性，是一個古老的幾何命題。這個問題的一種解決思路與廣義相對論有關。在廣義相對論中，愛因斯坦度量描繪了時空的幾何。

給定一個多面體曲面，可以用數學的方法來判定它是剛性還是柔性的。如圖4所示，左側多面體是剛性的，右側是柔性的。首先，需將多面體曲面的內部進行三角剖分，得到一個四面體網格（有時，需在多面體內部加入頂點才能得到三角剖分）。然後，結合Schlafli定理計算希爾伯特-愛因斯坦能量的海森矩陣（Hessian Matrix），如果零空間的維數等於內頂點個數的3倍，那麼多面體具有剛性；否則，多面體具有柔性。海森矩陣零空間的維數反應了origami的柔性維度。