人類與三體問題的故事（七）：太陽系是穩定的嗎？

1為什麼要關心穩定性？

人類生活在地球上，地球位於太陽系。因此，出於對人類生存環境的關心，我們不得不考慮太陽系的未來命運。根據目前天文觀測的結果，太陽自形成以來已經存在了大約46億年了，而它還將繼續存在50億年。這似乎看上去還不錯，人類尚未到憂慮未來的階段。不過，上述時間上的推算僅考慮了太陽在物理和化學上的演化，而沒有考慮太陽系力學環境的變化。太陽系以太陽為中心，八大行星圍繞其在萬有引力作用下做橢圓運動，其間充斥數以萬計的小行星。從短時間來看，太陽系內各行星的運動彼此獨立、互不干擾。然而，由於萬有引力的普適性，太陽系內各天體之間的相互引力攝動，會導致行星運動逐漸偏離原有軌道。在未來幾百萬年的時間跨度中，是否會有行星之間的碰撞發生，是否會有某些行星被拋離太陽系？這樣的問題不僅在當前為我們所關心，即使在三百年前牛頓剛提出萬有引力定律的時候他就對此憂心忡忡[1]。很大程度上，也許在太陽由於核聚變消耗完自身氫、氦元素導致太陽系「熱力消亡」之前，地球就已經在碰撞和拋離導致的「動力消亡」中毀滅[2]。這給我們帶來一個嚴肅的課題：從力學的角度來看，太陽系是穩定的嗎？

圖1正在釋放地磁暴的太陽[5]

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(a) 地內行星

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(b) 地外行星

圖2太陽系行星運動模擬[6]

穩定到底是什麼意思呢？簡單來說，就是隨時間變化的力學對象在各種擾動下能夠一直保持其運動狀態的特性。穩定性在數學上的定義存在多種不同的版本，每一種都與其他定義略有差別。我們所要考慮的太陽系的穩定性，是指由太陽及其八顆行星構成的多體系統，在萬有引力作用下，行星是否發生碰撞或飄離太陽系的問題。如果所有行星均不發生碰撞，也不離開太陽系，我們就說太陽系是穩定的。在沒有攝動的情況下，行星的軌道是標準的橢圓，其運動是周期的，因而是穩定的。然而，多體系統內相互引力的干擾將破壞這種完美的橢圓軌道構型，導致運動有可能不封閉，周期性也將不存在，系統整體有可能不再穩定。穩定性是定性天體力學中的重要問題，也是三體問題以及多體問題中的一個核心問題。那麼，有關太陽系的穩定性問題，科學家們都得到了什麼結論呢？

圖3太陽系天體一覽[7]

2.早期科學家的貢獻

早期科學家在研究太陽系穩定性問題時，其出發點是研究天體共振、長期攝動差等對行星軌道根數的影響。這些研究立足於數學分析而非觀察實驗，這是因為實際軌道根數的變化非常緩慢，動輒需要幾百年乃至上千年的持續觀察才能發現其中的規律。

拉普拉斯

在太陽系穩定性問題上第一個做出重要貢獻的是皮埃爾·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon, marquis de Laplace, 1749-1827）。1773年，拉普拉斯對行星運動問題進行了研究，發現「在偏心率的一次冪級數逼近中，行星軌道的半長軸不包含長期項。」[1]-[3]這裡所說的長期項（secular terms）是指級數展開式中與時間成線性相關的項。如果級數中存在長期項，那麼隨著時間的增長，級數將不再保持有界性。而對於當時觀測到的有關木星和土星的半長軸偏差，拉普拉斯採用長周期（大約900年）的模型成功進行了解釋。據此，拉普拉斯對自己的理論非常自信，並認為半長軸不包含長期項的結果說明太陽系是穩定的。不過，這樣的判斷其實是不嚴格的。因為，冪級數的一次逼近並非精確解，它不包含長期項並不能嚴格表明後續高次逼近中不包含長期項。但這一基於級數逼近的攝動方法（perturbation theory），為穩定性分析提供了一種系統的研究思路，因而具有重要的科學意義。

拉格朗日

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813）最早建立了變分法（calculus of variations）的概念，他是分析力學的鼻祖。1774~1776年，拉格朗日利用自己發明的常數變易法推廣了拉普拉斯的工作，建立了以偏心率、軌道傾角、行星相對太陽的質量比三個小參量為基礎的行星軌道半長軸冪級數展開式，並證明「對於偏心率的所有階逼近、軌道傾角正弦值的所有階逼近以及質量比的一階逼近，半長軸展開式中不存在長期項。」[1]-[3]這一結果要比拉普拉斯的結果更加精細。到此為止，拉普拉斯和拉格朗日的研究似乎表明，太陽系可能是穩定的。儘管只是可能，但大部分科學家已經完全認可了上述工作，確信太陽系就是穩定的。但是，歷史告訴我們，拉格朗日的理論同樣沒有完全解決穩定性的問題。

泊松

法國數學家泊松（Siméon Denis Poisson，1781-1840）在拉格朗日之後，又將穩定性問題往前推動了一步。1808年，他證明了「行星的半長軸關於質量的二階逼近也不包含長期項。」[1]-[3]在泊松之前，拉格朗日和拉普拉斯對行星穩定性的理解是：行星橢圓軌道的半長軸應保持在某個上下邊界範圍內。而泊松研究這個問題後，認為如果行星的軌道構型能夠反覆回到初始位置附近，也被認為是穩定的。顯然，泊松定義的穩定性概念要更寬泛一些。他的這一想法後來催生了有關周期性運動的研究。

哈雷特

就在科學前輩基本認為太陽系是穩定的情況下，羅馬尼亞的年輕數學家哈雷特（Spiru C. Haret, 1851~1912）於1877年發表了一篇題為「論行星軌道半長軸的不變性」的論文，證明「行星軌道半長軸關於質量的三次冪級數逼近中包含長期項。」[1]-[3]這就意味著，太陽系可能是不穩定的，因為長期項有可能導致行星軌道半長軸無限增長。不過，哈雷特的結果也並不能確認無疑地支持太陽系絕對不穩定，而只是表明可能不穩定。這是因為，雖然三次逼近中存在長期項，但更高次逼近如果也存在長期項，那麼長期項與長期項之間有可能會相互抵消不穩定效果。哈雷特有關擾動的計算結果表明，冪級數逼近不會提供有關穩定性的明確答案。人類也許需要通過其他更為清晰地定性方法對此進行研究。

龐加萊

龐加萊是一位非常博學的數學家，他在三體問題研究的歷史中具有舉足輕重的地位。我們在本系列故事的開始幾篇中已經提到過，他曾證明三體問題無代數解析解。不止如此，他還在多體系統理論的各個方向做出重大貢獻。在有關太陽系穩定性的問題上，龐加萊作為早期科學先驅的一位大家，以非常辯證的視角深刻審視過穩定性問題的實質。他在1898年的一篇綜述性論文中，系統回顧了在他之前有關太陽系穩定性問題的研究進展。他鮮明地指出，拉普拉斯以及拉格朗日等早期天文學家採用的軌道根數級數展開法存在先天的不足。這是因為，這些級數並沒有保證收斂性，因而通過截斷任意有限階次的項來判斷是否有界是不合理的。他雖然也承認在短時間內這些級數仍然與真實結果比較接近，但他認為在無限長時間裡則不能保證接近，而他更關心無限時間後的系統演化情況。為此，他還提出「如何穩定才算穩定」的質疑，引起後代學者的深思[1]-[3]。他意識到，有關太陽系穩定與否的各種相互衝突的理論之間的矛盾是由牛頓提出的理想化數學模型導致的。他曾一針見血地指出：「即使找到了太陽系穩定性的精確證明，人們還是不能下定論：太陽系是永恆的。因為，它除了受牛頓的萬有引力外還可能受到其它作用力的影響。」因此，數學上的穩定性和物理上的穩定性之間存在一定的區別[3]。

圖4太陽系穩定性問題的早期探索者——

(a)拉普拉斯，(b)拉格朗日，(c)泊松，(d)哈雷特

3.近代科學家的貢獻

李雅普諾夫

20世紀之前有關穩定性的模糊認識終於在一位俄羅斯數學家那裡得到了徹底的終結。這位偉大的數學家就是亞歷山大·李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918），他在1891年完成的博士論文中首次建立了穩定性的完整的數學理論。次年，他將相關結果發表，有關常微分方程的解的穩定性的一般概念得以系統定義。這篇論文隨後於1907年被譯成法文出版，並得到人們廣泛引用。一般來說，傑出數學家都比較早熟，他們往往在三十歲以前就獲得重要的成就。不過，李雅普諾夫是個例外，他直到35歲才完成學位論文。但不可否認的是，他這篇劃時代的論文開闢了穩定性研究的一個新時代。在這篇論文出版後不久，李雅普諾夫就被認為是當時最傑出的數學家之一。

在李雅普諾夫給出的有關穩定性的概念里，他首次清晰地做出如下描述：如果同一微分方程由某一特解附近出發的所有解曲線都永遠與該特解保持接近，我們就稱這個特解是穩定的。這個穩定性定義相比泊松的定義要嚴格，因為後者僅要求解不時地回歸，但並不排除解在兩次回歸期間處於遊盪的情形。在某些情形下，泊松穩定解並不是李雅普諾夫穩定解。李雅普諾夫給出了一般動力學系統穩定性的若干判據，根據這些判據，可以方便地判斷特定解（一般簡化為平衡解）的動力學行為：漸進穩定、不穩定或中性穩定。李雅普諾夫還提出藉助於一種特殊構造的函數來判定動力學系統的穩定性，這種函數稱作李雅普諾夫函數。不過，由於這種特殊的函數沒有一般的構造方法，其實際應用往往很困難。因此，儘管李雅普諾夫給出的穩定性分析方法具有普適性，但它在太陽系穩定性問題中仍是無能為力的。

圖5李雅普諾夫

KAM理論及其創立者

KAM是俄羅斯數學家柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov, A.N.，1903-1987）、阿諾德(Arnold,V.I., 1937-2010)和美籍德裔數學家莫澤（Moser, J.K., 1928-1999）的名字的首字母縮寫[8]。這三位數學家於1954~1963年建立的KAM理論是近代以來有關穩定性研究的最大進展。KAM理論的核心是證明弱可積系統的運動穩定性。對於可積系統，在自治情形，相空間分層為一族n維不變環面（invariant torus）；在非自治情形，擴展相空間分層為一族n+1維不變環面[4]。系統所有運動被限制在該不變環面上，整體穩定。當存在攝動干擾時，穩定性會發生變化嗎？1954年，柯爾莫哥洛夫從牛頓迭代思想出發，通過構造超指數收斂速度的坐標變換方法從而克服了困擾數學家很長時間的小分母問題，並初步證明了弱可積系統中不變環面的存在[4]。他指出，對於弱不可積系統，如果哈密頓環面上的擬周期運動的頻率滿足不可通約的條件，則小擾動不會破壞環面，而只能使其發生輕微形變。此時，弱不可積系統的絕大多數軌道仍然限制在稍有變形的環面上，而一些混沌軌道則被限制在不相連通的不變環面之間[3]。時隔8年，莫澤和阿諾德在略微不同的角度下各自獨立地採用更加嚴格的數學證明驗證了柯爾莫哥洛夫的上述發現。其中莫澤的證明主要針對保面積光滑扭轉映射，而阿諾德的證明則針對解析的哈密頓系統。由於他們三人的工作共同揭示了弱可積系統的穩定性，這一理論被命名為KAM理論。

但是，KAM理論的初級版本並不能直接應用於行星運動的穩定問題。這是因為行星運動問題中存在退化情形：未受攝哈密頓函數僅取決於半長軸而不包含偏心率和傾角。為此，阿諾德將相關理論進行了拓展，證明了退化情形下不變環面的存在性[1]。1963年，他將改進版的KAM理論應用到帶有兩個行星的平面系統問題中，且半長軸比值接近零，從而證明了在質量和偏心率充分小的情況下存在擬周期軌道。擬周期在這裡意味著系統是穩定的。阿諾德的結果隨後被其他學者拓展到更一般的雙行星空間系統問題（Robutel, 1995）以及多行星系統問題中（Fejoz and Herman, 2004）。此外，阿諾德還發現和證明了以他名字命名的阿諾德擴散（Arnold diffusion）現象。在這種所謂擴散的情形下，由於攝動量加劇，導致弱不可積系統中的不變環面間有可能出現連通，從而導致混沌軌道遠離初始軌道甚至瀰漫整個相空間。不過，這種軌跡的擴散是非常緩慢的，有可能在很長時間範圍（太陽系的壽命）內都是可以忽略的[1]。

因此，在KAM理論框架下，太陽系可被看作是八個可積系統通過小擾動耦合形成的弱可積系統。這裡的「弱」是指相對於系統中可積部分的作用力，導致不可積的作用力相對較小。例如：太陽系裡八大行星各自與太陽的相互作用是主要因素，對應的二體系統是可積系統；八大行星之間的萬有引力作用是干擾，帶來的(微弱的，約小三個量級)攝動為弱不可積系統。根據KAM理論，阿諾德對太陽系的穩定性做出如下判斷[2]：如果行星的質量足夠小（相對太陽），它們的無攝軌道的偏心率和傾角（相對黃道面）也都足夠小，那麼對於行星的絕大多數初始位置和初始速度來說，在考慮小的相互攝動時，行星運動將永遠是擬周期運動，偏心率和傾角將永遠保持為小量，而半長徑則永遠在其初值附近振動。在這個意義下，太陽系是穩定的。

圖6 KAM理論的創立者——

左：柯爾莫哥洛夫，中：阿諾德，右：莫澤

莫爾恰諾夫

KAM理論是有關太陽系穩定性研究的一個巨大的進步，但該理論中仍然存在一處小小的爭議，即所謂的「絕大多數初始位置和初始速度」。難倒不是所有初始位置和速度嗎？確實如此，該定理要求：行星初始運動彼此是不可通約的（等價於不可共振）。換句話說，系統中的軌道如果存在共振（軌道周期或對應的頻率彼此通約），則KAM理論是否成立尚不可判別。通約問題主要是指，兩個不同的頻率間能否找到公倍數。如果能找到，則說明不同頻率代表的軌道運動之間在公倍數周期後能夠回到同一點，也就是說它們會發生共振。能夠找到公倍數等價於兩個頻率之比是有理數。從觀測角度來說，任何兩個實際運動的頻率都會因為觀測精度的限制而保留到小數點後一定位數，因此它們的比值肯定是有理數。但是，從真實運動的連續性上來看，物體實際軌道運動的頻率應該是無理數，因此頻率之比也將是無理數。考慮到有理數集相比無理數集是測度為零的集合，因此KAM理論是「在一切初始條件下，幾乎處處成立」，而不是全部成立[2]。但是，這種「處處成立」的穩定性不能令所有天文學家滿意。俄羅斯數學家莫爾恰諾夫就是一位反對者。

莫爾恰諾夫認為，行星在起源的過程中，應當「挑選」對它最為「有利的」共振軌道。他還以實際觀測到的太陽系行星之間經常發生的那種「幾乎」可通約的證據作為自己的理由。此外，在原子結構中，物理學家早已發現電子運動的軌道具有「量子」效應，即：電子的軌道的能級不是連續的而是量子化的。這種現象表明微觀世界裡，共振現象很常見。但這種觀點也遭到很多科學家的反對，認為微觀世界的電子軌道不能與宏觀世界的行星軌道作類比。儘管如此，莫爾恰諾夫還是繼續堅持自己的觀點並認為「演化成熟的振動系統不可避免的是共振系統」。這一觀點還得到了其他科學家類似工作的支持，例如月球軌道運動周期等於繞軸自轉周期。換句話說，人們傾向於認為，物質系統不管從什麼狀態開始發展，必然地最終會進入共振狀態[2]。然而，共振很有可能導致系統不穩定！

4.結論：太陽系是穩定的嗎？

到目前為止，有關太陽系是否穩定的學術爭論並未完全停止。總體上說，由於KAM理論的出現，大部分學者傾向於認為太陽系在其有限的壽命（「熱力消亡」之前，大約50億年）範圍內，是動力學穩定的。不過，有關行星共振的問題並未完全解決，而KAM理論本身也還處於不斷完善之中。太陽系會否因為共振而使得部分行星運動失穩，尚不得知。此外，龐加萊在一百年前的深思熟慮也在時刻提醒我們，太陽系並非僅僅受到內部萬有引力的作用，由於太陽、行星內部的物理、化學作用產生的其它作用力（例如電磁力）以及外來天體對太陽系的擾動，都有可能破壞基於KAM理論所描述的數學上理想的穩定模型。因此，我們絕不可掉以輕心！太陽系的未來，或許仍有待做進一步的研究。特別是，近年來以超級計算機為基礎建立的關於太陽系演化的計算模型，或許也會揭示一些新的規律。我們唯有靜下心來慢慢思考。

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