Bertrand悖論淺析

在李詠博主那裡看到了Bertrand悖論：

在圓中「隨機」畫一根弦，其長度大於內接正三角形邊長的概率。分別以弦的端點、半徑和中點的角度考慮，可以得出三個不同的答案（1/2，1/3和1/4）。

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當時沒看懂，就自己畫了幾個圖。

1.幾率為1/2的情況

如下圖，AB為直徑的1/2，畫弦時，CD小於邊長，EF大於邊長。需要假設中點在直徑上等概率分布

2.幾率為1/3的情況

如下圖，∠ACB為π的1/3，畫弦時，CD小於邊長，CF大於邊長。需要弦的方向等概率分布，即任意相鄰兩共端點的弦夾角相等，由於這個夾角是圓周角，圓周角相等意味著弦長相等，弦長相等意味著內接正多邊形。所以這個要求可以等效為需要弦的端點在圓周上等概率分布。

3.幾率為1/4的情況

如下圖，小圓面積為大圓面積的1/4，畫弦時，CD小於邊長，EF大於邊長。需要假設中點在圓內部等概率分布

4.幾率不同的原因

「中點在直徑上等概率分布」、「弦的端點在圓周上等概率分布」、「中點在圓內部等概率分布」這三個條件不是等價的，用幾何畫板可以畫正十七邊形，滿足「弦的端點在圓周上等概率分布」，那麼一共有136根弦，如下圖：

從下圖看，靠近圓心的位置弦的中點更密集，出現的概率更大，不滿足「中點在圓內部等概率分布」

這些中點構成了8個同心圓，量一下這些圓的半徑後發現：遠離圓心時，半徑差在減小，說明在直徑上，出現中點的概率並不是相等的。不滿足「中點在直徑上等概率分布」，

和百度百科的結論一樣，但不清楚該如何證明。那上面還有一個圖片，不知道誰做的。

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