虛數i是真實存在的嗎？

最新 06-22

存在是一個哲學問題，自然數1、2、3、4是否存在？它們沒有現實對應物，但是會在一個香蕉、兩個蘋果中被探測到，那麼到底算是存在還是不存在呢？虛數呢？

虛數是不是真實存在的，這真的不是一個顯而易見的問題，而且按照中國教材的編寫順序，數學教育中第一次出現和現實脫離的概念大概就是虛數，這應該是教育中一次很好闡述數學思想的時間和機會。

1 數系的擴展

數系的擴展過程直觀上來說就是給數軸「填坑」的過程。

1.1 整數

自然數出現是挺自然的，小孩自然就知道了一個蘋果、兩個香蕉，去掉蘋果香蕉，剩下1、2，就是數學的初步抽象。

這個時候數軸上有沒有坑啊？當然有了。

1.2 有理數

數軸上還有坑嗎？當然有。

整數與整數的比就是有理數。有理數這個名字翻譯的有點意思，英文是rational number，明明是可以翻譯為」比例數「（就是整數和整數的比），讓我以前一直覺得後面出現的無理數好粗魯。

1.3 無理數

有了整數和有理數之後，數軸還有沒有坑？這個問題真的不那麼顯然了。任何兩個有理數，比如說0.5和0.7，平均值還是有理數，不論這兩個有理數之間隔得有多近。就是說任何兩個有理數之間不可能相鄰，他們之間必定還有有理數。看起來就彷彿在數軸上連綿不斷。

是第一個發現的無理數，因此還引發了第一次數學危機。

我們回頭來看看，不通過證明我們還真沒有辦法說明它不是有理數，實際上大多數時候，無理數都需要證明，比如，這樣有名的無理數，在證明之前我們並不知道它是有理數還是無理數，而且證明難度還不小。

這裡稍微提一下，其實無理數的數目要比有理數多得多。我們知道，有理數是無限循環小數，無理數是無限不循環小數。我們直觀的來想像一下，我們面前有10個球，上面標著0到9的數字，我們閉著眼睛隨機抓取一個球，球上標註的數字就作為小數點後面的第一個數字，把球放回去再抓，就作為第二個數字，無限的抓下去，生成有理數的概率為0（概率學裡面，概率為0不並意味著事件完全不可能發生，而是說幾乎不可能）。

其實無理數才是常態，有理數才是沒有道理的數。

1.4 實數的連續性

現在，數軸上有了整數、有理數、無理數了，數軸上還有坑嗎？沒有了。

怎麼證明？呃，這個證明雖然不複雜，但是有點燒腦，跳過吧，不妨礙後面的講解。

整數、有理數、無理數統稱為實數，實數是連續的。

直觀理解連續，就是數軸上沒有坑了，再也不可能有別的數了。

實數的連續性是非常重要而且基礎的性質，沒有實數連續性，函數就不連續，函數不連續，可微可導微積分都沒有了，真不知道世界會是什麼樣子。

再比如，我們想想，有理數是一個個的點，長度為0，就算無數多個有理數加起來，長度還是為0，那麼長度是哪裡來的？連續的實數才有長度，怎麼證明？也無法證明，這是關於連續性的一種性質。

至此，我們把實數稱為」完備「。

當然，還有人說，我可以不破壞實數的各種性質，但是可以在實數的縫隙裡面加上無窮小量（在上面的實數理論中，無窮小量不是確確實實的數，只是一個概念），就這麼創造了新的實數，這種實數自有它的用處，不過目前不是主流。

1.5 數學並非科學

什麼是科學？科學很重要的一點是，可以被證偽。比如說我們說水的沸點是100攝氏度，那到底是不是呢？用溫度計量了就知道。科學的研究需要用事實來證明或者證偽。

從實數理論來看，我們可以認識到一點，數學並非科學。比如上面說的無窮小量到底是不是數，就可以被隨意的定義了，在這個基礎上，沒有邏輯矛盾的推出了各種理論理論，自然也沒有辦法證明和證偽。

所以數學會從各種公理出發建立很多分支，不過如果和科學研究脫鉤的話，這個分支也不會有很多人去研究它，慢慢也就失去了活力。當然也有很多分支本來也只是少數數學家的玩具，後來被發現可以作為工具進行各種數學研究。現在可能最純粹的數學只有」數論「了。

想起一個愛因斯坦的公案，愛因斯坦作為一個理論物理學家，工作方式很像是一個數學家，從光速不變這個假設出發，推出了」相對論「，學術界都說，你好牛哦，說的好有道理哦，但是，諾貝爾物理學獎沒有辦法頒給他，因為證明不了也證偽不了！頒獎委員會當時的心態是」我好想給愛因斯坦頒獎哦「，就在愛因斯坦的研究中找個靠譜的」光電效應「頒獎。

2 虛數是否真是存在？

虛數這個名字，指出了一點，虛數在現實中沒有對應物的，是一個人工數。

似乎是人工數就必然不真實，讓我們來看看是不是？

2.1 虛數開始是數學家的玩具

古代的數學家也和我們一樣，也玩24點，義大利米蘭有個數學家叫做卡當，出了一個題，能否把10分成兩部分，讓它的乘積為40？他給出的答案是，，這裡負數第一次出現在了根式里，不過就好像幾何題劃的輔助線一樣，雖然參與運算，但是並沒有意義。數學家也不可能給輔助線專門定義一個概念。

2.2 虛數似乎沒有充分存在的理由

虛數，這個就是的定義。

聽它的名字就感覺它是「虛」的：

從自然數擴張到整數：增加的負數可以對應「欠債、減少」

從整數擴張到有理數：增加的分數可以對應「分割、部分」

從有理數擴張到實數：增加的無理數可以對應「單位正方形的對角線的長度（）」

從實數擴張到複數：增加的虛數對應什麼？

虛數似乎只是讓開方運算在整個複數域封閉了（即複數開方運算之後得到的仍然是複數）。

看起來我們沒有必要去理會到底等於多少，我們規定沒有意義就可以了嘛，就好像一樣。

我們來看一下，一元二次方程的萬能公式：其根可以表示為：，其判別式。

：有兩個不等的實數根

：有兩個相等的實數根

：有兩個不同的複數根，其實規定為無意義就好了，幹嘛理會這種情況？

數學家很吝嗇的，不會為這點微不足道的好處去增加概念。虛數如果只是讓開方可以封閉，運算出來的結果還是虛數，這個理由不充分。

對於數學而言，概念、公理越少越好，越少數學的根基就越穩固。歐式幾何的五個公設，兩千年來數學家都在企圖去證明第五公設，只為了減少一條公設。

2.3 虛數是解一元三次方程的必須工具

我們再看一下，一元三次方程，一元三次方程的解太複雜了，這裡寫不下，大家可以參考維基百科，但願大家能夠打開。

我們討論一下，此時，一元三次方程可以化為，其根可以表示為：

其中。

判別式為，注意觀察解的形式，是被包含在根式裡面的。

：有一個實數根和兩個複數根

：有三個實數根，當，根為0，當，三個根裡面有兩個相等

：有三個不等的實根！懵了，要通過複數才能求得實根？

要想求解三次方程的根，就繞不開複數了嗎？會不會這只是求根的方法之一？這個也被證明了，確實需要通過複數來求解實數根。

求解方程組，確實讓人覺得虛數是一個必要的數學工具，但是還是沒有揭開它的本質，還不足以讓其登堂入室。

2.4 虛數真實存在的理由

這個必須從泰勒公式的收斂性說起：

泰勒公式的收斂性直觀來說就是泰勒級數（即泰勒公式展開後的級數）的函數圖像是否能夠貼合原函數，這個和泰勒級數本身的收斂性有關。

2.4.1的收斂性

在點泰勒展開，，級數的收斂範圍是，如圖，用來表示展開的階數（階數即泰勒級數裡面求導的次數，或者可以理解為級數多項式的最高次數)：

的泰勒級數在整個實數範圍收斂，展開的階數越多，對原函數的貼合就越好。

2.4.2的收斂性

在點泰勒展開，，級數的收斂範圍：

從圖中可以看到，泰勒級數在收斂。超出這個範圍，泰勒級數的圖像就遠離原函數的圖像。

在點泰勒展開，，級數的收斂範圍：

從圖中可以看到，泰勒級數在之間收斂。超出這個範圍，泰勒級數的圖像就遠離原函數的圖像。

對比這兩個展開的收斂區間，我們看不出什麼特點出來，我們以收斂範圍作為直徑，展開點作為圓心來畫下圓（這個圓被成為泰勒級數的收斂圓）看看：

在不同位置展開的泰勒級數的收斂圓都相切於這根直線。

解釋一下原因，有一個奇點，即的話，有沒有定義，而泰勒級數的圖像會以展開點為中心對稱（容易驗證，級數不是奇函數就是偶函數），所以如果在點展開的話，因為有，所以對稱的位置有。同理如果在點展開的話，因為有，所以對稱的位置有。

數學總是有道理的對嗎？

2.4.3的收斂性

在點泰勒展開，，級數的收斂範圍：

可以看出，很奇怪的在收斂，可是本身並沒有奇點啊？

在點泰勒展開，級數的收斂範圍：

可以看出，在收斂，仍然很奇怪。

對比這兩個展開的收斂區間，看不出什麼規律來，同樣的畫下收斂圓看看：

注意兩個圓的交點是或者放到複平面上去就是。這並不是巧合，確實是和虛數有關。

很長時間數學家都不知道為什麼收斂範圍這麼奇怪，直到虛數出現之後，大家才知道的話，有是個奇點！

整個推論過程從頭到尾就沒有出現過的身影，最後卻不得不考慮。泰勒公式也使得數學家不得不認真面對虛數這個問題。

數學還是很講道理的對嗎？

泰勒公式的收斂性不得不讓我們這樣去考慮問題，虛數是真實存在的。我們長期習慣了用實數去思考數學問題，直到我們發現實數只是真實存在的複數的一部分。把實數比作三維空間，複數就是四維空間，泰勒公式就是生存在四維空間的動物。當我們在實數範圍內研究泰勒公式時，我們發現它的行為好奇怪，最後才發現原來這不過是它在三維空間的投影。

實數是複數的一部分，用實數去研究數學問題並不是說不正確，就好像用牛頓力學在微觀領域沒有建樹，但是去研究宏觀物體仍然適用一樣。只是我們應該看到更大的一個世界。

3 結論

虛數是人工設立的一個概念，沒有現實的對應物，但是我們不能認為它不存在，是虛構的。就好像每天我們要喝的水，我們知道他是由組成，可是誰見過究竟是什麼？目前對原子的了解也只是停留在數學方程式上，到底是什麼樣子我們也不清楚，但是肯定不能說不存在。

來源：馬同學高等數學

編輯：Gemini

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