空間的本質皆數學

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空間的本質皆數學

《穿越平行宇宙》節選

最後，讓我們再回到那個幼兒園小朋友問的問題：「空間是無邊無際的嗎？」此刻，我們可以從兩個角度來回答這個問題：觀測角度和理論角度。到此為止，我們已基本完成了前者，回顧了一下測量技術如何一步步揭開越發遙遠、永無止境的宇宙秘密。同樣，從理論角度看，人類也取得了許多進展。首先，空間為什麼不是無限的呢？正如我和幼兒園小朋友所討論的那樣，如果在空間中走著走著竟然遇到一個圖1-6 里的標識，警告我們已經到達空間的盡頭，那可真是太詭異了！當我還是個小孩子時，我就曾思考過這個問題：如果真有這麼個標識，那它後面又是什麼呢？在當時的我看來，擔心走到空間的盡頭，就像古代的水手擔心船會從大地的邊緣掉下去一樣可笑。於是，我用純粹的邏輯分析總結道，在空間中，你能永遠走下去，碰不到邊界，所以空間是無邊無際的。實際上，古希臘的歐幾里得就用純粹的邏輯推理得出，幾何實際上也是數學，它可以精確地描述無限的三維空間，與其他數學結構（比如數字）無異。他發展了這個描述三維空間的優美數學理論及其幾何性質，並被人們廣泛接受，成為人們心中唯一符合邏輯的物理空間世界觀。

然而，在19 世紀初，數學家卡爾·高斯（Carl F. Gauss）、雅諾什·鮑耶（JánosBolyai）和尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）都發現，統一的三維空間中可能還存在其他某些合理的邏輯解釋。鮑耶在給父親的信中興奮地寫道：「從虛無中，我創造出了一個奇異的新宇宙。」這些新空間遵循著不同的規則，比如，它們並不像歐幾里得所說的那樣，必須是無限的；甚至三角形內角和都不一定非得是歐幾里得規定的180°。來看看圖1-7，想像一下，在圖中三個立體物體的二維曲面上分別畫一個三角形。對左邊的球面來說，三個角加起來大於180°；對中間的圓柱面來說，內角和等於180°；而右邊的雙曲面上，三個內角和小於180°。並且，儘管球面的二維表面是有限的，卻沒有任何邊界。

這個例子說明，只要一個面不是平的，就能打破歐幾里得的幾何規則。不過，高斯和其他數學家的想法比這個更激進。他們認為，空間也可以彎曲，即使它並不是任何物體的表面。

想像一下，假設你是一隻盲眼的螞蟻，你想確定你處在圖1-7 中的哪個曲面上，於是你開始爬來爬去。你感到你生活在一個二維的空間里，因為你沒法接觸到第三個維度（也就是說，你沒法離開你所在的曲面），但這並不阻礙你的「偵探」工作：你還是可以確定一條直線（兩點之間最短的線），所以你只需要簡單地加一下三角形的內角和就可以了。如果你加起來的角度是270°，你就可以宣布：「啊哈！比180°多耶，我一定是在一個球體上！」為了給你的螞蟻同伴們更多驚喜，你甚至可以計算出走多遠才能回到出發點。我們日常所說的所有幾何特徵，比如點、線、角、曲率等，都可以在一個二維曲面上定義出來，根本不需要用到第三個維度。這意味著，即使不存在第三個維度，數學家們也可以定義出一個彎曲的二維面——這是一個彎曲的二維空間，只有它本身，而不是某個物體的表面。

對於大多數人來說，這些非歐幾里得幾何的空間，完全是神秘的抽象概念，對我們的物理世界來說毫無用處。然而，愛因斯坦帶著他的廣義相對論，登上了歷史舞台。他彷彿在告訴人類：「我們真的是螞蟻！」在愛因斯坦的理論中，三維空間可以彎曲，即使缺乏讓它可以彎向的隱蔽第四維。所以，關於我們的空間究竟是什麼樣的，不能像歐幾里得的粉絲們所希望的那樣，只依靠純粹的邏輯推理。它只能通過測量來解決，比如在空間中畫一個巨大的三角形（可以用光線畫出邊緣），並把它的內角加起來，看看是不是等於180°。在第3 章，我將告訴你，我和同行們玩這個遊戲玩得多開心。那麼，結果如何呢？如果你畫的三角形有整個宇宙那麼大，那它的內角和應該差不多等於180°；但是如果這個三角形里滿滿當當地塞著一個中子星或黑洞，那內角和就會大於180°。所以，物理空間的形狀比圖1-7 里的三個例子複雜多了。

再次回到幼兒園小朋友的問題上。我們知道，愛因斯坦的理論允許空間是有限的，但並不是以圖1-6 中那種傻乎乎的方式，而是以彎曲的形式。舉個例子，如果我們的三維空間彎曲了，就像一個四維超球面的表面，那麼如果我們沿著直線一直往前走，走啊走啊，最後會從相反的方向回到起點。我們並不會從三維空間的邊緣掉下去，因為它根本沒有邊界。就像圖1-7 里的螞蟻一樣，它在球面上爬行時，永遠不會遇到邊界。

實際上，愛因斯坦的理論哪怕在空間不是彎曲的情況下仍然允許空間是有限的！看看圖1-7 中的圓柱體，從數學上來說，與其說它是彎曲的，不如說它是平的：因為在一張捲成圓柱形的紙上畫一個三角形，它的內角和等於180°。讓我們用剪刀把這個三角形剪下來，你會發現它能平攤在桌面上。而對球面和雙曲面上的三角形來說，卻做不到這一點，除非你把紙弄皺或撕破。然而，儘管圖1-7 中的圓柱面在螞蟻看來是平的，也就是說，如果螞蟻沿著一條水平直線前進，最終依然會回到它的出發點。數學家把這種空間的連接性稱為「拓撲性」（topology），將所有維度上都連接著自身的平滑空間稱為「環面」（torus）。一個二維環面的拓撲性與麵包圈（就是中間有一個洞那種）很相似。愛因斯坦的理論允許我們棲息的物理空間是一個三維曲面，這樣，它既是平滑的，又是有限的。或者，它也可能是無限的。

總而言之，我們居住的空間可能是無限的，也可能是有限的——根據我們對空間性質的最佳理論，也就是愛因斯坦的廣義相對論，這兩種可能性都完全說得通。那麼，空間到底是無限還是有限？我們將在第3 章和第4 章繼續討論這個迷人的話題，在這兩章，我們將找到空間無限的證據。然而，幼兒園小朋友的問題引發了另一個有趣的問題：「空間究竟是什麼？」直觀看來，我們都認為空間是一種物理實體，編織出了整個物質世界。然而現在，我們已經窺探到，數學家眼中的空間只是一種數學的東西。對他們來說，研究空間就像研究幾何學，從這個意義上看，它所有的固有性質都是數學性質，比如維度、曲率和拓撲性。在第9 章，我們將進一步討論這個話題，你將看到，從定義良好的角度看，我們的整個物理實在只是一個純粹的數學物體。

在本章，我們探索了我們在空間中的位置，呈現出了一個極其龐大的宇宙——比我們祖先所認為的大多了。要理解宇宙最深處發生了什麼，我們可以用望遠鏡來觀察。然而，只探索我們在空間中的位置是不夠的，我們還需要了解我們在時間中的位置。這正是下一章的主題。

穿越平行宇宙

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