我們養著純數學家幹嘛？

作者，Ben Orlin, 英格蘭數學教師。

翻譯，詩人。，哆嗒數學網翻譯組成員。

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——無用之用，方為大用

娶一個純數學家當老婆，有很多樂趣，家裡會時常發現她的筆記本上染指咖啡漬，上面卻寫滿了積分，除此之外，另外一個有意思的事就是聽她向別人解釋她的職業。

「是不是要大量使用電腦呀？」

「你寫方程嗎？你懂我的意思，我指的是，那些很長很長的方程。」

「你是不是要和一些極其大的數字打交道？」

對上述三個問題的回答分別是：不，有時會，不。

她幾乎不用計算機，不等式用得比等式多得多，另外，和她搞的小方向下的很多研究者一樣，她覺得5以上的數字就已經大的離譜了。

儘管如此，她還是樂於回答那些問題。純數學的研究是一項奇葩的職業，並且很難向人解釋清楚。

那好，作為全體不在場純數學家的一個代表，這位教師弱弱地做了次嘗試，向人們解釋一下這種工作。

問：那麼什麼是純數學呢？

答： 你可以把整個數學想像為一張大的陰陽圖，但是並不是光明與黑暗之間的絞殺，火與水之間的對決，而是純理論和應用之間的博弈。

應用數學專註於數學在現實世界中的應用。工程，經濟，物理，金融，生物，航天——所有的這些領域都需要利用定量的技術手段來解決問題和克服困難。

但是純數學，卻恰恰相反，它是為數學本身的完美而發展。

問： 那麼如果應用數學意味著有用，那麼是不是純數學就意味著....

答： 沒用？

問： 這是你自己說的，我可沒說。

答： 好吧，我更偏向於「為了數學本身而發展」這個說法，不過說沒用也不是一點道理沒有。純數學並不關注應用，它不以現實世界為中心。它不會去考慮製作出更快捷的瀏覽器，建造更加牢固的大橋，也不會去建立投資銀行，用來鞏固世界的經濟。

純數學是關乎數學模式，解題，和抽象的一門藝術。

思想是它的血肉。

產生於最初的樸素數學觀念之上的想法，隱藏其背後的意義，可以引領我們繼續前進的靈感，或者高於原始理念的構思，對這些剩下的（可能存在的）所有思想，純數學家們孜孜不倦地探索著。

它永遠都在向天發問，「如果那個被證明是正確的，那麼對於其他的，什麼是正確的呢？」

它永遠走向問題的更深更遠處。

問： 你是說就在此刻，那些不在這裡的純數學家們，正是在做那些純數學嘛，雖然這些玩意可能對一些人來說永遠沒用。

答： [我瞥了一眼正在工作的妻子，確認她並沒有在看她的美劇《實習醫生格蕾》。]

是啊，就是這樣的。

問： 那，為什麼呢？

答： 因為純數學非常美妙呀！他們勇猛地開墾著人類知識的新地。他們和哲學家，藝術家，以及其他領域的純理論研究者無異。

問： 我懂了，那就是他們正在做純數學的原因。但是(既然他們做的東西沒啥卵用)為什麼我們養著他們幹嘛啊？

答： 哎喲，這是一個更加難回答的問題。讓我先岔開這個問題，給你講個故事吧。

在19世紀，數學家們開始對證明非常痴迷。整個世紀，他們致力於對已知正確的數學成果的反思和創新(就像對微積分理論基礎的重構)，但是他們卻不能完全地解釋究竟為何如此。

所以在20世紀新黎明的破曉之際，一些研究介於數學和哲學的交叉領域的學者，開始了一項宏偉的工程:證明一切。他們渴望將所有的數學知識建構在一個堅實的基礎之上，以此來創造一個體系，運用十足的精確和徹底的演繹，將真理與錯誤永遠分離。

這個想法從過去開始醞釀已久（2000多年前，歐幾里得將所有的平面幾何建立在了相似的基石之上），但是這項工程放眼的視野卻是全新的，具有里程碑式的意義。在數十年中，一些站在世界之巔，智力超人的數學巨子們，對比如「1+1=2」這樣的命題，進行著孜孜不倦的探索，找尋著隱藏在其背後的，嚴謹而又神秘的意義。

你能想像出還有什麼事情能比這更加抽象，更加純粹嗎？好奇心指引著他們前進。數學的應用在他們心中去留無意。

問： 那，之後發生什麼了？

答： 這項計劃失敗了。

最終，哲學家庫爾特?哥德爾證明了無論你最初選擇什麼樣的公理，任何一個數學系統都會最後陷入某一些命題總是無法被證明的困境。你無法證明那些命題是正確的，你也無法證明它們是錯誤的。它們讓人很無語。

我們稱這些命題為「無法確定真偽的命題」。事實就是，很多事情都可以被證明，但是某些事情就是無法被證明。

問： 哎！這簡直就是對時間的極大浪費！純數學最差勁了！

答： 好吧，我姑且先說你是對的。

當然了，研究者們試著從數學廢墟中重新利用一些東西。在這些工作的基礎上，一位英國的數學家構思了一種機器，它能夠幫助我們去判斷某個數學命題是真的，還是假的，還是無法判斷真偽的。那將成為一個自動的真理判決者。

問： 那我們是否曾經製作了它呢？

答： 製作過的，那位數學家叫做阿蘭?圖靈，今天我們都稱這種機器為「計算機」。

問： [目瞪口呆]

答： 然而正是如此。

作為曾經令純數學家嘔心瀝血的最為純粹的數學事業之一，這項企圖證明一切的浩大的工程，像凋零的煙火一般消逝遠去了，沒有得到實現。

當然了，預定目標的確沒有得到完成。但是通過澄清（並且有時是革新）一些觀念的過程，比如關於證明方法、真理和信息的探討，數學成就了一些更加偉大的事業。

它帶給了我們計算機，計算機相應地給我們帶來現在這個，你懂得的，這個世界。

問： 所以也就是說現在的純數學可能有一天會給我們帶來一種全新且極具變革性的實際應用咯，就像當時的純數學為我們帶來了計算機一樣？

答：有可能會。

但是你卻不能一定認為任何一個數學工作都能達到那樣的標準，那是做不到的。這個世紀之內會有成堆的論文，大量的純數學工作，都是看不到（催生偉大實際應用的）曙光的。它們不會在任何有實際意義的領域得到應用。頂多它們會被相關領域的極少數專家閱讀，然後淪為灰溜溜的背景知識。

這就是殘酷的數學生活。

但是當你隨意地去讀那些20世紀初的邏輯學家寫的文章時，你會覺得他們的工作同樣地無意義。如果你把那些論文沿著時間軸一一排除之後，那麼我們智力工作者奮鬥史的「磚磚瓦瓦」將會變得非常中規中矩而毫無新意。但那並不會使得那些論文變得黯淡無光，因為偉大的研究成就並不是零散孤立的個人獨白的簡單拼湊。

數學成就是交流對話的果實！

每一項研究都建立在先人的研究之上，並且它又會指點後人去猜測下面可能要研究什麼。這些暗示可能是價值重大的，或者有一些價值，或者毫無價值。無法提前判定。

在長達數十年的對話中，沒有什麼特別的言辭必然會具有重要的指導意義的。說太多會被遺忘，或者陷入晦澀。那都沒什麼大不了。關鍵的是對話一直在進行。人們需要不斷地分享那些令他們興奮不已的思想，甚至尤其是那些特殊的，連他們也不知道為什麼的靈感。

問： 那也就是說，純數學，為自己的終身美麗而生，永遠獻身於革新性的洞察咯？

答： 是的，這就是純數學。

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