用特別的方法解特別的題

19420170624周六數學教研作品《用特別的方法解特別的題》

（秦中朱校華原創）

特別的方法解特別的題

一、使用逆向思維法，解題思路易顯達！

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢於「反其道而思之」，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象。當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維。人們習慣於沿著事物發展的正方向去思考問題並尋求解決辦法。其實，對於某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。例如：司馬光砸缸：有人落水，常規的思維模式是「救人離水」，而司馬光面對緊急險情，運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，「讓水離人」，救了小夥伴性命。現實生活例：某時裝店的經理不小心將一條高檔呢裙燒了一個洞，其身價一落千丈。如果用織補法補救，也只是矇混過關，欺騙顧客。這位經理突發奇想，乾脆在小洞的周圍又挖了許多小洞，並精於修飾，將其命名為「鳳尾裙」。一下子，「鳳尾裙」銷路頓開，該時裝商店也出了名。逆向思維帶來了可觀的經濟效益。「無跟襪」的誕生與「鳳尾裙」異曲同工。因為「襪根」很容易破，一破就毀了一雙襪子，商家運用逆向思維，試製成功「無根襪」，創造了良好的商機，賺到了許許多多的錢。

逆向思維法，就是運用逆向思維來尋找解題思路的一種方法，也叫逆推法。它是數學解題中比較常用的方法之一，也屬於特別法中用得較多的方法，是特別法中首選法，要學會哦！看下面創新中考題：

題從前某一天，有一位窮苦農民在路上碰見一個法師，法師說：「我有一個主意：可以讓您發大財，只要您從我身前的這座橋走過去，您的錢就會增加一倍，您再從橋上走回來，錢數又會增加一倍，每過一次橋，您的錢卻能增加一倍。」農民說：「鬼話連篇！」法師說：「我是大法師，我會法術，我會實現自己的諾言，不過您必須保證：每次在您的錢數增加一倍後，要給我a個銅板。」農民聽後大喜，馬上來往過橋，按法師要求付a個銅板，誰知第三次過橋口，口袋裡剛好只有a個銅板，付給法師後，分文也沒有，方知上了狡猾法師的當。

聽完這個故事以後，請你求出該農民口袋裡最初有多少個銅板？（用含a的代數式表示）

二、使用間接設元法，解題目標易速達！

設元是列方程（或方程組）解應用題的重要環節。只有設得巧，才能解得妙。用代數的方法解應用題.可採用直接設元法,或採用間接設元法.有些問題採用間接設元法解之較為簡便.所謂間接設元法,就是選擇 題中非所問問題 設為未知數的解題方法.它的實質就是通過間接的橋樑達到求解的目的。例如：數字應用題：一個兩位數,十位上的數比個位上的數小1,十位與個位上的數的和是這個兩位數的(1/5).求這個兩位數？本題若直接設所求兩位數為x的話，很難列出方程，但間接設元就簡單多了：設十位上的數為x，則個位上的數為x＋1，依題意得：x＋（x＋1）＝（10x＋x＋1）÷5，解得x＝4，故所求兩位數為45.請嘗試解下列常規中考題：（勿忘「析題設元找關係，列式解檢答題去」！）

題學校在3·12植樹節中種植了楊樹和槐樹兩種樹，已知種植楊樹的棵數比總數的一半多56棵，槐樹的棵數比總數的三分之一少14棵，則楊樹與槐樹各種了多少棵？

三、使用參數輔助法，解題思路易通達！

參數是運動、變化思想在數學中的重要體現。參數輔助法，簡稱設參法，是解題常用的一種特別方法，也是許許多多解題技巧的源泉。人們用含有字母的代數式來表示變數這個代數式叫作參數式，其中的字母就叫做參數.有時甚至會用到圖形性質、幾何直觀與代數關係來連立式子一起去解題。

設參法解題的基本步驟：(1)設參，即選擇適當的參數(參數的個數可取一個或多個)；(2)用參，即建立參數方程或含參數的方程；(3)消參，即通過運算消去參數，使問題得到解決。例如：《一課一練》P.68例3：某商品按標價的九五折銷售，利潤率為15%；按標價的八折銷售，則仍盈利34元；若按標價的七五折出售，是盈還是虧？本題要想知曉結果，首先就要理清進價、標價、售價間的關係，能求出這三個量的大小最好，不妨假設進價為a元，標價為b元（設參），依題意可列出兩個關係式：0.9b＝a（1＋15%）與0.8b – a ＝ 34 （用參），通過消去其中一個參數（消參），可分別求出a＝1530，b＝1955，再計算0.75b – a＝﹣63.75＜0，是虧了.到了學完二元一次方程知識後，您會更明白些！請解答下面交叉中考題：

題3.某超市有一不準確的天平（其左臂長大於右臂長）及1千克砝碼.老李要購買2公斤糖果：售貨員先將1千克砝碼放於左盤，置糖果於右盤使之平衡後給顧客老李1公斤糖果；然後又將1千克砝碼放於右盤，另置糖果於左盤，平衡後再給顧客老李1公斤糖果，這樣兩次合起來共稱給了顧客老李2公斤糖果.試問：超市贏還是老李贏甚至說雙方公平？請說明理由.（您可能要用到結論：任何兩個不相等的正數的平方之和一定大於這兩個正數積的2倍）

限於篇幅，暫時就先談以上三大方法！附上簡析：

題1.採用逆推法：農民第三次過橋口口袋裡有a個銅板，那麼過橋前是a/2個銅板，又因為給法師a個銅板，所以第二次過橋後是a/2＋a＝3a/2個銅板；於是第二次過橋前是3a/4個銅板，再加上給法師的a個，第一次過橋後是3a/4＋a＝7a/4，那麼第一次過橋前是7a/8個.故該農民口袋裡最初有7a/8個銅板.

題2.間接設元法：設楊樹和槐樹總共x棵，則楊樹種植了（x/2＋56）棵，槐樹種植了（x/3 –14）棵，依題意得：x/2＋56＋x/3 –14＝x，解之得x＝252，則x/2＋56＝182，x/3–14＝70即楊樹種植了182棵，槐樹種植了70棵.

題3.參數輔助法：設天平左臂長為a，右臂長為b，顯然a＞b＞0，當1千克砝碼放於左盤，置糖果於右盤時，根據槓桿平衡原理得：糖果重量m＝a/b（公斤），當1千克砝碼放於右盤，置糖果於左盤時，類似地可得出此時的糖果重量n ＝ b/a （公斤），於是糖果的總重量為m＋n＝a/b＋b/a （公斤）依題給結論可推出：a/b＋b/a ＝（a2＋b2）/ab ＞2.即糖果重量實際已超出2公斤，故老李贏，超市吃虧！

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