原本研究解析數論的他，幫助NASA把「阿波羅」號飛船送到月球

這位阿波羅登月背後的功臣數學家，鮮有人知，卻有著不同凡響的人生。

文 | 蔣迅

在2013年，一件轟動數學界特別是中國數學界的事件是，一位不太為人知的時年58歲的數學家張益唐證明了一個弱形式的孿生素數猜想：存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。張益唐的成果讓很多追求這個終極目標的數學家們又重新燃起了希望，此後，數學家們迅速將7000萬降到了246。

張益唐的生活從此改變：學校從合同工講師把他立馬提升到正教授，各種獎勵接踵而來，各大名校紛紛邀請他加盟，中國數學界對其盛情邀請。常人們則把話題的焦點集中在了張益唐這樣做是否值得的問題上：萬一他一輩子都做不出這樣的結果來，那他一輩子可能就是一個大學合同工講師。在我們回答這個問題之前，先請讀者來看另一個人的故事。這個人也試圖攻下孿生素數猜想，曾經以為自己成功了，但終究以失敗而告終。如果他地下有知張益唐的研究成果會作何感想呢？他就是美國范德堡大學的數學家理查德·阿仁斯道夫（Richard Arenstorf）教授[1]。

圖1. 阿仁斯道夫（1966年）

阿仁斯道夫1929年11月7日在德國漢堡出生。他的德文名字是Richard Franz Joseph Shultz-Arenstorff。對於他，我們知道的很少。可能因為他是一個德國人，英文的資料很少，但維基百科上居然沒有他的德文條目，讓我們有些驚訝。經過一番費力的搜索和查詢，我們只能得到如下的信息：阿仁斯道夫的父親在他幼年的時候就獨自離開了德國，母親則因反對法西斯而死在了納粹的監獄裡。他由養父母撫養成人。高中畢業後，他進入了漢堡大學數學系學習，後轉學哥廷根大學。在漢堡讀書期間，他認識了同系的雷娜特·曼澤克（Renate Manseck）。他們經過三年的拉鋸式戀愛，終於走進了婚姻的殿堂。阿仁斯道夫於1952年和1954年分別獲得哥廷根大學數學學士和碩士學位，1956年在美茵茨大學漢斯·羅巴赫（Hans Rohrbach[2]）教授的指導下獲得博士學位。他的論文題目是「實二次數域剩餘類上的素數的二維分布」[3]。這屬於解析數論的範疇。因為他大量使用了複變函數的方法，所以掌握了嫻熟的複分析技巧。在這一點上，他的工作很類似於用黎曼ζ函數於數論的思路。我們推薦讀者閱讀盧昌海的精彩科普文章「黎曼猜想漫談」。

圖2. 美茵茨大學

阿仁斯道夫的導師羅巴赫不算是一個大數學家。羅巴赫1932年從柏林大學獲得博士學位，主要研究領域是堆壘數論。二戰期間他參加了納粹黨，甚至衝鋒隊，但又不被信任，因為他與一些猶太裔的同事保持良好關係。由於他的專業是數論，他被調到納粹解碼部門，曾經成功解開了美國駐柏林使館的通訊。這一點上，他與圖靈做的很相似，但他的名氣則完全不能和圖靈相比。二戰結束後，他改信基督教，在這方面花了大量時間。不知阿仁斯道夫怎麼會到美茵茨大學去找這樣一位導師。幾乎可以肯定的是，他已經意識到了這位導師不是太在行，所以有意把哥廷根大學的著名數論專家卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel，1896-1981）請進自己的博士學位委員會裡。一種可能就是他本來是想跟西格爾的，但是西格爾在1956年之後不再收學生（他的最後一個博士生畢業於1957年）。儘管沒能成為西格爾指導的學生，西格爾對阿仁斯道夫的影響還是很大的。我們在阿仁斯道夫的博士論文中可以看到許多西格爾的思想。而另一個重要的影響是西格爾在天體力學方面的工作，特別是三體問題。這應該是阿仁斯道夫後來搞起了彈道導彈和衛星軌道問題的重要原因。

獲得博士學位後，阿仁斯道夫回到了哥廷根。正好這時，美國到德國搜羅人才，一個三人小組找到了他。1957年，在得到了豐厚的房車許願之後，阿仁斯道夫接受了陸軍彈道導彈局（Army Ballistic Missile Agency，ABMA）的非軍事編製的科學家任命，他帶領妻子和一個剛剛出生的兒子移民美國。1960年在歸化為美國公民時把全家的姓簡化成了Arenstorf，顯然是為了紀念他的英雄母親。這個陸軍彈道導彈局是個什麼單位呢？ABMA成立於1956年2月。它的技術主任就是大名鼎鼎的德國V1和V2火箭的總設計師沃納·馮·布勞恩（Wernher von Braun，1912－1977）。「PGM-11紅石（Redstone）」是ABMA的第一個重要項目，基本上是V2火箭的繼續。美國海軍研究實驗室搞的第一個發射衛星的「先驅計劃」失敗後，布勞恩搞的中程彈道導彈IRBM「丘比特-C型火箭」正好適用於發射美國第一顆人造衛星的「朱諾一號運載火箭」的設計要求。1956年9月，美國使用「丘比特-C型火箭」成功發射了一個衛星模型。人們普遍認為，如果當時美國政府允許搭載真的衛星的話，那世界上第一顆人造衛星就不是蘇聯人發射的「斯普特尼克1號」衛星了。1958年1月，「丘比特-C型火箭」將美國第一顆人造衛星「探險者1號」送入地球軌道。阿仁斯道夫就是在這樣一個大環境中加入了布勞恩的團隊的。1960年，ABMA被合并到NASA，阿仁斯道夫也隨著變成了NASA的一名科學家，仍然在布勞恩的手下工作。

圖3. 阿仁斯道夫轉為NASA科學家時的照片

阿仁斯道夫的專業方向是數論，聽起來跟天體力學完全沒有關係。即使他拿到博士後立即轉行，也很難想像他能被布勞恩選中研究天體軌道問題。這裡的關鍵是他使用的研究工具——複分析。前面說過，他的博士論文結果是用的複分析。現在我們再來看看他是怎樣把複分析用到天體力學裡，具體地說就是怎樣用到三體問題中的。

圖4. 三體問題圖釋

三體問題是天體力學中的基本力學模型。它是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題。這是一個有三百多年歷史的古老問題。歷史上，包括歐拉、拉格朗日和龐加萊在內的著名數學家都研究過。如果把這些運動方程都羅列出來一共有9個方程。現在已經知道，三體問題不能精確求解，即無法預測所有三體問題的數學情景，只有幾種特殊情況已有研究結果。但即使是用數值解法，也不能得到穩定的解，因為初始值的一點波動都會導致解完全不同。龐加萊率先考慮了一個特殊的情況：在三個天體中有一個的質量與其他兩個相比如此之小到了可以忽略其對另兩個大天體運動的影響。這樣，兩個大的天體就可以看作是一個二體問題。而二體問題早在牛頓時代就已經圓滿解決了。也就是說，它們可以按照開普勒定律繞著它們的質量中心作穩定的橢圓運動。然後把小天體加入到這個二體系統中，看這二體對小天體的影響。這樣的三體問題稱作是限制性三體問題。其方程從9個減少到3個。

圖5. 地球和月球在一個平面上

NASA要研究的正是一個限制性三體問題，因為NASA關注的是在1960年代末的登月問題。而前人還沒有找到一條讓人造衛星飛向月球的路線。所以阿仁斯道夫所面對的三體就是[4]：地球（E）、月球（M）和人造衛星（P）。顯然，地球的質量遠遠大於月球的質量。而人造衛星的質量對地球和月球運動的影響可以忽略不計。這三體都被看作是點質量，並且是在同一個平面上。於是這個平面就可以被看作是一個複平面。假定這個三體系統的總重量為1，月球的質量為μ （ 0 < μ

其中複數x(t) = x1(t) +ix2(t)是人造衛星的位置向量。也就是說，阿仁斯道夫把問題簡化到了一個方程和一個復變數的問題。當μ = 0時，這個方程的解描述的是經典開普勒運動：x(t) = e-itz(t)，這裡複函數z(t) 是方程z』』(t) = -z(t)|z(t)|-3的一個特解。在一定條件下，這個解是一個周期解，即沿著一條橢圓軌道做周期運動。當μ在零點附近做小的擾動時，出現兩種情況：一個是龐加萊發現的圓周運動，另一個就是阿仁斯道夫得到的解。假定橢圓軌道的半長軸為a，離心率為ε，在t = 0時，z(t) = a?(1 + ε)，z(t) = ic*/ z(0)，其中常數c*滿足c*2= a?(1 –ε2)。它的軌道周期為T= 2π|a3/2|。這時，相應的x(t)成為周期函數的充分必要條件是T與2π可共度，也就是說存在兩個互素的整數m和k使得a3/2= m/k。阿仁斯道夫的解就是圍繞不同的m和k得到的。所以，他得到的是一組解。

在阿仁斯道夫的結果基礎上，他們團隊用當時最先進的計算機對這些解進行了數值計算。下面兩個圖是其中兩個例子。

圖6. m = 1, k = 2, μ = 1/82

圖7. m = 2, k = 5, μ = 1/82

在這族曲線中有一個八字形的曲線（不在本文中），其兩個瓣分別包含地球和月球。這就是NASA選用的阿波羅飛船飛向月球的軌道的基礎。理論上講，沿著這條軌道，飛船可以在不開動發動機的條件下在這條軌道上永遠飛行。而且阿仁斯道夫通過計算得到了一條特別低的軌道。所以NASA需要做的就是，用「土星5號」大推力火箭把飛船送入地球軌道，然後進入這條地月之間的軌道飛向月球。在到達月球上空時再脫離這條地月軌道進入月球軌道。如果出現意外，飛船可以不插入月球軌道而直接在這條地月軌道上返回。「阿波羅」8號、10號和11號都做好了失敗的第二手準備，不過都沒有用上。在「阿波羅」13號發生氧氣罐爆炸事件後，NASA就是用的阿仁斯道夫設計的緊急返回軌道。阿仁斯道夫還設想把這條軌道作為「太空公交車」（space bus）的路線。後來這條軌道被人們稱為「阿仁斯道夫軌道」。NASA在1966年授予他「特別成就獎」（Exceptional Achievement Medal）。《尼古拉·布爾巴基眼中的純數學》（A Panorama of Pure Mathematics as Seen by Nicolas Bourbaki）一書中兩次引用了他的結果。從此他的名字永遠地留在了載人航天的史話中。

圖8. 1969年「阿波羅」11號飛船的軌道

圖9. 1968年，NASA授予阿仁斯道夫「特別成就獎」

阿仁斯道夫在三體問題上繼續研究。1968年，他證明了，在旋轉坐標系下，將二體中的一個天體分為一對密近雙星，總質量和質心不變，通過延拓雙星間的距離，兩個密近雙星圍繞其質心作橢圓型周期運動情形的存在。

圖10. 在范德堡大學當教授時的阿仁斯道夫

在阿姆斯特朗和奧爾德林乘「阿波羅」11號飛船於1969年在月球上成功登陸之後，阿仁斯道夫知道已經完成了自己的任務。現在該是他繼續追求自己的數學研究的時候了。帶著自己在NASA取得的成果，他果斷辭職，加盟范德堡大學，轉身成了大學數學教授。在范德堡大學，他除了繼續三體問題的研究外，他還重新撿起了自己的老本行：解析數論。在三體問題方面[5]，1977年，他和學生羅伯特·波茲曼（Robert Bozeman）一起證明了對限制型N + 1問題，N個大天體構成N體共線中心構形並圍繞其質心作圓運動，圍繞其中任一個大天體的橢圓軌道的存在，小參數是無攝開普勒軌道周期與大天體運動周期比的三分之一次方。1978年，阿仁斯道夫在自己1968年的結果和他與波茲曼的結果基礎上，證明將N 體共線中心構形中任一個大天體分為小質量比的一對密近雙星，該系統仍有周期解存在。在數論方面，他似乎沒有太大的成績。比較有代表性的有他在1957年發表的博士論文（發表在著名的「數學與應用數學雜誌」上）和兩篇他到范德堡大學之後的論文：「Theta 函數的部分分式展開」（1972，報告71-7，NRL報告7341.海軍研究實驗室）和「用模形式研究三維球體上整點的均勻分布」（1979，數論雜誌）。從引用率看影響都低。他大概一直像張益唐一樣，在潛心研究孿生素數猜想。因為有人問他在取得博士學位後為什麼長期不發（數學）論文，他確實解釋過，他不想發沒有意義的文章。不過他的境況比張好多了。有了在NASA取得的成就，他可以安穩地坐在范德堡大學教授的椅子上研究天體力學和數學，還在這兩個領域裡帶出了數名博士。他能傳承西格爾的風格，在天體力學和解析數論這兩個領域保持研究，這樣的人在當今已不多見。

2004年5月26日，阿仁斯道夫在arXiv.org上發表了一篇38頁長的論文「有無窮多孿生素數」（There Are Infinitely Many Prime Twins）。這個消息當時曾經引起轟動，但一周後他就突然宣布他的證明存在一個致命的錯誤，並將他的論文撤下來。在他這次嘗試失敗之後，有一名過去的學生回憶這位複分析課的老師說：他的作業記分系統有四種分數：R（「正確」），R/2（「半正確」），O（「零」），F（「失敗」）。也就是說，零分不算是最差的。每周作業有三至四題，都要花費整個一周的時間去完成；期末考試有10道題。這名學生很高興自己得了一個「B+」。看來這位教授很不容易對付。但學生最後說：「被阿仁斯道夫過高的估計是我的榮譽。」「我其實欣賞作為一個數學家和一個人的他。我很遺憾他的孿生素數的證明沒有成功。」另一位聽過他的課的學者認為，他的證明是「只差一點點」（near miss），因為他的證明雖然沒有證明出孿生素數猜想，仍然是對數學的一個貢獻；從長遠意義上說，一個只差一點點的大的猜想的證明比一個不重要的定理的成功證明可能更有意義。

在突擊孿生素數猜想失敗後，阿仁斯道夫非常失落。雖然這時他已經是榮休教授，但他還在系裡做一些事情。他決定完全退下來，回家與妻子安度晚年。他們夫妻在德國最困難的時候結婚，二人自始至終相愛如初。他們共同養育了三個兒子[6]：大兒子Gerhard 在德國出生，曾經代表美國參加過國際奧數比賽並獲得銀牌（1974），但就在這一年，他在一次意外事件中他從自家後院的樹上摔了下來，傷重而死，死時才18歲。二兒子Norbert本來是一位很有希望的計算機科學家，但不幸得了淋巴癌而英年早逝，年僅34歲（1996）。目睹了兩位哥哥的死亡後，三兒子Hartwig精神上受到了刺激，本來就內向的他更加深居簡出。後來他竟然辭去了基因工程研究員的工作，斷絕了與家庭的來往，獨自搬到加州沙漠地帶。這對阿仁斯道夫夫婦，特別是對作為母親的雷娜特造成了巨大的精神打擊。2011年，雷娜特被發現得了乳腺癌。在與癌症搏鬥兩年後，她先他而去。2014年9月18日，阿仁斯道夫心臟衰竭，在自家去世[7]。一位經受了多重打擊的老人就這樣靜悄悄地離開了我們，但是他為人類首次登月做出的貢獻值得每一個人驕傲，他走過的一生道路給了我們另一個思考。

鳴謝：衷心感謝Wolfgang Harms先生和Deb Stone女士的幫助，特別感謝Harms先生提供的照片。衷心感謝樣同海教授提出寶貴意見。

注釋：

[1] Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Arenstorf.

[2] Wikipedia, https://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Rohrbach.

[3] R. Schulz-Arenstorff, über die zweidimensionale Verteilung der Primzahlen reell-quadratischer Zahlk?rper in Restklassen, J. Reine Angew. Math. 198 (1957), 204–220.

[4] R. Arenstorf, Periodic solutions of the restricted three-body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptic motions. Amer. J. Math. 85 (1963) 27–35.

[5]徐興波, 空間橢圓型限制性三體問題的一類對稱周期解, 中國科學院紫金山天文台碩士學位學位論文.

[6] Deb Stone, FEATURE: Find Me: Hartwig Paul Josef Arenstorf, http://thelifesentence.net/book/find-me-hartwig-paul-josef-arenstorf.

[7] Obituary: Richard F. Arenstorf, Celestial Mathematician, Vanderbilt Magazine.

本文已發表在《數學文化》雜誌第7卷第2期以及筆者與王淑紅教授合著的《數學都知道》叢書第3冊上，原標題為《阿波羅登月中的功臣數學家阿仁斯道夫》。

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