天王老子我不服，憑啥不讓我取區間端點值？

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看過電視劇《笑傲江湖》的人都知道，「天王老子」是金庸筆下的向問天。

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向問天何許人也？

任我行在台上的時候，他是光明右使。

東方不敗在台上的時候，他還是光明右使。

任盈盈上台的時候，他終於不再當光明右使了，而這一換，換的直接是教主。

如何評價向問天這個英雄人物呢？

我們聽聽兩位武俠小說作家前輩的評價：

倪匡的評價：「膽色過人，在東方不敗勢焰熏天之際，面對魔教和正派人物的追殺，毫不畏懼，一心一意，只想將任我行救出來，是天下好漢的榜樣。」

溫瑞安的評價：「新版本中金庸已把許多向問天的精彩豪邁之處刪去，舊版向問天是為一個素不相識的少年而作第一次逃亡，正如令狐沖為一個素不相識的人拋頭顱灑熱血在所不惜一樣，是何等的血性義烈、肝膽相照……我與倪匡都認為這一段實在千萬不能刪的，刪掉此節會削弱向問天這個人物的完整性。」

瞧見了嗎？

貼在人家這位自稱「天王老子」人物身上的標籤是：「英雄、有膽識、豪邁」這些字眼！

你還真別不信，再給你來2句人家向問天自己說的話，你進一步感受下：

「像峨嵋派松紋道人這等小角色，你哥哥可還真不屑騙他，要騙人，就得揀件大事，騙得驚天動地天下皆知」。

（不得不說，這騙人的志向可真遠大啊）

向問天鑒貌辨色，猜到了他（令狐沖）心意，笑道：「兄弟，教主脫困之後，有許多大事要辦，可不能讓對頭得知，只好委屈你在西湖底下多住幾天，咱們今日便是救你來啦。好在你因禍得福，練成了不世神功，總算有了補償。哈哈哈，做哥哥的給你賠不是了。」說著在三人酒杯中都斟滿了酒，自己一口喝乾。

（呦呦，向大哥，你這話說的可真輕鬆啊，你可別忘了，當初可是你忽悠令狐沖說世上有人能救得了他的病，然後才帶他來西湖梅庄的，我看你治令狐沖病是假，救任我行才是真吧，要不是男主角令狐沖自帶光環，恐怕他至今還被關押在西湖牢底...）

細思極恐...

關於向問天這個人物，今天就暫且聊到這裡，以後有機會寶刀君再和大家繼續展開講哈。

2

積分第一中值定理中的kesei

今天的文章源自於知乎上回答某學生的疑問，是關於積分第一中值定理kesei的問題，學生自己將疑問寫在了紙上（求知慾很濃啊，我都不好意思不回答），如下所示：

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為什麼kesei與n有關？

有些學生可能忘了積分第一中值定理，我先貼張圖：

那為什麼kesei與n有關啊？

我舉兩個例子，比如說 下面這道例題1：

上面的解法是正確還是錯誤呢？

我們來一起分析下：積分第一中值定理中的kesei是依賴於被積函數和積分限的，因為當被積函數和積分上下限變化時，定理中的kesei值都有可能改變。

如果n改變了，那麼被積函數就改變了，從而kesei將可能改變，kesei依賴於n。

事實上，由積分中值定理只知道滿足定理的kesei一定存在，其值介於0與1之間，但是kesei具體在什麼位置是不清楚的，如果kesei的取值導致出現了未定式，那麼上面這道題的結果就不一定為0，即：

（我的耳邊好像傳來了kesei的吶喊：老子不福氣，按定理我是可以取得到端點值的，憑啥不讓我取！！！）

再比如這個例2：

這種解法也是錯誤的，道理同例1，只不過不同的是：此時你不能完全確定kesei取不到1，如果kesei值取為1，那麼這題就變成1的無窮型未定式了，所以這種解法不嚴謹啊。

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對於kesei的理解

對於kesei，你只要明白到這個程度即可：

kesei對區間[a,b]有依賴性，a和b移動時，kesei值也是會變的，而且本身a和b中就可以取變數x，因此kesei不是一個常數，它是會變的。

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知乎上這道題怎麼破？

由上面的描述可知，這個題不能直接用積分中值定理，得考慮用推廣的積分中值定理（積分第一中值定理）or夾逼準則來解決。

用積分第一中值定理來做：

需要注意的一個小小細節是：積分號和極限號通常情況下不能交換次序，因此得先用積分中值定理先去掉積分號，然後再取極限。

或者這道題你直接使用夾逼準則來求解：

很明顯，用夾逼定理比較更方便一些，一個不等式再兩邊夾個逼就求出來了。

對了，上面那個例2，也可以用這兩種方法解決，寶刀君將兩種解法寫在一塊，即：

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總結

綜上所述，遇到這種需要討論的、自帶bug的、隱藏陷阱的、被積函數本身就是這種稍微帶有界性質的（有界就意味著可以使用不等式來估值）求積分，推薦使用夾逼定理來做，構造一個不等式，然後兩邊再夾個逼取極限就得出結果了，相對來說比較方便些。

對了，最後給大家附上笑傲江湖中的經典片段--涼亭之戰，我個人最喜歡呂頌賢這個版本的，因為只有他才真正演出了令狐沖的那種豪放不羈的個性！

END

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