和數學家一樣思考的10種方法

如涉版權請及時聯繫編輯

鳴謝

1

質疑一切

在我看來，數學的真正美妙的地方之一在於它可以被檢驗；你不必把任何人的話當做聖經。如果有人給你說一些事情是真的，那你可以讓他證明；最好是，如果你真的想同數學家一樣思考，那你可以嘗試主動證明它。不要等著有人拿勺子喂你；

對於一些人的話，你的反應應該是懷疑，並且試圖去找到一個反例；即便是真的，這種對你的鍛煉也是有益的，同時也能幫助我們對事情的判斷力；（注意，在真實生活場景中過度這麼做可能會失去朋友—— 一直挑別人的刺，誰都會不爽）

某報紙的一份來信說時間旅行從邏輯上是不可能的，因為如果時間旅行是可能的，那我們是會看到很多來自未來的人。我有一些想法來反駁這個邏輯：或許時間旅行只允許我們穿越到過去某點時間（比人類歷史還要長）；或許時間旅行者不允許和我們交流；或許時間旅行有一個範圍，能穿越的時間不超過一年，而時間旅行在數年後才出現（並且時間旅行的機器不能穿越）。

2

寫下來

寫下來？你可能會問，這跟和數學家一樣思考有個啥關係。是這樣的，語言是由一些論據構建的。高水平數學家的論據都是證明的形式（不僅僅是給出正確的數字答案）

學生通常看不到寫下來的需要；他們常常說：』我來大學不是來寫作文的』，』我已經知道正確答案了』，』你懂的』。他們的作業都是一些沒有關係的符號堆砌但依然可以獲取高分。但是，如果你想去理解數學並且思路清晰，通過寫的練習可以迫使你對自己的觀點想的更清楚。如果你不能正確的描述，那麼很可能你並不是真正理解了你要表達什麼。這是一個可以學習和發展自己技術的很好機會。其實寫的一手好文章在任何領域都是很有用的技術。

彩蛋：一個提高自己數學寫作和思考的方式是學會恰當的使用隱含符號 =》

3

試試逆？

語句A=>B是數學的核心，我們可以表述為如果A是真的，那麼B就是真的；

A=>B的逆就是B=>A，例如：」如果我是丘吉爾，那我是英國人」的逆是」如果我是英國人，那麼我是丘吉爾」；

這個簡單的例子說明了，即便是一個語句是真的，那麼其逆可能非真；可能真也可能非真，說之前要搞清楚；

一個好的數學家，當提出一個A隱含B的語句時，通常會思考」其逆為真么？」，把這個問題印到腦子裡，作為你和數學打交道的工具；然後，其逆是否為真並不是很重要，關鍵是磨練數學的能力；

說個題外話，通常人們會犯一個大錯誤，就是當A=>B時，認為如果A非真的，那麼B也非真的；這是不對的，這個語句只是在說當A為真是會發生什麼，並沒有說A非真時的情況。現在可以像一個數學家一樣思考一下，給一個例子。

4

試著互逆

一條語句』A => B』 的互逆是 『not B => not A』；

例如：

1）『如果我是丘吉爾，那麼我就是英國人』的互逆就是『如果我不是英國人，那麼我就不是丘吉爾』

2） 『如果我不是美國人，那麼我就不是德克薩斯人』的互逆就是『如果我是德克薩斯人，那麼我就是美國人』

3） 『x^2 – 4x – 5 = 0 => x >= -2』的互逆就是『x x^2-4x-5 != 0』

A=>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致！也就是說，如果A=>B是真的，那麼not A => not B就是真的，反之亦然。可以驗證一下上面的例子。一開始可能很難在腦子裡形成固有概念 – 其實大多數人都不相信；有一個著名的關於互逆的教育實驗，叫做Wason的選擇任務。可以看一看你是否能通過測試，只有不到10%的人通過了；

由於互逆經常用做證明，並且日常推理也經常搞錯，所以你應該掌握。

5

考慮極端情況

面對一個命題，要在少量極端的假設情況下看看；如果需要的參數為0或者1會怎樣？如果把需要的函數定義為f(x)=0會怎樣？數據集為空呢？如果需要的序列為1，1，1，1。。。呢？直線或者圓會有什麼結果？

這些例子可以幫我們更深刻的理解，意味著命題可以應用的場景；

考慮一個極端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般場景下是真的，但其實不然，比如Y=1，當X=1的條件下；

用一個極端的例子說明下列原理是錯誤的：

原理：假設a,b,c,d是正整數，如果ab=cd，a=c，那麼b=d；

想給出好的極端例子需要積累，因此需要平時注意收集，用到的時候信手捏來，有一個訓練方法，想像你正在酣睡，突然大半夜有人把你搖醒說：快！給我一個X的好例子，快！X可以是群組、向量、函數等數學對象；

6

構造自己的例子

真正的數學家創造自己的例子，不管是標準例子，極端例子還是非實例！讓我們看看工作示例（例如過程、演算法等）。

考慮到極大值和極小值在微積分中的標準。我們首先定義如何區別一個函數。然後將奇點定義為導數為零的點。其次，我們告訴我們奇點有3種類型：極大值、極小值和拐點。然後顯示函數的二階導數決定類型。在這些例子之後：這裡有一個函數，這裡是奇點的位置，這是奇點的類型。

學會方法後可以使用函數找到奇點類型，但如果我反過來問你，能否創建一個變數為x的函數f，函數的最大值和最小值分別為x=2和x=-6，這將是一個更加困難的考驗。但在嘗試這樣做時，你可以學到很多數學知識。

因此，拿到計算方法後，您應該將其反轉以創建新的問題。此外，如果你和你的朋友一起製造這些問題，那麼你可以交換他們（交換的是問題，而不是朋友），並從中得到更多的實踐。你也可以設置一個競賽：看看誰能設置最難但還在解決範圍內的問題。

7

假設用在哪裡

學生們常對我說他們很難理解證明，這是正常的。因為證明的重點在於邏輯性和推導性，而不是提供洞察定理的陳述或它的證明是如何被發現的。普通學生在解題時面臨的問題往往是「不知從何處入手」。因此，理解證明是學習成為數學家最困難的部分之一。

《像數學家一樣思考》第18章的全部內容都是用各種方法來理解證明的，例如，把它分解成部分，把證據應用於一個例子。我們只考慮下面的技巧。

每個定理都有假設。例如，畢達哥拉斯定理假設我們有一個直角三角形。這些假設是證明的必要條件或背景。因此，可以從假設入手，積極尋找公式定理的應用方向，你將開始了解數學證明。

有些假設可能是隱藏的。例如，證明中往往會有「根據定理5.7，我們可以看到……」的字樣，這說明定理5.7是我們需要的假設之一。（順便說一下，如果一個定理在不同的證據中一次又一次地被使用，它一定是非常重要的，並且有潛力被用在你的證明中，所以要學好它。）

通過尋找假設，你將開始數學證明之旅，並將清晰地看到它是推導的過程以及構造，作為無償的獎勵，你也會加深對證明的理解。

8

從複雜的一邊開始

從複雜的一面開始，這是我能夠給出的，證明等式成立的最高秘訣。從更複雜的部分入手，通過替換來降低表達式另一端的難度。

9

問「如果有……那麼會怎樣」

好的數學家喜歡問：「假如我放棄這個假設會發生什麼？通過思考這個問題，我們可以更好地理解為什麼一個結果是正確的，或者為什麼定義是這樣的。有時我們可以通過弱化假設來創造一個新的定理！

10

交流！

點擊展開全文

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！