數學之幾何圖「心」系列·雜談

19920170629作品《數學之幾何圖「心」系列 · 雜談》

（秦中朱校華原創）

三角形有四「心」重心、外心、內心、垂心.

（一）垂心 —— 與垂直有關，與高相關，與直角搭架。

其中垂心三角形三邊上的高所在直線的交點，如今提的較少，幾乎被淹沒了！主要原因估計在於：

銳角三角形的三條高確實能交於一點，且該點又恰好落在三角形的內部，對於證明「四點共圓共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點一定在同一個圓上」有一點點作用，可能間接地使用直角三角形性質來證明兩角相等還有一丁點作用外，對於現行學段內幾乎沒有其餘用途；

直角三角形的三條高交於直角頂點，即直角頂點就是直角三角形的垂心；

鈍角三角形的三條高根本就不相交，只是三條高所在的直線能交於一點，這點落在了三角形的外部.

高是三角形中的重要線段之一。有句順口溜「見到垂直想到高，直角直徑想互余」千萬別遺忘，它是解決問題中尋找「解題思路」的法寶之一。

（二）重心 —— 與中線有關，與等分點相關，與中點搭架。

三角形的重心，是指三角形三條中線的交點.重心一定落在三角形的內部；

重心有個定理三角形的重心到頂點的距離等於到對邊中點距離的2倍（或者說：三角形的重心正好是各條中線的一個三等分點）.其證明過程完全可以採用「倍長中線法」將中線延長後，再藉助三角形全等判定與性質來搞定.

其實，任何物體均有重心，物理學上就有通過「吊線法」測定不均勻物體的重心的實驗，一般規則且均勻的物體，其重心很好找！比如矩形物體的重心就是矩形對角線的交點；圓形物體的重心就是圓心等.

任何一條中線可以將一個三角形面積等分。有一句解決問題的思路順口溜「見中點，想中線，別忘還有中位線」是解題的法寶之一，切記！

三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的一半（三角形中位線性質）.

這個定理與直角三角形兩個性質（直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半；30°角所對的直角邊等於斜邊的一半）定理俗稱「證明線段一半關係之三兄弟定理」，也要熟記之！

（三）外心 —— 與垂直平分線有關，與外接圓相關，可內可外。

三角形的外心，是指三角形三邊垂直平分線的交點.

外心可在三角形內部、邊上及外部，銳角三角形的外心在三角形內部，直角三角形的外心就是斜邊的中點，鈍角三角形的外心落在三角形的外部（不妨自我畫個圖形即明！）.

三角形的外心，原始的定義是：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.

說明想要將三角形的三個頂點用一條封閉曲線（圓）接起來，就必須尋找到某個點，到三個頂點的距離相等，這個點就是圓心；

這個點就必須落在三角形各邊垂直平分線上，恰好任何三角形三條邊垂直平分線均交於一點，此點即為所尋找的點.

顯然，這裡用到了線段垂直平分線的性質：

線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等；

與線段兩個端點距離相等的點一定在線段垂直平分線上。

三角形的外心，具有性質外心到三角形各頂點的距離相等.這個距離也正好是三角形外接圓的半徑.假如遇上直角三角形的話，此半徑其實就是斜邊的一半長.例如【經典中考題1】：

兩邊長分別為3與4的直角三角形中，其外接圓的面積是.

（四）內心 —— 與角平分線有關，與內切圓相關，一定在三角形內部。

三角形的內心，是指三角形三條角平分線的交點.

原始定義也說成是三角形內切圓的圓心.

三角形的內心，名副其實落在三角形的內部.內心的性質是：內心到三角形三邊的距離相等.也存有這樣的說法：三角形的內心與三角形頂點的連線必平分三角形的內角.

三角形的內心到邊的距離也就是三角形內切圓的半徑.對於一般三角形來說，三角形的面積等於內切圓半徑乘以三角形的半周長；對於直角三角形來說，直角三角形內切圓的半徑等於兩直角邊長的和減去斜邊長的差的一半.（這完全可以藉助於切線長定理來解決得了！）再看一道【經典中考題2】：

兩直角邊長分別為3與4 的直角三角形中，內切圓的周長是.

（五）四心合一：同心同德者，正三角形也！

什麼樣的三角形能「四心合一」呢？我們知道：等腰三角形有「三線合一」特性！猜想：會不會是等邊三角形的「四心合一」呢？回答是肯定的.

等邊三角形也就是正三角形.是正多邊形中最簡單的圖形.因此，等邊三角形也被稱為最美三角形，一點也不假！

等邊三角形每個角均等於60°是一種隱含條件之一，在已知「等邊三角形」條件的考題中，被用來大顯身手呀！例如：

【經典中考題3】：點C在線段AB上（不與A、B重合），分別以AC、BC為邊向AB同側作正三角形ACD與正三角形BCE，連接AE、BD，分別交CD、CE於點M、N,連MN.試猜想MCN是否是正三角形？請說明理由.

（六）聊一聊四邊形的那些「心」。

對於四邊形來說，當一個四邊形有外接圓和內切圓時（即既有內心又有外心），這個四邊形就叫做雙心四邊形.

正方形就是典型的雙心四邊形，此時正方形的中心是正方形對角線的交點，這個交點同時又是正方形的對稱中心.所以正方形也稱為完美的四邊形。

到底符合什麼樣條件的四邊形才是雙心四邊形呢？

有一種作雙心四邊形的方法：

第一步，先作出一個⊙O，隨便作兩條互相垂直的弦AC、BD；

第二步，分別過點A、B、C、D作⊙O的切線兩倆相交於E、F、G、H.則四邊形EFGH就是雙心四邊形.

要清楚?中心?旋轉中心?對稱中心三大關於「心」方面的概念，別混淆！

總結：

數學幾何圖形「心」較多，垂心、重心、外心、內心、中心、旋轉中心、對稱中心、位似中心，還有旁心，心多但不要法亂，是學好數學的重中之重，必須腳踏實地一個個捋清為上！

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