彩票悖論與序言悖論的統一解

彩票悖論與序言悖論的統一解

頓新國

（南京大學哲學系 南京大學現代邏輯與邏輯應用研究所,南京210023）

摘要：彩票悖論和序言悖論都被學界廣泛認為是關於信念的悖論，但對它們的研究基本處於分立態勢。論文通過分別考察和分析這兩個悖論的形成過程，揭示了它們所具有的統一結構；對在這兩個悖論共同的邏輯結構中起關鍵作用的運算元變數作斷言解釋，從而斷言彙集是統一結構的最重要構成要素。論文進而分別給出了對相應斷言彙集作集合概念和非集合概念這兩種可能理解下的彩票悖論和序言悖論的統一解決方案，並對這種方案給予了強有力的哲學辯護。

關鍵詞：彩票悖論；序言悖論；同構；斷言規範

彩票悖論被國內外學界廣泛認為是一個關於信念合理可接受性這一根本問題的悖論，從而在認識論、邏輯哲學和科學哲學等領域激發熱烈而持久的討論。同一時期被發現的序言悖論也被看作是信念的合理性悖論，也得到了學界的廣泛討論。這兩個悖論分別從量化的角度和定性的角度向我們展示，合理相信一個命題與對該命題的信念度之間關係的本性還遠未解決。關於這兩者之間關係的一種高度符合直觀的觀點是：相信一個命題是合理的，當且僅當，對該命題有足夠高的置信度。這就是弗雷所說的「洛克論點」。〔1〕儘管對這兩個悖論的討論和研究通常是獨立進行的，目前似乎有對這兩者進行對比或統一研究的趨勢。〔2〕241-264〔3〕但無論是對這兩者的獨立研究還是統一研究都是在信念視角下進行的。本文擬從分析和論證構成這兩個悖論的案例具有同樣的邏輯結構著手，從斷言視角統一地考察這兩個悖論，指出它們是斷言悖論，進而嘗試從語用的言語行動視角對它們給出一個統一的解決方案。

一、彩票悖論與序言悖論

彩票悖論最早由凱伯格（Henry E. Kyburg）在1961年發現，後又在1970年的《合取主義》這篇論文中詳加闡述。〔4〕56根據該論文，彩票悖論大致如下：考慮一次有一百萬張獎券的抽獎活動。其中有且只有一張彩票會中獎。考慮假說「第7張彩票不會中獎」。根據假設，這是一次公平的抽獎活動，這個假說只有一百萬分之一的機會是假的。這是接受這一假說的充足理由。根據同樣的論證，有理由接受假說「第i張彩票不會中獎」。根據合取原則，我們可以得到合取式：「第1張彩票不會中獎」並且「第2張彩票不會中獎」並且……。最後，可以合理接受一個形如下述的合取式：對任意的1≤i≤1000000，第i張彩票不會中獎。但根據這次公平抽獎活動規則有：對某個1≤i≤1000000，第i張彩票會中獎。根據合取原則，信念集S中必定既包含前面那個全稱量化命題又包括後面這個存在量化命題。但它們的合取顯然是一個矛盾式，即有某張彩票i既會中獎又不會中獎。這就是廣為人知的彩票悖論。凱伯格認為得出這一矛盾顯然違背了弱一致性原則，於是，「我得出結論，弱演繹原則和弱一致性原則值得堅持，從而應該拋棄合取原則。」〔4〕56

幾乎在凱伯格發現彩票悖論的同一時期，麥金森（D. C. Makinson）於1965年發現了序言悖論。序言悖論大致如下。學術著作的作者通常會在序言中對該著作學術觀點有幫助的人表達謝忱，同時還表達一切不良後果均由他本人承擔。譬如他會說，感謝某某對本書提出的寶貴建議和批評，本書不可避免存在一些錯誤與不足，但這些均完全由作者本人負責等。假設作者在書的正文中作下大量陳述，稱之為s1，s2，……，sn。對其中任意一個陳述，作者本人都相信它是真的。但根據他以前發表論文或出版著作的經驗，他也有理由相信他著作中有陳述是假的，即相信在s1，s2，……，sn中至少存在某個si是假的。即正如他在序言中所寫的那樣，書中不可避免地存在錯誤，因此他相信並非他在本書正文中所作的陳述事實上都是真的，即相信 ~(s1∧s2∧……∧sn)為真。於是，作者既相信(s1∧s2∧……∧sn)又相信~(s1∧s2∧……∧sn)。麥金森將這一境況稱為序言悖論。〔5〕

這兩個一經發現即得到學界廣泛關注，認識論家、邏輯學家和科學哲學家都加入對它們的深入討論。這可能是因為這兩個悖論所揭示的問題是關乎人類理性和認知的根本性問題。例如，我們是否以及何時才能合理地相信一個尚未得到證實的（定性的或高概率的）經驗命題？信念和真以及知識的關係究竟是什麼？如何才能保證認知主體有一個融貫的信念系統？

二、彩票悖論與序言悖論的同構性

儘管彩票悖論和序言悖論被發現的時間相近，它們所關乎的問題都是人類理性和認知的根本性問題，但學界對它們的研究卻以分立的方式佔主導。這主要體現在發表的大量文獻大都只關注某個悖論，旨在分析某個悖論的形成及提出其解決方案，而不關注它們是否有共同的成因，是否可能構造一個統一的解決方案。並且，學界對這兩個悖論聚焦度有較大差異，研究者們更多地將焦點放在對彩票悖論的研究上。這一點可從發表文獻的數量窺見一斑。

例如，對彩票悖論的研究大致可以分為三大路徑。一條路徑是修改合取原則，這以凱伯格為代表〔4〕56-78；一條路徑是拋棄作為高概率接受規則的洛克論點，而代之以認知效用規則，這一路徑以萊維為代表〔6〕；第三條路徑是對洛克論點進行限制，其主要策略是將待決信念放在一個信念集中進行考察，給出能進入該信念集所必須滿足的條件。〔7〕〔8〕〔9〕這一路徑的解決方案最多，它們所施加的限制條件的類型和嚴格程度均各不一樣，有的屬於情境遲鈍型，而有的屬於情境敏感性的。正因學界對彩票悖論的討論更為熱烈，本人曾對彩票悖論的研究進行較為詳細的梳理，考察了各代表性方案的成就得失，以及同一路徑各方案之間、各路徑方案之間的邏輯與歷史關聯。〔10〕在此不再贅述。

鮮少對彩票悖論和序言悖論進行統一研究的主要原因可能是學界對這兩者是否邏輯同構有分歧，主導觀點是它們不具有同構性。比如弗雷（Richard Foley）說，「儘管彩票案例和序言案例表面上相似，但它們……是非常不同的。」〔11〕儘管豪森（James Hawthorne）認為「作為悖論，彩票悖論和序言悖論顯然極為類似……它們一起說明了定性的信念概念和量化的信念概念之間的關係的互補性。」〔2〕244但他沒有明確表示更不用說論證這兩個悖論同構。我下面將要論證這一點。

彩票悖論和序言悖論不同的印象極可能來自前者是關於概率性命題的而後者則不是。但這兩者實際是可以相互轉化的。一方面，在彩票悖論的研究實踐中，討論的通常是「第i張彩票不會中獎」這樣的定性命題，而不是「第i張彩票99.9999%不會中獎」這樣的量化的概率性命題，或者說這兒有一個從量化到定性的轉變。另一方面，序言悖論中的語句也可合理地以量化的方式出現：作者並非對其著作中所有陳述都十分確定，其中不十分確定的陳述就可以高概率命題的形式出現。另外，即便有人不承認這種相互可轉化性，但他也不能否認概率性命題和非概率性命題在相關悖論性場景中的互補性。這個悖論性場景是：在同一背景知識下，相信單個命題都是合理的，但相信所有這些命題的合取會導致悖論。這種悖論場景的相似性及互補性恰好在一定程度上佐證了這兩個悖論的同構性。

除此之外，這兩個悖論還在其他方面相似。首先，這兩個悖論中的相關陳述都有很強的證據。在彩票悖論中，某張彩票不會中獎的強有力證據是它中獎的概率非常低，從而它不會中獎的概率非常高；在序言悖論中，作者對其在學術著作中所作的陳述顯然具有很高的信念度，這種高信念度顯然是基於相應的強有力證據。

其次，在這兩個案例中，相應陳述集中都有虛假陳述，陳述數量有限且不知道哪一個陳述是虛假的。在彩票案例中，相關的陳述集是由「第i張彩票不會中獎」這種形式的陳述構成；而在序言案例中，陳述集由作者在正文中所作陳述構成。但在這兩個案例中，都不知道具體是哪個陳述為假。

第三，在對彩票悖論和序言悖論的研究實踐中，通常都是在合理相信視角下進行的。無論這種視角是否是唯一正確的視角，至少從這個視角看，這兩個悖論是關於陳述或命題之合理相信的。這一相似之處暗示，即便它們不是關於合理信念的，至少也是關於命題之同一個方面的，比如說，都是關於命題之接受、命題之斷定等。

還可以找出其他一些相似之處。例如，在這兩個案例中都有一個關於相應陳述集中之陳述的總體性斷言，並且這種關於陳述集中元素的「總體性」斷言是否定性的。在彩票案例中，作為背景知識的抽獎規則斷言有一張會中獎，而相應陳述集中的陳述的形式是「第i張彩票不會中獎」，這一規則就相當於斷言「並非（關於這些彩票的）陳述都是真的」；在序言案例中，作者在序言中斷言書中不可避免地存在錯誤，亦即斷言「並非（正文中的）陳述都是真的」。毫無疑問，這兩個總體性陳述都蘊涵相應陳述彙集中存在虛假陳述。這一關於陳述彙集的「總體性」陳述目前尚未得到研究者們的注意。但在筆者看來，這一相似之處很重要，它可能提示一種新穎的解決方案。

上述相似之處向我們展現：彩票案例和序言案例都是關於原子陳述的同一方面；在構成方面，這些陳述由兩類構成，一類是有限的單稱陳述，它們構成相應的陳述集，另一類是一個關於在該陳述集中存在虛假陳述的陳述。可以將這種統一結構表達如下：

(Φp1，Φp2，……，Φpn)並且Φ~pi。

在此，(Φp1，Φp2，……，Φpn)表示在兩個案例中分別所作的大量單稱陳述；Φpi中的Φ可以看作運算元，是對陳述「所關注」的那一個方面。根據研究者對這兩個案例的不同解讀視角，它可以是表達各種不同認知態度甚至其他維度的運算元，比如說知道運算元、相信運算元、斷定運算元等。

三、對作為斷言悖論的彩票悖論和序言悖論的消解

對上述統一結構的解讀的關鍵在於對Φ的解讀，對Φ的不同解讀會產生不同版本或形式的彩票悖論和序言悖論。對Φ的知道運算元解讀太強，明顯與這兩個案例的原意不符。例如，開獎前我們並不知道一百萬張彩票中的任意一張是否會中獎；作者在著作中所作的陳述並不都是其知識，有的只是其推斷。因此，本文將不討論這兩個悖論的知識（知道）版本。因篇幅限制，以及筆者曾在他文中論證過信念視角下的彩票悖論不是嚴格意義的悖論，本文將目前國內外學界佔主導地位的相信運算元Φ解讀留待以後專文討論，而在本節僅討論對Φ作斷言（assertion）理解的彩票悖論與序言悖論。

斷言（asserting）是一種言語行動，我們通過下斷言來表達和交流知識。我們在說出或寫下某個陳述時就是在下斷言，斷言是作為內在狀態的判斷的外在表現，正如威廉姆森所說：「確實，斷言是判斷的外在類似物。」〔12〕因此，根據這種廣為持有的觀點，在說出「這張彩票沒有中獎」（p1）或在學術專著中寫下「歸納悖論是一個認識論悖論家族」（p2）時，我們在對它們下斷言，即斷定p1和 p2。這就是說，在將Φp中的Φ解讀為斷言運算元時，它就坍塌為p而不必是Ap。於是，彩票悖論和序言悖論展現的共同邏輯結構為：斷言彙集A(p1，p2，……，pn)，並且pi。其中 pi是彙集A的元素。

顯然，斷言版本的彩票悖論與序言悖論之解決的關鍵是對斷言彙集A的理解，而這又本質地涉及對斷言這種言語行動本身之特性的理解。

1.將斷言彙集看作非集合概念

如果認為斷言是一種無情境性的、非語用的言語行動，我們就可以將「正文中所作斷言」和「這次抽獎活動的彩票」看作非集合概念，從而對彙集中的斷言作單個的、分立理解，對它們進行合取運算。此時，這一斷言彙集等值於(p1∧p2∧…∧pi∧…∧pn)。於是有pi∧~pi。這樣就得出了矛盾，從而可以構造較為嚴格的斷言形式的彩票悖論和序言悖論。

消解這種理解下的斷言悖論在技術上很簡單，焦點在於斷言者是否有認識論上的權威斷言每個相應陳述。如果斷言者沒有這樣的權威，從而~(p1∧p2∧…∧pi∧…∧pn)，於是不能必然地得到~pi，悖論就得到消解。而斷言者是否有此權威由斷言的規範（norms）決定。在威廉姆森、德魯茲（K. DeRose）〔13〕、豪森〔14〕和塔雷（J. Turri）〔15〕等看來，斷言的規範是斷言的構成性要素，所有斷言必須遵守的這一規範是知識，即僅當斷言者知道p（即p是其知識）時，才能斷定p。這一觀點是當前學界關於斷言規範的主導性觀點，但也有學者認為斷言的知識要求太強。例如，威勒（weiner）〔16〕認為只需p是真的就可斷言p；勒克（Lackey）〔17〕的要求更弱，認為只需主體合理地相信p他就可斷言p。本文將斷言的知識規範弱化為真。顯然，如果斷言的真規範能消解悖論，則斷言的知識規範也能消解這些悖論。

在彩票案例中，在開獎結果出來之前，「第i張彩票不會中獎」的真值並未被確定。也就是說，斷言「第i張彩票不會中獎」的人並不知道這張彩票是否真的會中獎。因此，根據斷言的真規範，他本來沒有認識論上的權威作這樣的斷言，他作這樣的斷言是一種虛妄。從而彩票悖論被消解。

同樣，在序言案例中，作者在其正文中所作的陳述，從而在其正文中所作的斷言，並非都事實上是真的，有些斷言只是其主觀推斷。這一點是顯然的。例如，本人在《歸納悖論研究》中斷言「歸納悖論是一個知識論悖論家族。」但這一命題只是我通過研究對歸納悖論的本性所作的推斷，其真尚未被確立，因此可能是錯的。對於這類命題，作者本應「謙虛地」以「我相信p」而不是「p」這種形式來表達。這樣，作者書中的某些斷言並不是「合乎規範的」，或者說作者在認識論上本來無權對它們中的每個都作斷定，但作者實際這樣做了，從而違反了斷言的真規範。於是，序言悖論被消解。

另一方面，在日常實踐中，通常認為斷言者確實在認識論上有權斷定這兩個案例中的大多數相關陳述，這種情況可以通過對相關彙集作集合概念理解來解釋。

2.將斷言彙集看作集合概念

如第二部分所言，關於彩票案例和序言案例的一個共同的基本事實是，它們中的大多數陳述事實上是真的，只是不能具體確定究竟哪個（些）為假。如果斷言是一種語用的言語行動，具有情境敏感性，就可將「正文中的陳述」看作一個集合概念，從而可以與這一共同的基本事實一致。

斷言的情境敏感性在序言案例中表現得非常明顯：作者在正文中所作的一系列陳述是關於多個話題的，從而處在不同的情境中。在斷言某個pi時，他很可能根本沒想到關於另外某個話題的pk，他在下這兩個斷言時處於不同的思想「情境」。在序言中對正文所下斷言進行評價時，他又處於另外一種不同的思想情境。顯然此時他大腦中不可能一次性或依次浮現正文中所有斷言，而是把它們當作一個整體來看待，呈現的僅是代表斷言整體的「部分」。正是在這一情境中，「正文中所作斷言」變成了一個集合概念而不是分立討論情境中的非集合概念。呈現在大腦中代表整體的「部分」是指斷言彙集(p1，…pi，…，pn)中的任意m個元素。在此m是一個變數，是一個大於1小於n的自然數。此時在斷言者的大腦中，他在正文中所作斷言實際上是(p1∧p2∧…∧pi∧…∧pn)的弱化式，它是其中m個元素的合取。也就是說，他並不是斷言正文中所作陳述中的每一個，於是可以有假的陳述，從而可以與序言中關於存在虛假斷言的那個斷言一致，序言悖論得到了消解。

由於彩票案例與序言案例同構，同理可將本次抽獎活動中的「彩票」理解為集合概念。根據這種理解，彩票案例中被斷言者斷定的只是大多數彩票而非「所有」彩票，亦即斷言者並沒有斷定本次抽獎活動中的每一張彩票都不會中獎，從而不排除有彩票中獎的可能性，這與本次抽獎活動的規則是一致的。因此，彩票悖論被消解。

上述方案的關鍵在於對兩個案例中所作斷言的「弱化」，對這種處理的合理性簡要辯護如下。首先，這種弱化是通過對相關概念作集合概念理解達致的。依語境的不同，同一個語詞可以作集合概念和非集合概念，這一點已是學界共識。其次，這種處理在言語行動實踐中比比皆是。例如，在上級宣布他是某領導職位候選人時，被推選者通常會說「我的條件還不成熟」。此時他斷言的不是每個條件都不成熟，而只是謙虛、誠懇、真實地表達他有的條件還不成熟。其次，彩票悖論的發現者多次表達要拋棄信念的合取原則，認為從相信第1張彩票不會中獎、相信第2張彩票不會中獎、……、相信第n張彩票不會中獎，不能得出相信這n張彩票都不會中獎。這實際上正是對信念在上述意義上的弱化。再者，有學者在合理信念而非斷言框架下提出應對序言案例中正文所陳述的東西（信念）進行「統計弱化」，並給出了相應的弱化模式。〔18〕這一最近研究趨向以及該文所作的辯護也為本方案提供了強有力的間接辯護。

四、結語

儘管目前學界對彩票悖論和序言悖論的主導研究範式是合理信念範式，即在信念視角下分別解決它們，但這一視角可以統攝到本文所提出的言語行動路徑上的斷言視角。以彩票悖論為例，研究者認為「第i張彩票不會中獎」（其命題形式是pi）實際表達的是一個信念，即相信第i張彩票不會中獎，用符號表示為Bpi。因此，彩票悖論研究文獻中所說的信念集實際應是命題集，前者只是後者的一種簡略說法。根據斷言（assertion）的詞典定義，斷言可以是對事實也可以是對信念的肯定性宣告，因此後者可以看作從二階斷言{ΦBp1，ΦBp2，……ΦBpn}退化而來。在此?是斷言運算元，B是相信運算元。但由信念集與B~pi能否構成嚴格的悖論以及如何解決值得專文討論。由此可見，斷言與信念之間關係問題對令人信服地完滿解決這兩個悖論意義重大。另外，對斷言的認識論要求本質地影響這兩個悖論的解決，這一要求越強，在技術上消解悖論更簡單，但由此引發的哲學辯護更困難。因此，斷言的本性、規範問題以及它與信念之間的關係問題將是後續研究的主要問題。

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