腦補四維空間的樣子是什麼體驗？

科技 06-08

對於我們這樣生活在三維空間的三維物種來說，要想像四維空間的樣子是十分困難的。為了讓你的三維大腦對四維空間產生一些模糊的感受，一個好辦法就是讓一位生活在二維空間中的扁片人來到三維空間，體驗一下不同維度下的感受。我們不妨也從這個角度開始分析吧。

A先生是一位生活在二維空間中的扁片人。我們邀請他參與回答這個問題的目的是為了分析三維人進入四維空間後的體驗，所以我們假設A先生擁有和我們相似的能力。比如，雖然他的眼睛只能看見二維空間中的線條，但是他可以通過明暗、透視和雙眼視差等方法感受二維物體的形狀。這一切都由他的二維大腦完成。

當A先生觀察這個正方形的時候，他的雙眼看到的圖像是不一樣的。

他的大腦可以把兩個不同的圖像組合起來，試圖理解這個二維圖形的形狀。這個過程和三維人類大腦通過視網膜上的二維投影來理解三維世界是一樣的。現在，我們把A先生從二維空間中拎出來，放到三維空間中，並賦予他在三個維度上自由移動的能力。

雖然A先生來到了三維世界，但他仍然是一個二維的扁片人。他的一切生理結構，包括眼睛和大腦，都是為了適應二維世界而設計的。所以，他的眼睛還是只能看到點和線；他的大腦還是只能識別二維圖形。我們可以認為，A先生還是處於一個虛擬的二維空間中（下圖中的淺綠色平面），只不過這個二維空間可以跟著他在三維空間中移動。

現在，A先生面對一個長方體。他看到的實際上是這個長方體和虛擬的二維平面相交的部分，也就是一個長方形（上圖中的黃色圖形）。

如果A先生在第三維（z軸）上移動，他會發現那個長方形也跟著他移動，而且大小和形狀都不不變。如果A先生在三維空間中旋轉（以y軸為中心），他會發現面前的長方形大小不斷改變。這種情況無疑會使A先生和讀者們感到十分無趣，所以，我們給他一個複雜一點的場景。

這次，A先生來的一個立方體面前，並且讓他的虛擬二維平面和立方體的對角線EC（下圖中的綠色虛線）垂直。

然後，A先生沿著對角線EC移動。在移動過程中，虛擬二維平面會和立方體的頂點相交。這時平面切割立方體形成的圖形十分關鍵，它決定了在整個移動過程中，A先生會看到什麼圖形。

1. 首先，平面和E點相交。A先生會看到他的平面上出現一個點。然後，這個點擴展成一個三角形，並逐漸變大。

2. 當平面和頂點A、H、F相交時，A先生看到的圖形是三角形AHF。

3. 當平面和頂點B、D、G相交時，A先生看到的是倒立的三角形BDG。

4. 最後，平面和頂點C相交。A先生看到的圖形重新變成一個點。

5. 所以，在這4個瞬間，A先生看到的分別是以下4個圖形。

比如，A先生只能直接看到他的虛擬二維平面中的圖形。然而，來自第三維度的光線也會從不同的方向進入這個平面，甚至直接落在他的視網膜上。對於身在四維空間中的你也同樣如此。這些光繞過了晶狀體，無法成像，所以你會看到一些難以名狀光怪陸離的光影。另外，如果你真的得到了一張體驗四維空間的入場券，在啟程之前請一定要三思，因為這實際上是一張通向地獄的門票。我們還是請扁片人A先生來做一個演示吧。

而在這4個瞬間之間，圖形會平滑變形，比如，從點變成三角形，從正放的三角形變成倒立的三角形。在兩個三角形之間，過渡圖形是逐漸變化的六邊形。在上圖中，我們只是列出了平面月立方體頂點相交時產生的圖形。

閑話休提，書歸正傳，我們還是來看看你進入四維空間後，會看到什麼情景吧。和A先生一樣，雖然你進入了四維空間，但是你仍然是一個三維的人，無法看見四維物體。你也存在於一個虛擬的三維平面內，只能看見四維物體與這個平面相交形成的三維圖形。

註：這裡的「平面」是指比空間維度少一維的形狀。在三維空間中，平面是二維的。在四維空間中，平面是三維的。我們不妨牽強附會地把它叫做三維平面吧。要從上面的分析推導出四維空間的情形，我們需要一個簡單的工具：帕斯卡三角（帕斯卡三角形（三角形矩陣）_百度百科）。想必多數人對這個名字都不會陌生。

也許你想挑戰一下自己的空間想像能力，那麼不妨看看帕斯卡三角的第五行，想像一下五維的超立方體被四維平面切割會是什麼情景。

其實，這兩種情況還是有區別的。

當A先生在他的二維家鄉的時候，他所有的內臟都穩穩噹噹的安放在體內，沒有任何危險。當他來到三維空間時，他的內部結構在第三維上完全暴露在外了。如果你進入四維空間，相同的事情也會發生在你身上。沒有什麼東西能夠阻止你的內臟在第四維方向上掉出體外。由於內臟大多數是相互連接的，所以它們大概不會稀里嘩啦滾落一地。不過它們晃晃悠悠的掛在體外的時候，應該無法執行它們正常的功能了。不要去細想這是一幅什麼樣的場景。我看過的恐怖片也沒有一部達到這個血腥程度。如果一個四維的智慧生物看到這一幕，估計夠他做幾天噩夢。

這還不算完。你體內的液體也會迅速從第四維方向流出來。而剩餘的少量液體也會由於充分接觸空氣而很快蒸發掉。所以，你應該沒有時間去欣賞四維空間的奇妙景象了。如果古埃及人發現了四維空間的秘密，估計會把它當成快速製作木乃伊的捷徑。不過我們這樣的三維凡夫俗子還是老老實實地坐在家裡，期待有一天一個超立方體從眼前經過吧。

另外，其實四維空間並不如科幻小說中想像的那樣美好，很多三維空間的宏觀或者微觀結構在四維空間將變得不穩定，因為引力和電磁力會按立方反比衰減。所以，儘管不能完全想像四維空間的樣子，但是大概可以想像出四維宇宙的樣子——一鍋雜亂無章的基本粒子稀湯。

這個道理其實很簡單，大學多元微積分級別的知識就能理解，引力場和電磁場（靜電場）在三維空間中，按照高斯定理（矢量穿過任意閉合曲面的通量等於矢量的散度對閉合面所包圍的體積的積分），對於這兩個場有：穿過一封閉曲面的電通量/引力通量與該曲面包圍的電荷/質量成正比。或者換種說法也一樣，電場強度/引力場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷/質量成正比。

然後我們考慮一個以場源（點電荷、質點）為球心的球面，這樣的話場在封閉球面上的面積分就是場強與球面的面積的乘積，對於同一個場源來說這個乘積就是一個定值。當然，稍有常識的人都能看出，三維空間中二維球面的面積是4πR^2，既然面積與半徑/距離的二次方成正比，那場強自然需要與半徑/距離的二次方成反比才能保證高斯定理成立。——這就是萬有引力定律和庫侖定律是平方反比形式的數學原因