原來磁鐵可以有八個極！得過諾獎的拓撲絕緣體又現突破

伊利諾伊大學香檳分校（University of Illinois at Urbana-Champaign）和普林斯頓大學（Princeton University）的研究人員從理論上預測了晶體材料中一種新的拓撲絕緣體的存在。

眾所周知，在這一領域上的研究曾獲得2016年諾獎；而新發現的這種絕緣體可能產生四極矩和八極矩，也就是具有多個方向上有多個磁極。

圖丨偶極矩、四極矩和八極矩

科學家發現該材料的電場具有量子化的性質，並在此過程中推導了量子理論中幾何相位（Berry Phases）在固態系統中的一般形式。

這項研究由研究生Wladimir Benalcazar，美國理論研究所物理學副教授Taylor Hughes以及普林斯頓大學物理學教授B. Andrei Bernevig共同完成，結果發表在 2017年7月7日的科學（Science）雜誌上。

研究小組的工作從辨識四極矩的絕緣體開始，但很快就發現在此之下隱藏著更有趣的事情。

圖丨四極矩和八極矩的模型

Benalcazar解釋道：「研究結果顯示的一種新模型具有量子化的四極矩。這不同於之前所有已知的拓撲絕緣體，它不具有拓撲絕緣體的標誌性特性，也就是無間隙、低能量級的表面態——這可能就是這麼久以來一直沒人發現它的原因。」

從上世紀末到本世紀初，幾位科學家在凝聚態物理領域內的革命性發現為磁矩的研究奠定了基礎。通過對幾何相位的應用，人們能在晶體中找到磁矩，而幾何相位則描述電子在晶體動量空間中的演化過程。他們的成果極大地幫助人類認識了晶體中的拓撲絕緣現象，將屬於物理量的磁矩和拓撲上的幾何相位聯繫在了一起。根據Hughes和Bernevig的說法，現在的研究目標是把偶極矩理論推廣到到多極矩的高度上。

視頻丨拓撲絕緣體介紹（這小哥法國腔你們強行聽一波吧）

引人注目的是，四極矩絕緣體表面結構縫隙事實上構成了一個低維拓撲絕緣相。我們的計算可以預測系統何時會處於這種臨界拓撲絕緣相，而出人意料的是，在四極矩絕緣體的最基本形態下，這種性質與更高的極矩有關。

Hughes敘述到，「在研究的初期階段，Andrei 和我曾討論過將晶體偶極矩的研究延伸到四極矩上的想法。結果發現，其數學推導並不像看上去那麼簡單。在電子的量子力學模型中計算多極矩是極具挑戰性的，電子———在量子力學模型中，這個粒子也同時以波的形式存在，你無法確定它在空間中的位置。偶極矩可以通過測量電子的位移（矢量）來計算。但四極矩的計算則相對棘手。」

為了計算四極矩，科學家們需要構建一個新的理論框架。此外，建立的模型需要具有正確的性質， 才能被用來檢測新的分析技術。研究團隊將 正確模型的發現歸功於Benalcazar——他將量子化的偶極矩絕緣推廣至所有偶極絕緣體。然後，幾人則在此基礎上花了整整一年構建了完整的理論框架。

圖丨八極矩(a)的電荷密度(b)和Wannier Bands (c)

已有的數學方法——固態幾何相位（the solid-state Berry phases）一次只能計算電子在一個方向上的位置。但計算四極矩需要同時計算出電子在兩個方向上的位置才行。問題來源於海森堡不確定性原理，即你不能同時獲得關於一個電子的位置和動量的準確信息。但在計算四極矩時，麻煩來自於一種不同的不確定性原理——你不能同時測得電子在坐標系中x-方向和y-方向上的位置。

Benalcazar回想道：「為了同時得到電子在兩個方向上的位置信息，我們發明了一種新的分析範例——我們讓電子在一個方向上朝下自旋，在另一方向上向上自旋。 將四極矩分成一對偶極矩。」

圖丨維基百科對幾何相位（Berry Phase）的解釋，你自行感受一下

起初，他們嘗試了所有可能的方法，但始終一無所獲。問題在於，當兩個偶極矩都處在各自的上方時它們就會互相抵消。想要計算四極矩需要從空間上判斷，兩個分離出來的偶極矩是否處在分離狀態。最終我們發現，從數學上來說，這需要計算更深一層的幾何相位。

能否找到空間上的判斷方法成了研究的突破所在。小組設計了一個基於幾何相位展開式計算電子位置的新方法。首先，他們使用常規手段將電子的波從理論上分成空間上兩個分開的電荷雲。然後再證明每個電荷雲都具有偶極矩。通過這兩步，可以得到兩個空間上分開的，方向相對的偶極矩，即一個四極矩。

圖丨偶極矩、四極矩和八極矩

Bernevig對此評論道：「幾何相位是一個數學過程，我們過去十多年間一直使用的拓撲絕緣體都能被電子的幾何相位所表示。一個系統表面的幾何相位可以告訴你關於它邊緣的信息，以及那些信息中有趣的地方。進一步講， 為了求得描述量子化四極矩的新型拓撲量表達式，你需要計算一個幾何相位的幾何相位。」

在過去十年間，物質拓撲相的分類在實質上得到了發展。但這項重要的新研究表明，該領域或許還有許多有待探索的內容。研究預測了一種新類別的相的存在，並提供了可供檢測的相應理論模型。但最令人激動的還是研究結果中拓撲絕緣體領域的實驗相關性。小組在發表的文章中介紹了三個可能的實驗步驟，可用以檢測他們的理論。

Hughes表示，如果使用量子模擬這種使用高精激光、超冷原子複製和探測物質屬性的實驗方法，我們將很快就能得出結論。他說：「用現有技術就能檢驗我們的模型是令人興奮的。我們希望最終有人可以找到具有類似性質的固態電子物質，但這極具挑戰性，因為我們目前連個化學式都沒有。」

圖丨研究者提出，可用冷原子光學晶體實現四極矩材料

但Benzalcazar確信，「這一新的認識可能會解鎖一系列具有這種分類層次的新材料。」

這項研究為在幾何相位數學的嵌套結構中隱藏的拓撲系統提供了新的可能性，雖然離應用還為時尚早，其電學性質將在計量，電子技術或設計具有規定的體積/表面/邊緣/角度特性的材料中發揮作用。

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