「走馬燈數」 142857與初等數論入門

記得小學一年級的時候，我從一本課外書中看到了一個好玩的數：142857。

大概是這個數，讓我對數學的產生了興趣。

據說這個數最早發現於埃及的金字塔內。它實在是太好玩了，因為它的 2~6 倍都是的它的重新排列：

而且還有更多的性質：

比如：14+28+57=99； 142+857=999 等等。

當然，最關鍵的是：142857*7=999999。

當時的我在想，這大概是最重要的一條性質，它是所有性質的源頭。

很多年以後，我想起了這件往事，發現這個數有一個名字，叫做 「走馬燈數」，類似於這樣：

這種 「走馬燈」 性質實在是讓人驚奇。

【那麼， 142857 為什麼會具有這樣神奇的性質？ 是否還會有其他數具有這樣的性質呢？】

我稍微思考了一下這個問題，結果意外地發現：它正是一個非常貼切的教材，可以讓小白數學愛好者推開 初等數論 大門的一角。

實際上，要完整地理解這個問題的來龍去脈，對於初中數學水平的人，可能也只需要半個小時罷了~ 當然，需要 2 個很簡單的前提條件：① 知道質數（素數）的概念：只能被 1 和自身整除的數；也知道互質（最大公約數為1）；② 會豎式計算。

一、豎式計算的奧秘

既然我們已經知道 142857*7=999999，那麼一定很容易聯想到 1/7 會有 142857 的循環節。畢竟 1000000 除以 7 余 1 嘛！豎式計算告訴我們，產生循環幾乎是顯然的：

仔細觀察一下豎式計算，我們會發現一個很有趣的現象：

前 6 次相減，餘數分別 3、2、6、4、5、1，恰好遍歷了比 7 小的 1~6，這就意味著，下一個餘數無論是幾，都必然會和前面的重複，從而必須產生循環。

這個現象揭示了一個簡單的定理：

定理 1.1：1/n 的小數展開，其循環節長度不超過 n-1。

如果循環節恰好為 n-1 ，在豎式計算的每一步中，餘數一定遍歷了 1，2，…，n-1，那麼顯然，1/n, 2/n,…， (n-1)/n 的豎式計算，一定能和 1/n 的豎式計算中的某一步銜接起來，循環節會形成 「走馬燈」 的效果。

反之，對於任意一個「走馬燈數」，我們可以把它當做循環小數的循環節，而循環小數必然可以表示成分數 k/n，若循環節小於 n-1，那麼餘數必然不能遍歷 1，2，…，n-1，那麼 「走馬燈」 的效果則不會出現。於是我們得到了另一個定理：

定理 1.2：對每一個 「走馬燈數」 ，都存在自然數 n，走馬燈數為 1/n 的小數展開後的循環節，且這個循環節恰好有 n-1 位。

接下來，我們需要尋找滿足條件的 n，初等數論 的大門將緩緩打開。

二、費馬不只發現了「費馬大定理」

在這一部分，我們需要接觸 3 個初等數論的基礎概念：

同餘：若 a 除以 n 和 b 除以 n 的餘數相同，則稱 a 和 b 對模 n 同餘，記作(mod n)；

歐拉函數：小於 n 的正整數中與 n 互質的數的數目，記為；

剩餘系：對全體自然數，按照除以 n 的餘數可以分成 n 類，每一類構成的集合叫做剩餘類；在每一個剩餘類中取一個數，構成的集合叫做完全剩餘系；在每一個和 n 互質的剩餘類中取一個數，構成的集合叫簡化剩餘系。易見，一個模 n 的簡化剩餘系中有個元素。

關於歐拉函數，舉 2 個例子：

比如 6，在 1、2、3、4、5 中，只有 1 和 5 是和 6 互質的，所以;

對於任意質數 p，顯然 1~ p-1 都和其互質，因此。

於是我們很快可以得到一個定理：

定理 2.1（費馬-歐拉定理）：若 a 和 m 互質，則(mod m)

這是第一個需要稍微思考一下的定理。但證明也並不複雜：

在 1~ m-1 中取一個模 m 的簡化剩餘系，從小到大排列為，任意兩個數之間的差都小於 m-1，考慮每個數的 a 倍，由於 a 和 m 互質，顯然有：

(mod m)

於是也構成了模 m 的簡化剩餘系。

則有：(mod m)

那麼：

和 m 互質，所以，證畢！

特別地，當 m 為質數的時候，結合歐拉函數的定義，我們得到了費馬小定理：

定理 2.2（費馬小定理）：若 p 為質數，且 a 和 p 互質，則(mod p)

費馬大定理是我們耳熟能詳的，但其實費馬小定理也是初等數論中比較基本的定理哦！

三、OEIS- A001913

在費馬-歐拉定理中，取 a=10，當 m 與 10 互質的時候，才有：（mod m），從而形成 純循環小數。聯想到豎式計算：

在 1/m 的計算過程中，一定是循環節（但不一定是最短的），顯然，當且僅當 m 為質數的時候，才可能有。滿足 「走馬燈」 性質 m 至少是質數，且與 10 互質。

但 m 是質數並不是充分條件，如 m=3，，而(mod 3)。

於是我們提出了一個定義：設 m 是正整數，a 是整數，若 a 模 m 的階等於，則稱 a 為模 m 的一個原根。

因此我們得到了最終的結果：

定理3： 對每一個 「走馬燈數」，必然存在自然數p，走馬燈數為 1/p 小數展開後的循環節，且 p 的充要條件是： ① p 是質數； ② p 與 10 互質； ③ 10 是模 p 的一個原根。

有一個收錄了各種數列的網站叫 OEIS，它恰好收錄了走馬燈數相關的 p：A001913

與此同時，還給出了 「走馬燈數」 數列：A180340

這便是後一個問題的答案啦。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！