《時間之問10》 太陽系的家庭舞會

引子：遠古的夜晚，沒有電視、電影，人們怎麼消磨寂寞時光？抬頭，大片璀璨的星空就是環形大屏幕的電視秀！夕陽餘輝散盡，夜幕漸次拉開，星星點點的背景漸漸顯現，裹挾著橫亘夜空中央的銀河緩緩滑動，精彩的流光之舞開始上演。太陽系的一家之主平日里一臉嚴肅，把大夥嚇得不敢露臉。此時他忙了一白天、退到後台休息去了，小孩子們鬆了口氣，紛紛拉著月亮媽媽開起了舞會，兩個小女兒最調皮，她們打扮得光彩照人，時而露個鬼臉、時而串到幕後；英俊的紅臉男孩快步跑著，夢想當一個能征善戰的武士；老大則緩緩挪動著腳步，巡視著家裡的每一個角落，時而停下來回頭看看。九天之下，一群智慧之人，拿起直尺、圓規，也開起了舞會，他們靈巧的雙手之下，各個主角輪番上演，居然也和天上的舞者配合得默契自如、天衣無縫。他們是誰？為什麼開一個和天上一樣的舞會？」

又到了每周固定的時間，學生來到餐廳，發現老師已經坐在靠窗桌旁了。

學生趕快走過去在對面坐下，定睛一看原來老師在擺弄一台模型。老師十分專註，沒有看到學生。模型中間是一個金屬質地的大球，幾個顏色、大小不同的小球環繞著大球，大球和小球位於同一高度，每個小球由一個金屬桿支撐著。

學生好奇地問：「這是什麼玩意？」

「你猜猜看」，老師一邊說，一邊旋轉一個金屬桿，周圍的小球同時繞著大球運動，越靠近中間的小球轉得越快，越遠的小球轉得越慢，而中間大球不動。

「好，我看一看這裡有什麼名堂。中間這個球很大，周圍的球繞著它旋轉，有一個藍色的小球，還有一個紅色的小球，還有這個球上有很多光環... 哇！原來是太陽系模型？」 學生驚訝地說道。

「對，你猜對了」，老師說道，「看到這顆藍色的星球了嗎？」

「是地球，它旁邊還有一個小球繞著地球旋轉，肯定是月亮了！」 學生說道。

「對。你再看看其它的行星，它們轉得比地球快還是慢？」

「嗯，裡面這顆水星轉得最快，地球轉一圈，水星轉了差不多4圈。金星也轉的很快。這顆紅色行星應該是火星，轉的比地球慢一倍左右，外面的土星、木星轉的就更慢了！」

「對。」

「老師，怎麼剛好設計得這麼准呢？」 學生不解地問道。

「你猜猜看，提醒你一下」。老師用手指了指。

「哦，這些齒輪！我一開始就注意到了。」

「每個齒都是三角形，相鄰齒輪上的齒大小相等，所以可以緊密嚙合在一起。當一個齒輪轉動時，會帶動相鄰的齒輪轉動。直徑大的齒輪轉一圈花的時間更久。」

「這有什麼用呢？」

「齒輪數與公轉的角速度成反比，或者說齒輪數與公轉周期成正比。」

「能舉個例子嗎？」

「比如有一個齒輪有40個齒，另一個齒輪有20個齒，兩個齒輪嚙合在一起後，當40齒的齒輪轉了1圈，20齒的齒輪剛好轉了2圈。」

「嗯，同意。」

「我們把地球公轉一圈的一年作為參考，那麼水星公轉一圈是87.97天，也就是0.2409年，也就是說水星和地球的兩個齒輪比應該是0.2409。如果 找到兩個齒輪的齒數比值剛好是0.2409，那麼就可以模擬地球和水星的位置變化了。」

「可是兩個齒輪的齒數只能是整數。」

「對，所以要用整數之比來近似小數，你知道怎麼做了吧？」 老師問道。

「哈！這不就是連分數大顯身手的時候嗎？！」

「對！水星的周期和地球的周期比值是0.2409， 約等於1/4，但這樣不太精確。我們還是做連分數展開，得到它的漸進分數是：

「例如我們選擇13/54的齒輪比，既不需要太多的齒輪數，精度也比較好。」 老師說道。

「那火星呢？」 學生問道。

「如果是火星，我們就要選擇大於1的齒輪比了，因為火星的公轉周期幾乎是地球的2倍，確切地說是1.8809倍。記得嗎？以前我們還用連分數展開計算過火星大沖。」

「嗯，我記得。沒想到連分數還可以用來做太陽系模型。很早以前就有人這麼做了嗎？」

「是的，早在惠更斯的時代，就已經有了。你還記得惠更斯吧？」

「記得，他是十七世紀荷蘭的物理學家、天文學家、數學家，提出了著名的鐘擺擺動周期的公式。」 學生說道。

「沒錯，可惠更斯的成就遠不止於此。他還創立的光的波動說，提出了惠更斯原理。他和胡克共同測定了溫度表的冰點和沸點，他還用自製的望遠鏡發現了土星的衛星和土星上的光環。」

「這麼說，他那時就系統研究過太陽系的行星和他們的周期？」 學生問道。

「對。惠更斯想做一個以太陽為中心的太陽系的機械模型來演示各個行星的運動，那時日心說已經被接受， 所以他把太陽放在中心不動，其它行星用齒輪驅動旋轉，就和我手頭這個差不多。比如土星，那時測量到的土星公轉周期是29.43年，他需要製作兩個齒輪，齒輪數分別是P和Q，讓P/Q近似等於29.43。如何確定P和Q這兩個整數的數值呢？既然P/Q這個數值比較大，為了讓P不至於太大以至於很難去製作齒輪，所以要盡量找比較小的P和Q的數值。把29.43做連分數展開後可以得到：[29; 2, 3, 14]，也就是：

它的漸進分數是：

「可以看出如果用206和7，剛好得到一個很精確的數值來近似模擬土星和地球公轉周期。」 老師說道。

學生看了一眼巨大的木星說：「那木星這個大傢伙呢？它的周期是多少？我來擺弄一下。」 學生轉動模型，發現木星轉一圈，地球大約轉了12圈。

「對，木星的周期是將近12年，確切地說是11.86年，在古代人們曾以為木星的周期剛好是12年，所以又把木星稱為歲星。」

「為什麼叫歲星呢？」

「12年在中國是一個非常特殊的數字，它正好是一個地支的循環，你出生時木星位於軌道上的某一點，當木星再次回到這一點時，就是你的本命年了。」

「有意思，那也就是說地球轉了將近12圈，木星才轉一圈。」 學生說道。

「對，你看這和我們機械鐘錶的分針和時針很相似，是不是？分針轉得比時針快12倍。如果把分針的末端比作地球，而時針的末端比作木星，那麼分針轉12圈，時針剛好轉過一圈！」

「那這個太陽系模型能演示日食和月食嗎？」 學生問到。

「不能，這個模型太簡單了。」

「我記得，日食和月食只可能發生在朔日（初一）和望日（十五），是嗎？」

「是的，只有初一和十五、十六地球、月球和太陽剛好在一個平面上。所以這一次日食（月食）和下一次日食（月食）的間隔一定是整數倍個朔望月。這是形成日食月食的其中一個關鍵條件，但還不是充分條件，只有當三者處於同一條直線上才能發生日食或月食。」

「那其它的關鍵條件是什麼呢？」

「與黃道面和白道面的夾角有關，這兩個平面並不重合，而是有一個夾角。」

「我忘記什麼是黃道面和白道面了，你能解釋一下嗎？」

「好的。太陽在天空走過的軌跡，叫黃道，它的截面叫黃道面。類似地，月球在天空走過的軌跡叫白道，形成的截面叫白道面。還記得我們用半個西瓜解釋冬至夏至的那個例子嗎？切西瓜後形成了一個截面，截面的邊緣是一道弧線，就是太陽划過天空的痕迹，叫黃道。」 (《時間之問》第4周B 怎麼用半個西瓜解釋冬至夏至、春分秋分？)

「為什麼黃道面和白道面之間有個夾角？如果沒有這個夾角會怎麼樣呢？」

「這個夾角取決於太陽系最初形成時的旋轉角動量、以及月球形成時的角動量，這個角度在月球形成後一直在變化，目前是5.3度。如果黃道面和白道面重合，地球的公轉軌道和月球的繞地軌道始終在一個平面上，那麼每個朔望月的十五，地球都會把太陽光擋住而發生月食，而每個月初一月球都會擋住太陽光而發生日食。而實際上日食和月食並沒有那麼頻繁，就是因為這個夾角的存在，光線沒有被地球或月亮擋住。」

「我想想」，學生看了看這個太陽系儀，點了點頭說，「這看似不大的5.3度的夾角，卻導致了很大的不同。」

「對，由於有這個夾角，黃道面和白道面有且只有兩個交點（一個叫上行節點，另一個叫下行節點），月亮每兩次經過其中一個交點所需的時間就是一個交點月（27.21222天）。」

「交點月？聽起來很熟悉！是不是祖沖之測量過、並且還和戴法興辯論的交點月？」

「對，正是。祖沖之測量的結果和現代測量的誤差只有1秒。」 （《時間之問》第6周B 祖沖之：翩翩才俊還是山羊鬍老頭？）

「交點月對於日食、月食的發生有什麼意義？」

「只有在黃道面和白道面的交點，月亮才有可能擋住地球或者反過來地球擋住月亮。也就是說，如果這一次日食、月食發生在某個時刻，那麼一定是等到下一次月亮運行到交點，才有可能再次發生日食月食。」

「這個發生蝕的另一個必要條件？」

「對，所以兩次蝕之間的間隔一定是交點月的整數倍。」

「但是我們剛才說到，兩次蝕之間的間隔又必須是整數倍個朔望月，是嗎？」

「是的。只有在交點附近，並且剛好是十五，才有可能發生月食；只有在交點附近並且剛好是初一，才有可能發生日食。」

「那到底該怎麼計算兩次蝕之間的間隔呢？」

「要計算日食月食的周期，必須同時考慮朔望月的長度和交點月的長度，缺一不可。」

「可是交點月和朔望月的長度並不相等，而且也不是整數倍關係。」

「沒錯，所以要想讓兩個條件同時滿足，那只有找到兩者的最小公倍數，也就是說要看一看多少個整數朔望月剛好等於多少個整數交點月，就像我們找地球和水星之間的齒輪比一樣，地球的13年對應於水星的54年。」

「我有點明白了，經過這樣一個大周期之後，會怎麼樣呢？」

「你猜猜看。」 老師說道。

「好的，我想想。既然這麼一個大周期既是朔望月的整數倍，又是交點月的整數倍，那麼這麼一個大周期後，日、地、月的相對位置又重新開始了，那麼日食月食就又重複發生了。」

「很好，你說的對，確實存在這樣一個周期，叫做沙羅周期（Saros Cycle）」。

「怎麼計算沙羅周期呢？」 學生問道。

「只要找到朔望月和交點月兩者的最小公倍數。」

「但這兩個周期的比值不是整數，而是小數，所以最小公倍數無法直接計算得到吧？」 學生問道。

「是的，這時就要用到我們上次討論的數學知識了！」

「連分數？！」 學生脫口而出。

「Bingo！我們可以先把兩個周期的比值展開為連分數，找到足夠接近的漸進分數即可。」

「這事已經輕車熟路了。」

「223/242=0.9214876. 非常接近實際的比值」，學生說道。

「嗯，也就是說223個朔望月大約等於242個交點月。每經過223個朔望月，地球月球和太陽的相對位置又重複一次，日月食也重複一次。而223個朔望月就是6585.32157 天，也就是18年零11.32天，而242個交點月是6585.35724 天，兩者非常接近，相差不到一小時。沙羅周期又稱為18年周期。」

「可是沙羅周期並不是完整的天數，有一個討厭的0.32-0.35天。」

「對，你觀察得很仔細。實際上地球上的同一地點看到日食月食再次發生要等到3個沙羅周期才能看到。因為有1/3天的零頭，所以每過一個沙羅周期，日食月食並不在地球上的同一地點出現，而是要在地球上相差1/3天（8個小時左右）的地方，也就是相隔8個時區的地方出現。為了每次在地球上同一地方看到日食月食，就要把這1/3變成整數，也就是把沙羅周期再乘以3，就變成了54年多34天之後日食和月食會在同一地點出現，這個由3個沙羅周期組成的更大的周期叫做Exeligmos周期。」

「嗯，考慮得這麼周詳。這個沙羅周期是古希臘人發現的嗎？」 學生說道。

「不是，比古希臘人還要早，是古巴比倫人發現的。」

「為什麼叫沙羅周期呢？」

「沙羅的意思是重複。」

「真是難以想像，那麼久遠的年代人們就認識到了這個規律。有了太陽系模型，我們就知道五大行星過去在天空中的位置，甚至能預測未來它們在天空中的位置。」 學生問道。

「對。這非常重要，因為從地球角度看出去，行星的運行非常沒有規律，時快時慢，甚至還會逆行，所以行星planet的意思其實是vagabon?d（漫遊者）。預測出行星的軌道意義重大。有一幅著名的油畫（A Philosopher Lecturing on the Orrery），珍藏在倫敦的德比博物館裡，畫的就是在18世紀，人們在太陽系儀旁邊學習天文知識的情景。」

「哦，那更早以前，比惠更斯還早的時候，甚至文藝復興以前也有人做過類似的模型嗎？」

「有，甚至在2000多年前的古希臘時期就有！」

「是嗎？！」 學生驚訝地問道。

「而且它比惠更斯做得還精密巧妙！」

「有這麼神奇，這是怎麼回事呢？」

「哦，今天的時間不多了，我們留到下次再聊吧！」

「好的，老師再見！」

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