混沌理論到底是什麼——從蝴蝶效應出發

蝶

赤橙黃綠千百色，東西南北伴芳眠。

夢裡莊周游雲霧，卻見夏蝶迎秋山。

才子佳人淚執手，花叢翩翩續前緣。

作繭自縛何足懼，待得春風滿人間。

——by 小編

正如開頭詩所言，自古以來，蝴蝶就伴隨著許許多多如夢似幻的意向，出現在各種文獻中，其中最出名的莫過於莊周夢蝶，梁祝化蝶這類典故了。蝴蝶是文人們睡夢裡的常客，是連接夢境和現實之間的紐帶；抑或是才子佳人的寄託，在現實過於殘酷的時候在來世中淡化悲劇色彩。古人擅長遐想，今人則擅長勵志——毛蟲破繭成蝶的蛻變過程，則為各種現代散文小說所津津樂道，並儼然成為青春期成長的代名詞。或許很多讀者在中學作文中都使用過「破繭成蝶」的素材。

不過蝴蝶可不僅僅只出現在文學作品中，也不只是中國人的專利。著名的「蝴蝶效應」最早則是由美國數學家兼氣象學家愛德華?羅倫茲（Edward Lorenz，區別於物理學家洛倫茲Lorentz）於1963年提出[1]。這一概念一經提出便引起軒然大波：在學術界，洛倫茲因他的這篇論文被譽為「混沌理論之父」[2]；在商業圈，蝴蝶效應經常被企業家們當作「細節決定成敗」的理論信條；在娛樂圈，《蝴蝶效應》也多次作為科幻電影出現在熒幕上，留給觀眾熱烈的討論。

愛德華?羅倫茲

以訛傳訛的蝴蝶效應

那麼蝴蝶效應到底是什麼呢？或許多數讀者都聽說過這麼一個比喻：「一隻南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以後引起美國得克薩斯州的一場龍捲風」。這個比喻的目的是想告訴我們，任何一個看似微不足道的變化都可能引發巨大的連鎖反應。

事實上上面這個廣為流傳的比喻有諸多不合理之處。當小編第一次看到這個解釋的時候一直心生疑惑，既然蝴蝶在美國的地位並沒有在中國那麼高，那麼為什麼一定要用「蝴蝶效應」來描述這個現象，為什麼不是螞蟻效應、蜻蜓效應呢？既然蝴蝶拍拍翅膀就能引發龍捲風，那小編趴地上做幾個俯卧撐，只怕會引起美洲大陸和歐亞大陸碰撞了。

很顯然，「蝴蝶效應」的原本解釋具有誤導性

既然我們所經常聽說的解釋不那麼正確，但「蝴蝶效應」這個詞又的確是由羅倫茲本人本人創造的。那麼羅倫茲到底是怎麼想的呢？我們來看看他的這篇論文到底說了什麼[1]。

奇異吸引子（Strange Attractor）——非線性系統的一大傑作

儘管論文[1]研究的是天氣系統的變化，並且發表在了大氣科學年刊上，但這篇文章的靈魂其實是一個三元一階常微分方程組：

有微分方程基礎的讀者都知道，這看起來是一個很簡單的方程組，怎麼會有這麼大的名氣呢？我們先暫時不關心x，y，z具體表示什麼，先看看當=28時，上述方程數值模擬的結果：

x,y,z的三維圖，是不是有幾分像蝴蝶？

所以，這才是羅倫茲命名「蝴蝶效應」的真實原因。

不過這麼一幅蝴蝶般絢爛的模擬圖，似乎應該是藝術家們的寵兒，這又是如何同神秘莫測的混沌理論拉幫結夥的呢？事實上只要我們把初始條件稍微修改一點點，我們立馬就得到了完全不同的模擬結果（代碼可參見[10]，小編用了Java中的StdDraw包）：

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橫縱軸分別是x和z，很像兩隻蝴蝶的相伴相隨

「差之毫釐，謬以千里」，古人的智慧在數學方程式中得到驗證，這大概也算是不同思想之間穿越時空的不謀而合了。

分歧理論——混沌理論的命根子

小編在《世界到底是不是確定的？》（傳送門）中提到過，所謂「混沌」就是《周易》中的「無極」狀態，是混亂和不可預知的代名詞。那麼如此簡單的方程組，為什麼就具有不可預知的特性呢？答案：方程右邊的非線性特性。

如果我們令v表示三維向量，v=(x,y,z)，那麼我們可以把這個方程分解成線形和非線性兩個部分：

一個線性微分方程組（又稱為線性系統）的解是否穩定，也就是能否得到收斂解，完全依賴於矩陣A的特徵值大小。若A的特徵值的實部（特徵值有可能是複數）全都小於零，那麼這個方程一定是穩定的（至少局部穩定）。例如一維情況，v (t)= -v(t)的解是v(t) = C*exp(-t)，當t無限大時，v收斂到0這一點，所以是穩定的；一顆老鼠屎打壞一鍋粥，只要有一個特徵值的實部大於零，那麼很不幸，這個方程的解就只好發散了。

但若A的某個特徵值實部為零，情況就複雜了。數學上甚至有一個專門的分支來研究這種情況，這個分支就是所謂的分歧理論（Bifurcation Theory）。分歧理論將凝聚態物理、多體問題、自發性對稱缺失、微分方程、微分流形、微分拓撲、群表示論、氣候變化等眾多前沿領域貫穿成一個整體，是現代數學的一大研究核心。文獻[4]、[5]、[6]和[7]分別通過方程（主要基於朗道的平均場和序參數理論）、幾何（用流形手段研究哈密頓動力系統）、代數（用群表示論研究解的對稱性）和拓撲（用拓撲度理論研究解的宏觀結構）四種不同觀點看待分歧理論，充分體現了這一領域的多樣性，供不同背景和有興趣的讀者參考。

通過簡單計算可以發現，若在羅倫茲的方程中取=1，那麼A的有一個特徵值λ1正好等於零（因此實部也是零），其他兩個特徵值λ2、λ3都小於零。更為奇妙的是，若在=1附近變化，λ1的符號也會隨著變化。就好比婚後家庭的財產穩定性多半掌握在老婆手上，在1附近的波動從而決定了整個方程的穩定性，所以=1稱之為方程的分歧點（Bifurcation Point）。

從這個角度看來，分歧點無非就是使方程穩定性發生變化的模型參數值，而分歧理論的主要目的，就是研究分歧點的性質。儘管文獻[4]-[7]研究分歧理論的手段各不相同，但上述宗旨始終不變。

經過簡單的計算我們可以發現，當1，v=(0,0,0)儘管也是解，但不再穩定，與此同時出現了兩個新的穩定解。不穩定解的個數一分為二，這就是分歧，更準確地講叫做次臨界分歧（Subcritical Bifurcation）。用勢能的觀點能更好理解這一點（把A()想像成一個和有關的勢能函數）：

有了次臨界，自然也有超臨界分歧。讀者們也許可以猜到，超臨界和次臨界是一對相反的分歧變換：

在數學家眼裡，分歧圖像則是這樣的（以超臨界分歧為例）：

三叉戟分歧

這看起來很像三叉戟，所以上面兩種分歧又稱為三叉戟分歧（Pitchfork Bifurcation）。以此類推，我們甚至還可以定義四叉戟、五叉戟分歧等。不過數學家們只喜歡考慮最基本的情形，命名的任務就交給語言專家去完成吧。

混沌是怎麼產生的？

事實上三叉戟分歧只是分歧點的一種類型。科學家們最感興趣的分歧點類型，叫做霍普夫分歧（Hopf Bifurcation）。

讀者們先不要被這個高大上的外國名字嚇到了。作為分歧點的一種，霍普夫分歧歸根結底還是由於方程參數變化引起的矩陣特徵值變化，只不過從圖像上看來，方程的解從一點變成了一個周期解（又叫做極限環）[8]：

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隨著參數變化，藍色的極限環（周期解）出現又消失，潮起又潮落

和線性方程不同，由於一般情況下非線性方程會有不同的解（例如一元二次方程一般有兩個解），每一個解都可能發生分歧現象。而大部分混沌的出現都是由於非線性方程不同解在同一參數下發生霍普夫分歧。這便是非線性系統複雜性的一個根本原因。

例如對於羅倫茲方程而言，當從=1（次臨界分歧點）增加到=470/19的過程中，方程的幾個解會同時多次發生霍普夫分歧產生極限環，隨後極限環又消失。這個三維繫統的周期性反反覆復，於是就產生了第二部分中的奇特景象。關於具體的理論分析，文獻[3]給出了非常精彩而詳細的證明（文獻[3]是小編見過的最全面的一本偏微分方程專著，前面五章都需要極強的數學基礎。若只想了解羅倫茲奇異吸引子的產生原因，可以直接跳至第六章）。文獻[9]是相對早期的推導，但不及文獻[3]深刻。

值得注意的是，羅倫茲的方程是從流體力學中的納維?斯托克斯方程（Navier Stokes Equation）的一個變種簡化出來的。原方程如下所示：

看似複雜的方程實際上就是動量、能量和質量三個守恆定律

羅倫茲方程中的x,y,z分量，其實是把上面方程化成極坐標以後，根據大氣環流周期性而確定的一種振幅[3]。如此簡單的羅倫茲方程已經展現出了內在的複雜性，而原來納維?斯托克斯方程的複雜性則更是可見一斑。這就是為什麼納維?斯托克斯方程在工科和數學領域都如此受關注的原因。

化混沌為清流

本文介紹的羅倫茲方程只是混沌理論的一個簡單例子。很多很多其他例子，例如chua電路[11]、SEIR傳染病模型（例如麻疹）[12]和破壞熵增原理的Belousov–Zhabotinskii化學反應[13]等等，在數學模型上和羅倫茲系統非常相似，都是三元非線性方程，這些內容會在以後繼續介紹。另外，如果方程只是二元的，那麼著名的龐加萊-本迪克松定理（Poincare-Bendixson Theorem）保證此時不會有混沌現象的發生。這就是為什麼三體系統會產生混沌，但二元系統則不會。

通過哈密頓動力學得到的三體問題的方程描述

混沌理論是研究複雜性的學科，這名字看起來似乎就容易讓人敬而遠之。但通過本文的介紹，希望讀者們都對混沌理論的核心思想有了大概的認識。一言以蔽之，混沌理論的基礎是分歧理論，而分歧理論的研究中心是方程解的穩定性是如何發生改變的，其數學本質是方程參數變化誘使矩陣特徵值的符號發生變化。

科學發展到今天，一方面新的分支在不斷出現，另一方面不同分支之間交流之間相互交融，這一點像極了羅倫茲混沌的產生過程——霍普夫分歧不斷出現與交互賦予了它蝴蝶般的神秘色彩。不過萬物皆有根，就好比混沌理論的「根」棲息於矩陣特徵值中一樣，如果我們能找到不同分支的共同「根」，這將非常有助於對現代科學的全面理解。

作為結尾，送大家詩一首：

混沌尋根

雨蝶揮翅踏春去，三月扶搖圍城來。

青草翠竹君莫笑，等閑山嶺千里開。

參數反覆初心亂，周期無常混沌災。

古木參天枝雖密，猶有獨根土中埋。

參考文獻:

[1] EN. Lorenz,Deterministic nonperiodic flow, Journal of the atmospheric sciences, 1963.

[2] http://www.nytimes.com/2008/04/17/us/17lorenz.html.

[3] 馬天，偏微分方程理論與方法，科學出版社，2011。

[4] Tian Ma and Shouhong Wang,Phase Transition Dynamics, Springer, 2014.

[5] V.I. Arnold,Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer GTM.

[6] Martin Golubitsky et. al,Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Springer, 2000.

[7] Hansj?rg Kielh?fer,Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to Partial Differential Equations, Springer, 2012.

[8] https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_bifurcation.

[9] John Guckenheimer,A Strange, Strange Attractor, 1972.

[10] https://people.math.osu.edu/yang.2677/Lorenz.java.

[11]TakashiMatsumoto,A Chaotic Attractor from Chua s Circuit, 1984.

[12] B. M. Bolker and B. T. Grenfell,Chaos and Biological Complexity in Measles Dynamics, JSTOR, 1992.

[13] A. Wolf et. al,Determining Lyapunov exponents from a time series, 1981.

本文經授權轉載自微信公眾號科普最前線

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