數學家「六月」的成長之路——一個令狐沖遇上風清揚的故事

知識 07-15

（註：本文大部分素材取自網路上《A Path Less Taken to the Peak of the Math World》一文，經整理加工而成）。

引言

今天我們要講述一位韓國數學家的故事，他有一個很文藝的名字叫六月(英文全名：June Huh)。他的主要工作是將代數幾何的相關理論和技巧引入到組合數學中，跟合作者一起解決了組合數學中的一個重要猜想---Rota猜想。因為這項工作，六月最近受到邀請，出席2018年在巴西里約舉行的世界數學家大會並做45分鐘特邀報告。

(數學家六月，圖片來源於網路)

六月目前是美國普林斯頓高等研究院的Clay Fellow，這個Fellow由美國克萊數學研究所提供資助，獎勵那些最有潛力的青年研究學者。此外，普林斯頓高等研究院也已經給六月提供了更一個長期職位，據說這個職位此前僅給予過Voevodsky和吳寶珠，而這兩位後來都是Fields獎獲得者。於是有人預測，六月將是2018年或者2022年的Fields 獎候選人 (六月出生於1983年，到2022年的時候還不滿40歲，仍有獲獎資格)。

六月並不是那種從小就是學霸，傳說中的別人家的孩子。他小學時成績平平，並且自認為數學很糟糕，十多歲的時候曾夢想做詩人，二十四歲之前都不曉得自己要幹嘛，更沒想過有一天會成為數學家。直到一次偶然的機會，他遇到了生命中的貴人，接觸到了現代數學。這位貴人把他帶進了核心的數學領域，六月沉浸其中，刻苦專研，一步一步走向了數學的頂峰。

少年時期

六月出生於1983年的美國加州，那時他的父母正在加州讀研究生。六月兩歲的時候，父母帶他回到了韓國。六月的父親是統計學老師，母親是冷戰之後韓國的第一位俄語教授。六月念小學的時候，由於數學考試成績差，對數學很反感，一度認為自己不擅長數學。十幾歲的時候他喜歡上詩詞文學，寫了很多的詩歌，還寫過兩篇中篇小說。2002年，六月進入國立首爾大學開始他的大學生涯，這時他開始意識到做詩人並不能讓自己過上好日子，於是他又打算成為一名科學新聞工作者。在國立首爾大學，他主修天文和物理。

偶遇高人

大學生活在不知不覺中如流水般過去，轉眼到了畢業之年。這一年，六月24歲。也在這一年，日本最出名的數學家之一，廣中平佑（Heisuke Hironaka）訪問國立首爾大學。這位老廣可不得了，在70年代的日本和韓國，可是家喻戶曉的人物。老廣是1970年的Fields獎獲得者，他寫過一本非常有名的自傳書——《創造之門》，據說那一代的日本和韓國父母，都會把這本書送給孩子作禮物，希望可以把自己孩子培養成偉大的數學家。老廣的專業是代數幾何，他創造性的發展了另一位著名代數幾何學家扎里斯基（Zariski）在低維代數簇情形的工作，證明了特徵為0的域上代數簇的奇點消解定理。法國高等研究院的戈洛莫夫（Gromov）曾評價，老廣的奇點消解定理是數學史上的獨特存在，是數學上那些最難超越或簡化的證明之一。

（日本數學界到目前為止共有三位Fields獎得主，除了老廣，還有之前的小平邦彥（Kodaira），以及之後的森重文(Mori)。這些日本數學家的共同特點是，都在數學中最深刻的代數幾何領域做出了最重要的結果，展現了日本人踏實，苦幹的精神。）

2006年，老廣在國立首爾大學訪問期間，開設了一年的代數幾何課程，六月急著畢業，心想正好可以把老廣作為他準備新聞報道的素材，於是就去參加了這個課程。一開始的時候，來聽課的有100多位學生，這其中包括了很多數學專業的學生。但幾個禮拜下來，所剩的學生就聊聊無幾了。六月想其他學生放棄的原因是老廣的課晦澀難懂，而他之所以能堅持聽課是因為他懷抱著不同的目的。不過，他確實也聽懂了一些簡單的例子，只要懂這些例子，在六月看來寫他的新聞報道就足夠用了。課後，六月就找老廣聊天，老廣向來對青年學子照顧有加，特別是在異國他鄉，還有年輕人主動找他。他們一起吃午飯，六月就利用午飯時間，從問一些私人問題開始，慢慢開始聊數學。

幾次下來，他們之間的關係也有了進展。六月大學畢業了，老廣決定繼續在首爾大學再呆兩年。於是六月就決定讀老廣這個方向的數學研究生。這樣他們又有機會經常在一起了，老廣偶爾回日本的時候，六月就跟著他，幫他拎行李，甚至還和老廣夫妻一起住在京都的公寓里，六月就睡在他們家的客廳。從首爾到京都，六月和老廣一起吃飯、散步、聊天，他們成為了忘年交。

（廣中平佑，六月和他妻子，圖片來源於網路）

六月也就有了很多機會跟老廣學數學，老廣從具體的例子開始，然後介紹自己的成名大作。老廣告訴六月，在證明了特徵為0域上的奇點消解定理以後，他花了數十年來研究特徵p的情形，這是目前一個主要的公開問題。老廣語重心長告訴他，他可是花了畢生精力來研究這個問題，老廣已經把六月看成是自己的徒弟，他很希望六月能夠接過他的衣缽。

2009年，在老廣的勸說下，六月申請了幾十所美國大學的研究生院。他的申請書顯然比較薄弱，首先他本科專業不是數學，其次研究生課程上的也很少，並且這些研究生課程的成績也不咋地。唯一的優勢，也就是有老廣這位數學泰斗給他寫了推薦信。結果最終只有一所學校願意錄取他，伊利諾伊大學香檳分校。2009年的秋天，他正式成為了這所學校的研究生。

初出茅廬

來到了伊利諾伊，六月開始了他的數學研究之旅，他花了六年時間，最終完成了Rota猜想的證明。這個問題是56年前由義大利數學家Rota提出的，起源於圖論。

圖論的研究對象就是圖，圖簡單來說就由頂點和邊構成的集合。比如一個三角形就是由三個頂點，三條邊構成的圖，四邊形、五邊形都是圖。圖是組合數學最基本的研究對象。數學家考慮這樣一個基本的問題。給定一張圖，給你q種不同的顏料，將這張圖上的所有頂點用這q種顏料來染色，要求是有邊相連的兩個頂點不能染上相同的顏色。問你一共有多少種不同的染色方法？

這其實是組合計數問題，比如對於三角形這樣一張圖，第一個頂點可以有q種染色選擇，與它相鄰的第一個頂點有q-1種選擇，那麼剩下的最後一個頂點就只有q-2種選擇，所以共有q(q-1)(q-2)=q3-3q2+2q種不同染色方法，得到的這個數是關於q的多項式。這個多項式就定義為圖的染色多項式（chromatic polynomial）。

做一個練習，讀者可以嘗試計算一下一個四邊形的染色多項式是多少(答案是q4-4q3+6q2-3q)。

圖的染色多項式的引進，最初是為了用來解決著名的四色問題。數學家通過大量計算髮現，圖的染色多項式本身也具有非常有趣的性質，比如這個q3-3q2+q，它的每項係數分別是:1，-3，2。取絕對值後為：1，3，2。這個數列有兩個性質。

（1）單峰值(unimodal)。也就是這個序列總是先遞增，到達某個最大值（頂峰）以後就一直遞減，不會再上升。

（2）對數凹的(log concave)。也就是在這個序列裡面任取三個連續的數，這三個數總是滿足規則：左右兩個數的乘積小於中間數的平方。

讀者可以去驗證，上面提到的這兩個染色多項式都滿足這樣的性質。這是數學家做了大量計算以後，總結出來的規律，這個規律被稱為「Read猜想」。六月做的第一件事情就是證明了這個猜想。

六月剛到伊利諾伊的時候，其實並不知道有這樣一個問題，跟大多數一年級的研究新生一樣，他要上很多的課程，沒有太多時間做研究。但是由於廣中平佑對他有過三年的指點，他開始有一些想法。在那年冬天，六月把從老廣那裡學到的奇點理論技巧巧妙地運用到圖上面。在這過程中，他發現在圖上構造奇點，就可以利用奇點的相關理論來推導出原來這個圖的很多性質。例如就可以解釋為什麼染色多項式是對數凹的。發現這樣的結果後，六月異常興奮，於是就去查閱圖論的文獻，是否有前人證明過這樣的結論。他這才發現，原來他已經在不知不覺中證明圖論中的一個重要猜想。

六月把這個Read 猜想的證明貼到了網上以後，密歇根大學邀請六月做一個演講，專門介紹這一工作。2010年12月3日，他在一個大報告廳里開始他的演講，台下坐滿了數學家，其中也包括那些在一年前還果斷拒絕他的研究生申請的數學家。在這一天，六月的數學天賦終於得到了認可。「他的演講優美清晰、準確到位，對於一個低年級研究生來說，能講的如此透徹，實在難能可貴！」密歇根大學一位教授這樣評價道。

初始Rota猜想

在那次報告以後，密歇根大學向他伸出橄欖枝。2011年，六月就轉學到了密歇根大學。這時，六月發現Read 猜想其實是一個更宏大的問題Rota猜想的一個特例。

Rota猜想跟Read猜想類似，但是它研究的對象不再是圖，而是比圖更抽象的組合對象，稱為「擬矩陣（matroids）」（一個圖可以看成是特殊類型的擬矩陣，擬矩陣的概念是由美國數學家惠特尼（Whitney）引進的，惠特尼在幾何拓撲方面上成就更為人所知，但他早年其實是做圖論的，這也是一個傳奇數學家。限於篇幅，我們也不給出擬矩陣的具體定義）。總之，從擬矩陣出發也可以定義出一個多項式，稱為「特徵多項式（characteristic polynomial）」。Rota猜想可以表述為任意擬矩陣的特徵多項式的係數總是對數凹的(log concave)。

這個猜想的陳述如此簡單，但是證明卻極其困難。一開始，六月打算把他用來證明Read猜想的奇點理論方法直接用到Rota猜想上，但他很快發現對於更抽象的擬矩陣，這個方法不湊效了。這次失敗，讓六月開始重新思考認識擬矩陣背後的隱藏的數學結構。

在數學上，如果我們能夠建立兩個不同領域之間的聯繫，就可以把其中一個理論的結論和方法運用到另一個領域中，這也往往會在另一個領域發現新的現象。這一點在當代數學物理領域就很常見（比如超弦理論中通過弦對偶的思想，可以把不同的數學領域聯繫起來，這也產生了許多新的美妙的數學結果，關於這一點，我們將在以後寫專題論述）。六月在Rota猜想上的工作，正是涉及到與另外一個深刻優美的數學領域—霍奇理論（Hodge theory）的聯繫。霍奇理論是1950年由蘇格蘭數學家威廉姆霍奇（William Hodge）建立起來的。霍奇理論的研究對象是代數簇的上同調環。從研究對象上看，霍奇理論似乎沒法用來研究圖或者更一般擬矩陣這些離散的對象。但是霍奇理論提出後的60多年來，數學家們已經在其他的框架下找到了很多類似的霍奇類型結構，這其中包括組合框架下的情形。六月就開始思考霍奇理論中的結構關係是否能用來解釋這個對數凹（log concave）性質？在一個陌生的領域尋找相似的數學概念並不是一件容易的事情。這就好比尋找地外生命----我們只知道生命有哪些特徵，但是卻不知道新的生命會是什麼樣子。

完美合作

俄亥俄州立大學的數學家卡茨（Eric Katz）早在2011年的時候，就開始關注到六月證明Read 猜想的工作，那個時候，六月對於證明更一般的Rota猜想還沒有任何頭緒。卡茨認真研讀了六月證明Read猜想的原文，他發現如果將證明中的一個特殊結論去掉，就可以用這個辦法來給出Rota猜想的部分情形的證明。於是他跟六月聯繫，在這之後幾個月，他們很快就一起合作完成了一篇論文(發表於2012年)，在這篇論文里，他們證明了對於一小類擬矩陣-----可實現擬矩陣（realizable matroids）的情形，Rota猜想成立。

但是可實現擬矩陣只是很小一部分，大多數的擬矩陣都是不可實現的（nonrealizable）。我們提到的起源於1950年的代數簇的霍奇理論，它的研究對象是代數簇上的上同調環。如果想證明霍奇型結構可以解釋擬矩陣的Rota猜想，首先得構造擬矩陣上的類似於上同調之類的東西，對於可實現的擬矩陣，這個構造有一個非常直接的方式，這也就是為什麼卡茨和六月能很快證明可實現擬矩陣情形的原因。而對於不可實現的擬矩陣，他們依然無從下手。

四年來，六月和卡茨一直嘗試定義不可實現擬矩陣上的有意義的霍奇結構。在這期間，他們注意到霍奇理論的一個特殊方面----霍奇指標定理或許就足夠用來解釋擬矩陣的對數凹性質。

就在這個時候，另一位數學家Adiprasito加入進來了。Adiprasito是以色列耶路撒冷希伯來大學（Hebrew University of Jerusalem）的數學家。2015年，他來到普林斯頓高等研究院訪問六月，Adiprasito意識到雖然霍奇指標定理就可以用來解釋對數凹性質，但是要對所有擬矩陣證明霍奇指標定理成立需要證明出更多的結論，他們把這些結論統一在一起稱作「凱勒包（Kaehler package）」（凱勒是20世紀德國大數學家）。當然他們最終完成了這些結論的證明，從而解決了Rota猜想。2015年11月，他們三人把文章貼在了arxiv上，此後在數學界引起了一陣軒然大波。他們的工作提供了霍奇理論的組合圖景，開闢了一條解決組合數學問題的嶄新的道路。

這項工作也迅速提升了六月的國際數學形象。除了獲得了普林斯頓高等研究院的長期職位外，他也被認為是Fields 獎的有力競爭者。

後記

從一個沒有數學背景的外行，到做出一流數學成果的科學家，六月的成長之路是非典型的。不過六月也是幸運的，那就是能夠在人生的大好年華，遇上廣中平佑，從此改變了一生的命運。就像令狐沖遇見了風清揚，在絕世高手身邊，不知不覺中早已習得一身武藝。一旦有了用武之地，便可一展身手。

再來說說這位風清揚，老廣今年已經86歲了，他依然沒閑著。2017年3月，他在過去哈佛大學數學系的個人主頁上，貼出了一篇長篇論文，宣稱解決了前面提到的特徵p域上的任意維數代數簇的奇點消解問題，目前文章正在審查中。

他向我們展示了一位數學家的努力和堅持，為了完成一個定理的證明，他可以為之奮鬥，傾其一生。

*文章選載自微信公眾號數學物理前沿

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