厲害了！它延長了天文學家的壽命，還能創造宇宙

數學上有這麼一個神奇的東東，拉普拉斯（注[1]）說它大大延長了天文學家的壽命，伽利略說有了它和時間、空間便可創造一個宇宙，恩格斯則將它與解析幾何、微積分並稱為17世紀三大數學成就。究竟是啥東東如此厲害？

說來你可能不信，它就是看似平常但又在每年高考中虐考生千百遍的對數。

對數的概念在今天早已深入人心，但在四百年前，它對科學的衝擊絲毫不亞於上世紀的計算機。那麼，是誰發明了這種高大上的運算呢？

虐你千百遍都不厭倦的對數，到底是誰發明的呢？（圖片來源：百家號）

1

追逐前沿和熱點是人的天性，探險家如此，科學家也如此。16世紀，隨著哥白尼「日心說」的流行，以精確測量為基礎的天文學逐漸成為科學界的新寵，眾多科學家前仆後繼地投入到天文研究中。

人們常用「天文數字」表示極大的數，在普通人看來，這四個字不過是個抽象的概念，可對天文學家而言，每天面對的卻是實實在在的「天文數字」。

天體間的距離動輒就是上億千米，當時的人們要用大量時間計算這些龐大的數字，有時為了確定一個天體的位置就要在計算上花掉幾個月，不光耗費精力，還經常出錯。

天文學家們個個都為此頭疼不已。

2

看到天文學家們苦不堪言，一位叫納皮爾（注[2]）的蘇格蘭人坐不住了。

納皮爾雖然熱衷於政治和宗教鬥爭，卻是個不折不扣的科學家，尤其痴迷於數學計算，一有空就關起門來獨自沉浸在數學、天文和物理的世界裡。不過，對於如何簡化計算，儘管他急在心頭，可一時也沒有好主意。

一天，納皮爾如平日一樣伏案讀書，無意間翻到了德國數學家維爾納（Johannes Werner）的著作。維爾納在書中首次嘗試採用三角函數進行簡化計算，也就是我們現在熟知的積化和差公式：cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]。納皮爾頓時來了精神：能不能找到一種方法，像維爾納的公式一樣將乘法轉變為加法呢？畢竟，加法可比乘法簡單多了。

德國數學家維爾納（網路圖）

想法有了，那就擼起袖子干吧！一番鑽研後，納皮爾成功發明了如今稱為「對數」的東東。嗯，他用了20年！

雖然現行教科書中總是用指數來定義對數，但實際上指數的發明比對數晚了23年，也就是說，在納皮爾的時代，指數的概念並未形成，他無法通過指數引出對數並進行計算，那他是如何進行對數運算的呢？

我們不妨先看看下面兩行數：

0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……

1, 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,……

聰明的小夥伴一定很快就看出第二行的數都是以2為底、以第一行的數為指數得到的冪。納皮爾發現，要計算32×128，只需先查出32對應5、128對應7，再將5和7相加得到12，然後根據12對應4096，就可快速得到32×128=4096。

納皮爾發明的對數表（圖片來源：wikipedia）

現在看來，納皮爾的方法並不複雜，完全是中學數學中最常見的對數運算思想，然而這一思想的創立足足用了他20年的功夫！

1614年，納皮爾出版了名著《奇妙的對數表說明書》，第一次藉助運動學和幾何術語闡述了對數計算方法，他在序言里興奮地寫道：「經過長期的思索，我終於找到了一些漂亮的簡潔法則！」

《奇妙的對數表說明書》封面（圖片來源：wikipedia）

3

納皮爾因發明了對數而在數學史上擁有崇高地位，然而，當談起對數的發明時，還不得不提一位叫比爾吉（注[3]）的鐘錶匠。

比爾吉畫像（圖片來源：alchetron.com）

比爾吉在布拉格的宮廷里做鐘錶匠，除了修表，他還有修天文儀器的小愛好。正所謂「技多不壓身」，憑藉這個小愛好，他得以結識大名鼎鼎的天文學家開普勒（Johannes Kepler），並順利成為開普勒的助手，幫其做天文觀測和計算。面對天文數字，比爾吉自然也感到頭大，便萌生了簡化計算的想法。

經過八年的不懈努力，比爾吉獨立發明了與納皮爾相似的對數計算方法，並給出了更適合於實際計算的對數表，包含乘法、除法、平方根和立方根等多種計算。然而，直到1620年他才將自己的成果公之於眾，而此時納皮爾的《奇妙的對數表說明書》早已出版，並且風靡整個歐洲大陸了。

比爾吉的著作（圖片來源：alchetron.com）

看著比爾吉的首創權就這麼沒了，開普勒十分遺憾地寫道：「比爾吉遠在納皮爾之前就掌握了對數思想，只可惜他習慣了閑散安靜的生活，居然像拋棄剛出生的孩子那樣拋棄了自己辛辛苦苦發明的對數！」

比爾吉給出的對數表（圖片來源：參考文獻[2]）

4

話說納皮爾發明對數的消息很快傳播開來，數學家和天文學家們都很感興趣，認為對數能很好地解決大數乘法的問題。當時倫敦著名的數學教授布里格斯（Henry Briggs）正被天文計算折騰得心煩意亂，在看到納皮爾的小冊子後，他彷彿久旱逢甘雨，決定前往愛丁堡拜訪納皮爾。

出發前，布里格斯興奮地對朋友說：「納皮爾爵士出版了一本書，介紹了他新發明的對數。從沒有一本書讓我如此快樂，真希望今年我能儘快見到這位天才！」

在前往愛丁堡的路上，布里格斯在日記中寫道：「納皮爾爵士能發明如此令人驚奇的對數，必定有著發達的頭腦，我猜，他有個大腦門。」

時年54歲的布里格斯儼然成了納皮爾的小迷妹，四天後，他抵達愛丁堡，見到了愛豆。

納皮爾居住的城堡（圖片來源：wikipedia）

「爵士先生，我這次跋山涉水而來，就是想一睹您的尊容！」布里格斯崇拜地看著納皮爾，說道，「我特別想知道您是如何發明對數這一絕妙的計算方法的，雖然現在看來它很簡單，但在您之前卻從未有人發現它。」

「教授，您過獎了。其實我的發明還有很多不完善的地方，您在大學講授數學課程多年，有沒有好的改進建議？」納皮爾謙遜地說。

布里格斯直截了當地說：「爵士先生，您在書中選取了0.999999作為底數，雖然可以使真數間的空隙無限縮小，但不如以10為底，這樣符合十進位的習慣，計算起來會方便很多。」

英國數學家布里格斯（圖片來源：history-computer.com）

納皮爾聽後深表同意，布里格斯乾脆在愛豆家住了下來，以便隨時討論問題。經過二人一個月的商討，終於確定了以10為底的辦法：將10的對數作為1，1的對數作為0，即lg10=1=100。小夥伴們看到這裡一定很熟悉，這正是如今的常用對數。

1617年，納皮爾不幸去世，失去了愛豆和合作夥伴的布里格斯格外傷心。但他化悲痛為力量，加快了對數研究的步伐，在納皮爾去世不久後就出版了自己的第一部對數著作《一千個數的對數》。他在書中採用插值法給出了1到1000的對數，每個結果都精確到14位小數，這是世界上第一張常用對數表。七年後，布里格斯又出版了第二部對數著作《對數的算術》，這次他將對數計算的範圍擴大到了100000，精確位數也達到了驚人的40位小數。

《一千個數的對數》中的一頁（圖片來源：wikipedia）

自此，對數在全歐洲開始被廣泛使用，天文數字的計算變得小菜一碟。

5

對數被譽為數學計算領域的三大發明之一（另兩個是阿拉伯數字和十進位），經過數學家們的研究和完善，它早已融入到日常生活的每個角落，例如，我們經常接觸的分貝、pH值、星等、里氏震級等都是用對數表示的。

對數在群論和微積分中扮演著關鍵角色，根據對數原理髮明的對數計算尺，在過去300多年中一直是科學家和工程師們的必備計算神器，直到上世紀70年代才被電子計算器取代。

電影《起風了》中，身為飛機設計師的主角在繪製圖紙時所用的正是計算尺（據網路圖製作）

對數的發明節省了消耗在計算上的大量人力，是數學史上重要的里程碑之一，它大大影響了人類的發展進程，甚至有人說它使現代化提前了至少200年！

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注釋：

[1] 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）：法國科學院院士，對數學、統計學、物理學和天文學等學科均有重要貢獻。

[2] 納皮爾（John Napier，1550-1617）：蘇格蘭數學家、物理學家、天文學家，除對數外，他還發明了納皮爾尺，對小數點的推廣也有貢獻。

[3] 比爾吉（Jost Bürgi，1552-1632）：瑞士鐘錶匠、天文儀器製作師和數學家，活躍於卡塞爾和布拉格的宮庭中。

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