清華筆記：計算共形幾何講義 極值長度

圖1. 圓柱面的共形模。

拓撲等價的度量曲面是否共形等價，亦即拓撲同胚的帶有黎曼度量的曲面間是否存在保角雙射，這是一個微妙的問題。幾何上，我們需要尋找共形變換下的全系不變數，通過比較不變數，我們可以判斷曲面是否共形等價。如果曲面是拓撲圓盤，邊界上選取四個角點，則曲面被稱為是拓撲四邊形。拓撲四邊形的共形不變數，被稱為是曲面的共形模。

圖2. 拓撲四邊形和共形模。

極值長度

如圖2所示，設是一個拓撲圓盤，配有黎曼度量，邊界上選取四個角點，逆時針排列，將邊界分成4段，，這裡連接和，模4。

我們考察所有連接左右兩側的路徑，

令是和初始度量共形等價的任意一個度量，那麼從左到右的最短距離為

這裡是路徑在度量下的長度。曲面上曲線族的極值長度定義為

這裡是曲面在度量下的面積，取遍所有和初始度量共形等價的度量。

共形不變數

首先，我們來看，極值長度是共形不變數。假設兩張度量曲面彼此共形等價，，同時將角點映到角點，那麼映射誘導的拉回度量滿足。那麼曲線長度

，

曲面面積

,

進一步

由此，；由對稱性，，因此。我們得到兩個曲面的極值長度相等。換言之，極值長度是拓撲四邊形曲面的共形不變數。

圖3. 平直度量是極值度量。

平直度量是極值度量

如圖3所示，給定平面長方形，寬為1，高為h，平直度量，則面積，曲線最短長度為，極值長度。

給定任意一個共形度量，滿足，並且面積，考察水平直線，其長度不小於1，

由此得到

，

應用柯西-施瓦茲公式

由此我們有，極值長度，因此平直度量達到極值。

平直度量存在性

如圖2所示的共形映射是存在的，這一點可以簡單地證明如下。我們取曲面的一個拷貝，定向取反，沿著粘合，得到一個對稱的圓筒曲面。然後，類似地，我們取一個圓筒曲面的拷貝，定向取反，將兩個圓筒曲面粘合，得到一個對稱的輪胎曲面。根據曲面單值化定理，存在和初始度量共形等價的平直度量。由於對稱性，在原來拓撲四邊形曲面上，平直度量使得曲面成為一個平面長方形。這個長方形的寬高之比稱為曲面的共形模。

拓撲環帶

共形模的概念可以自然的推廣到拓撲環帶情形，因為拓撲環帶可以共形映射到長方形（左右兩側重合），如圖1所示。

圖4. 拓撲環帶的共形模。

假設是一個拓撲環帶，，這裡是有限的，是無限的。我們考察的同倫群，其生成元記為，曲線族

為和同倫的封閉曲線族。令為正值函數，定義了度量。曲線族中的最短長度為

,

拓樸環帶的面積為

，

拓撲環帶的共形模定義為：

。

那麼存在共形變換，將拓撲環帶映成標準圓環。在標準環帶上，我們任取半徑為的圓，這裡。那麼

對半徑進行積分，然後平方

由Schwartz不等式，

,

由此得到，

等號成立，當且僅當， 即曲面為標準圓柱面。我們定義拓撲環帶的共形模為：

。

極物理意義

串聯兩個電阻，則等效電阻為各個電阻之和；並聯兩個電阻，則等效電導（電阻之倒數）等於各個電導之和。假設電阻率為常值，則長方形材料的等效電阻等於寬比高（電極連接左右兩側）。如果，我們將長方形進行相似變換，則等效電阻並不變化。

共形變換在無窮小意義下是相似變換，因此宏觀上，等效電阻在共形變換下不變，共形模的物理解釋就是等效電阻。

組合理論

奇妙的是，共形模理論在組合意義下依然成立，當然從統計物理角度而言，這自然順理成章。假設是一張平面圖，其中一個面被選為「外面」（包含無窮遠點的面），在「外面」的邊界上選取四個頂點，將外邊界分成四段。 圖中的一條路徑是一個頂點序列，

之間有邊相連。我們定義路徑族，

在頂點上我們定義離散共形因子，路徑的長度定義為

，

整個圖的總面積為

同樣的，我們定義

離散極值長度定義為

。

存在性和唯一性

我們將離散共形因子表示成空間中的向量：，每個分量非負，，同時對於曲線族中的所有路徑，其長度不小於1，，所有滿足這些線性不等式條件的構成中的凸集，

，

總面積為的二次函數，其水平集為橢球族。橢球和凸集的切觸點存在並唯一，在此點總面積達到最小，離散極值長度被達到， 如圖5所示。

圖5. 存在性和唯一性

方塊填充

離散極值長度有一個非常優雅的幾何解釋：方塊填充，如圖5所示。

圖6. 方塊填充。

所謂圖的方塊填充是指長方形的一個胞腔分解，滿足如下條件：

圖中的每一個頂點對應一個方塊，

如果兩個頂點在圖中有邊相鄰，則它們對應的方塊彼此相切，

圖的四個角點對應的方塊被映成長方形的四個角。

圖的離散極值長度所對應的度量實際上給出了圖的一個方塊填充，這個方塊填充在相似意義下是唯一的。如果極值度量是，則頂點對應的方塊的邊長為，這些方塊之間的接觸關係由圖的組合結構所決定，彼此嚴絲合縫地壘砌起來，形成一個長方形，如圖6所示。原圖的共形模，亦即極值長度，由長方形的寬高之比給出。

【老顧談幾何】邀請國內國際著名純粹數學家，應用數學家，理論物理學家和計算機科學家，講授現代拓撲和幾何的理論，演算法和應用。回復「目錄」，可以瀏覽往期精華。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！