3分鐘看懂分形的世界

3分鐘看懂分形

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KOCH

分形幾何以非規則（非歐幾里得）的幾何形態為研究對象。分形幾何圖形能夠描繪生長的力量，因此是幾何的一部分。分形如今應用在天文學，經濟學，氣象學領域。也用於電影特效。

1975年，法國數學家曼德爾布羅特把分形幾何圖形定義為： 在膨脹或收縮的時候，即便在微觀層面上，也不失去其細節或者比例的圖形或形狀。這個屬性太容易讓我們想起Φ。按照黃金分割率分割的一條直線或者一個長方形，其結果仍然符合黃金分割率。其實，分形和Φ的本質都與生長有關。

分形的特點

分形分為兩類，幾何分形和隨機分形。雪花是幾何分形的一個例子。用最簡單的話說，雪花的擴展，是在確定的圖形上加等邊三角形。隨機圖形是計算機造出來的，模擬和遊戲都涉及它。

歐洲黑鬆鬆果的每個苞片，都處於兩條螺線的交點上，這兩條螺線方向相反，從底到頂，盤旋而上。

分形幾何圖形可以描繪大自然的生長現象，如海岸線，蕨類和樹皮。分形幾何圖形也存在於氣象圖甚至人造圖形中。例如股票價格曲線或者經濟預測走勢，它們都呈現出自相似性。

有些蕨類是自然界中分形圖形的經典例子，葉子的每一片羽葉都是整個葉子具體而微的複製品。單個的羽片，如果放大了，看起來就像整片葉子。不僅如此，有些種類的植物，花蕾的綻放成對數螺線形。這意味著，大自然不必再植物生長的每個階段都重新為葉子設計造型，只要一如既往地按照最初的設計複製就行了。

有一個優勢被忽略的事實，即自然的分形確實有一個盡頭（它與理論的分形以及根據數學產生的分形有顯著的區別）。英國海岸圖是一種分形，它從整體到局部都是自相似的，甚至在放大到可以看清某處海灘的沙粒構成的情況下，它仍是分形。但是，你不能指望在細微到分子的情況下它仍然是保持自相似性-除非是純粹數學意義上的分形。

分形的另一個重要特點是尺度。在一個分形圖形中，無規則性或者支離破碎的程度，在任何尺度上都是相同的。即使你在放大鏡下觀測，這種無規則性或者支離破碎的程度也不會減弱，它們僅僅是繼續產生新的不規則性，而新的不規則性與你拉近鏡頭的速度是相當的。

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Dragon curve

大多數人認為分形與混沌數學有關，其實，分形是非常有序的-它們僅僅是億萬相互糾纏，自我複製的自然對象湊在一起罷了。它們看似混亂，卻受確定的幾何原理的統攝。浮雲可以說明這一點。在本質上，浮雲肯定是分形的。它的輪廓線看起來雖然混亂，但實際上是一種分形，受水蒸氣，空氣和塵粒之間的相互作用的制約。測量或者描述一個分形，在本質上是把分形的基本圖形孤立起來-這被稱為分形的初始遞歸函數。有意思的是，斐波那契數列就是這樣的遞歸函數之一。

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Vicsek fractal

分形的典型例子有：康托爾集、謝爾賓斯基三角形和地毯、門格海綿、龍形曲線、空間填充曲線和科赫曲線。其他的例子包括李雅普諾夫分形及克萊因群（Kleinian Group）的極限集。分形可以是確定性的，如上述所有的分形；也可以是隨機的（即非確定性的）。比如說，平面上布朗運動的軌跡的豪斯多夫維數等於2。

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H-fractal

幾何統攝著許多生物的生長，自然界中的分形無處不在。螺旋狀的河床上的水流，雪花結構，都在訴說著幾何為物質宇宙提供的設計圖。

抽象短片：分形大腦

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