蔡天新：記憶中和素數有關的人和事

蔡天新著《數之書》

撰文 | 蔡天新（浙江大學數學學院教授）

一個數學問題一旦與素數發生聯繫，就會變得深刻，難度也驟然增大。

——題記

1

1985年春天，我開始攻讀博士學位。那時國內尚沒有直接攻博，或碩博連讀一說，所以我們是經過考試的。原本，碩士學位需要三年才能拿到，但我和王煒因為論文完成得早，且都已經發表了（那時並沒有SCI一說，我們的論文也是在國內刊物發表的），因此得以提前半年畢業。換句話說，我們趕上了七七級同學。

說到山大數學系七七級，我認識的人不多，其中有考入北大的張繼平，他後來得過陳省身數學獎，做過北大數學學院院長；考入浙大的薛安克，曾多年擔任杭州電子科技大學校長。在山大讀研的，有從浙師大考來的黃岩老鄉潘興斌，現在是華師大紫江學者。還有許多留學海外的，我在北美的旅途中就見到好幾位。

第一學期我曾兩次從濟南去北京出差，算起來分別是我第四次和第五次進京。第一次是大二暑假去北京姑姑家探親，第二次是研二寒假去大西北時路過，第三次是1984年冬天，我和王煒去北京中關村數學研究所查閱資料。那時候沒有電腦或互聯網，所有文獻都是紙質雜誌和書籍，數學所的資料比起山大來更為齊全，因此博士生通常都會去北京，那時候七小時的火車已經算很近了。

說實話，我對多數複印的資料不太記得了。印象最深的是數學所資料室的工作人員，她們非常喜歡聊天。一旦進入資料室，不管你是否願意，京腔都會飄入耳朵。聊天的內容當然與數學無關，而是日常瑣事和趣聞，比如某某研究生的戀愛對象，或某某數學家的個人愛好。我後來猜測，由於數學所女性比例極低，她們不自覺地產生一種優越感，以為凡是男性都願意聽她們說話。久而久之，聊天就成為她們對男性的一種精神撫慰。

第四次進京是在五一前夕，我停留了一個星期，搭乘的是夜班火車，所謂朝發夕至，平生頭一回乘坐了卧鋪（硬卧）。出差的事由也與數學無關，而是去參加「首都部分高校大型社會觀念變革學術討論會」。這個會議的出發點是，隨著我國經濟體制改革日益深入的發展，整個社會生活領域中的某些傳統的舊觀念舊模式受到了有力挑戰，並已開始發生具有劃時代意義的變革，如何深入理解和認識這場變革，分析它的現狀和發展趨勢，是當前理論界的重大課題。

雖然我本科和碩士階段都沒有當過學生幹部，讀博以後卻做上了學校研究生會學習部副部長，與我同行的孟祥生同學是宣傳部長。他原是歷史系七七級，畢業後他去了外交部，現任釣魚台國賓館管理局副局長。我之所以當上部長，主要原因恐怕在於，全校研究生住在一個樓里，而我與文理科的同學都比較熟悉。

那次討論會的具體細節我已記不清，甚至舉辦地是北師大還是人大我也無法確定了。只記得與會人數約三十位，圍坐在一張寬兩米、長十米左右的大桌子（也可能是好幾張桌子拼成）周邊。參會者除了北京一些高校的學生代表以外，還有南開、吉大等外地來的同學。我對面剛好是會議邀請來的主要嘉賓、哈佛大學教授杜維明。這一點不容懷疑，因為那是我第一次面對哈佛教授，我還記得我與杜先生就某個問題發生激辯。這一點也幫助我推測那次會議是在北師大，因杜教授80年代曾在那裡訪學。

杜維明。圖片源自tuweiming.net

杜維明先生那會四十五歲，年富力強。他早年研究宋、明儒學，80年代開始探究儒學思想的現代意義和發展前景，借鑒了哲學人類學、文化人類學、比較文化學、比較宗教學和知識社會學等跨學科研究的方法，被認為是新儒家學派的代表人物，但他自己卻喜歡被稱作哲學家、思想家，還強調儒家對「新」字有警惕性，一定要算的話也是儒家第三期。

杜先生認為，儒學第一期是從先秦到漢，從曲阜時代或中原時代的孔孟之道開始，到獨尊儒學。第二期是朱熹復興儒學，使得儒學文化圈從中國擴大到東亞，包括越南、朝鮮和日本。第三期是現在，從亞洲走向世界，儒學需要用英、法、德語等文字傳播。這個劃分似有道理，不過李澤厚先生認為漢朝需單獨劃分，所以應是四期。

我個人擔心的是，杜先生近年來在中國大陸兼職和頭銜過多，分散了精力，例如，北大人文高等研究院院長、長江商學院人文委員會主席、浙大馬一浮人文研究中心主任，不一而足。當然，這與大陸高校對自己培養的人才信心不足、信任度有限不無關係。

2

不到一個月，我又一次進京，這回仍與王煒同行。6月4日，我們乘坐13次滬京特快，比普通快車縮短兩小時。這次是去中科院聽哥倫比亞大學哥德費爾德教授講學，他是德國人，1967年獲得哥倫比亞大學博士學位，在輾轉了伯克利、特拉維夫、普林斯頓、麻省理工、德克薩斯和哈佛等校以後，回母校任教授。哥德費爾德後來曾獲柯爾獎，那次主要介紹布朗-梯其馬希篩法。我們在北京停留了十天。

那次除了我和王煒，還有北大潘承彪師叔的三位弟子賈朝華、張益唐和羅文智，數學所王元先生的學生張壽武。說到朝華，他後來與我交往甚密，尤其是他任《中國數學會通訊》常務副主編期間，頻頻催稿，並親自潤色，促成我筆下的數學人物一個個誕生，才有了《數學傳奇》這本書。再後來，他與我同為《數學文化》雜誌編委，每年夏天見面，來往交流就更多了，他對老北京、圍棋、美食頗有研究。朝華的微信名為京城潮叔，作為曾經的全國青聯委員，偶爾會與我們分享歌唱家彭麗媛委員的點滴軼事。

賈朝華。圖片源自中科院數學與系統科學研究院。

朝華出生在上海，小時候因為父母分別在南京和北京工作（父親在解放軍通訊工程學院任系主任），他由上海的外婆和寧波鄞縣的太外婆輪流撫養。十一歲那年，他被母親領回家，從此住在北京。七七年他上了北京郵電學院，畢業後考入北大讀研，成為潘師叔的大弟子。博士畢業後他又到數學所跟王元做博士後，留所至今。朝華曾在小區間的素數分布等多個經典問題上取得世界領先的成果，與英國大數論學家希斯-布朗合作，在德國《純粹數學與應用數學》和英國《倫敦數學會會刊》等名刊發表論文。

羅文智與朝華同年同月生，兩人生日只差八天。他是南京人，本科畢業於中山大學，後來在北京聯合大學工作過一年，再考入北大讀研。文智和益唐都只跟潘老師讀完碩士，便出國留學了，兩人先後獲得魯特格斯大學和普渡大學的博士學位。文智的學業無疑更順利一些，他的博士導師是名教授伊萬尼奇，後來又到普林斯頓跟薩那克做博士後，研究自守形式的解析和算術性質。文智較早在《數學年刊》等名刊發表論文，因此順利找到俄亥俄州立大學的終身教職，並擔任《數論雜誌》編委。

這幾位同輩同行中，唯有張益唐與我是第二次謀面，頭年夏天我們一起在合肥科大開會，又一起去爬了黃山。雖然如此，我們之間似乎仍不太熟悉，仍只是點點頭而已。待我年長以後，我明白那與他的個性有關，但那時我尚缺少閱歷，理解不到那一層。益唐比朝華大五歲，也是在上海出生。他是北大七八級的，可能是「文革」北大衝擊太深（自殺的數學老師就有好幾位），北大數學系七七級沒有招生，這讓復旦、科大等兄弟學校沾了光。

張益唐。圖片源自Wikipedia

多年以後，當譽滿全球的張益唐回到中國，也曾來浙大做客我主持的理學大講堂，當晚校長和學院領導設宴款待他和他的夫人海倫，我們也曾數度暢飲，我並陪他們去梅家塢品茗，後來我出訪洛杉磯，也曾與學生專程驅車前往他任教的聖塔巴巴拉看望，因此有了更多了解。張益唐的母親姓唐，這可能是他名字的來源，十五歲時他隨母親下放到湖北東南的陽新縣，在長江邊的「五七」幹校生活了幾年，後來回京通過招工又進入北京鎖廠工作。高考恢復以後，他考了兩次才入北大……

張壽武。圖片源自Wikipedia

相比之下，張壽武我最不熟悉，他的經歷我近年才從媒體上得知，還有他的幾位年輕有為的弟子。張壽武比我年長一歲，安徽和縣人，確切地說，是縣城西郊的西埠鎮五星村人。和縣屬馬鞍山市，該市面積只有四千平方公里，卻被長江分為兩半。江右是市區和當塗縣，我曾去那參拜過李白墓。和縣在江左，北宋的「清官」包拯曾出任和縣知縣，還出過大書法家林散之和中國第一個奧運冠軍許海峰。

如同《泉城》和《揚州》兩篇所寫，和縣烏江鎮曾是西楚霸王項羽自刎之地；一千年以後，唐代詩人劉禹錫在此為官時寫下著名的《陋室銘》；又過了三百年，宋代女詞人李清照乘船路過，留下名詩《夏日絕句》，「生當作人傑，死亦為鬼雄。至今思項羽，不肯過江東。」原來，長江流經此地時，基本是垂直的南北向了。

1980年，張壽武從和縣一中畢業，考入中山大學化學系，後謊稱色盲才轉入數學系，三年後即畢業並考取中科院數學所研究生，師從王元。那段時間張壽武發現王元擅長的解析數論他並不得心應手，因此看了同調代數、L函數、自守函數、代數幾何等方面的書籍，哥德費爾德來講學時他坐第一排聽課，擦黑板最認真，不講課時他奉元老之命陪同遊玩京城。

後來，張壽武在托福考試成績不夠理想的情況下，仍獲得哥倫比亞大學的全額獎學金去了美國。他在來訪的法國數學家斯匹若指導下獲得博士學位，後又去普林斯頓跟菲爾茲獎得主法爾廷斯做博士後，現任普林斯頓大學教授。再次見到張壽武已是22年以後，在杭州舉辦的華人數學家大會上，浙大校友勵建書教授特意介紹，我們相互致意問候。

3

1998年，張壽武應邀在柏林國際數學家大會上作四十五分鐘報告，2011年當選美國藝術和科學學院院士，他的研究方向是算術代數幾何，這是代數幾何的一個分支，是指所有以數論為背景或目的的代數幾何。所謂代數幾何是將抽象代數，特別是交換代數，同幾何結合起來的數學分支。這是典型的邊緣學科，需要許多領域的知識，包括數論、模形式、表示論、代數幾何、李群、多複變函數、黎曼曲面、K理論，等等。

丟番圖方程是算術代數幾何的重要課題，這是它的生命力所在。寫到這裡，讀者可能想起前面提及的新儒家杜維明先生的研究方法，也是以跨領域見長，這對於在國內受教育的人來說是個挑戰。上個世紀後期，隨著莫德爾猜想、費爾馬大定理等丟番圖方程問題先後被攻克（每一個都轟動一時，尤其是後者，被譽為20世紀的數學成就），算術代數幾何和代數數論可謂風靡一時。

相比之下，解析數論已經沉寂多年了。所謂解析數論是數論中以分析方法作為研究工具的一個分支，是在初等數論方法無法解決的情況下發展起來的，可以追溯到18世紀的歐拉時代，最典型的問題是孿生素數猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。這方面自從1966年陳景潤有關哥德巴赫猜想的研究成果宣布以來，就再也沒有激動人心的突破了。

上述五個問題中，除了莫德爾猜想，均與素數直接有關，它們也是數學史上最有名的猜想和問題。所謂素數或質數是指這樣的正整數，除了1和自身以外，沒有別的正整數可以整除它們。可以這麼說，一個數學問題一旦與素數發生聯繫，就會變得深刻，難度也驟然增大。最小的十個素數是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中3和5、5和7、11和13、17和19隻相差2，被稱為孿生素數。著名的孿生素數猜想說的是，存在無窮多對孿生素數。

顯而易見，除了2是偶數以外，其餘素數均為奇數。哥德巴赫猜想也與素數有關，是指每個大於4的偶數均可表示成兩個奇素數之和，例如6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5。費爾馬大定理的等價形式是，對任意奇素數p，不存在正整數x，y，z,使得其中兩個的 p次冪之和等於第三個的 p次冪。由莫德爾猜想也可以導出，對每個固定的奇素數 p，上述方程至多有有限個解。而黎曼猜想（被認為數學史上最偉大的猜想）是關於黎曼zeta函數的零點分布的，這個函數本身的定義就與素數有關。

2013年5月的一天，在數論圈「消失」二十多年以後，張益唐驚艷亮相，他用精細而耐心的解析方法證明了：存在無窮多對素數，它們之間的距離不超過七千萬。假如把七千萬縮小到 2，便是孿生素數猜想。這個結果轟動了世界，加上他的個人經歷和勵志故事，很快被《紐約客》和《紐約時報》等主流媒體大篇幅報道，同時他也獲得了諸如柯爾獎、羅夫·肖克獎、麥克阿瑟天才獎、求是傑出科學家獎等獎項。接下來的一年多時間裡，經全世界同行通力合作，七千萬這個數字迅速下降，變成了246。2014年，在首爾國際數學家大會閉幕式上，張益唐應邀做了一小時報告。

值得一提的是，除了以上幾個問題和猜想以外，還有一個大名鼎鼎的abc猜想也與素數有關，它誕生於1985年，即哥德費爾德訪華的那一年。由不太出名的法國數學家奧斯達利和英國數學家馬瑟各自獨立提出，不過那時候以及後來相當長的時間裡，我們都沒有聽說過。現在大家都知道，假如abc猜想成立，那麼包括費爾馬大定理在內的四項菲爾茲獎成果可以輕鬆推出，其難度相當於小學奧數題。

假設 a,b,c都是正整數，滿足a+b=c，rad(abc)表示abc的不同素數因子的乘積，則abc猜想的弱形式是：c不超過rad(abc)的平方。例如，1+8=9，則c=9,rad(abc)=6，9小於6的平方36。事實上，當a和b不超過50時，2500對組合中除了，，和這4組以外，其餘數組中的 c均不超過rad(abc)。儘管如此簡明和重要，數學家們仍無法證明這個猜想。

2012年夏天，曾成功證明半幾何領域的格羅滕迪克猜想的日本數學家、京都大學教授、法爾廷斯的學生望月新一在互聯網上發布了abc猜想的證明，一時間吸引了全世界同行和媒體的關注，包括華裔數學家、菲爾茲獎得主陶哲軒在內的大家均給予正面評價。遺憾的是，雖然無人發現漏洞，卻有相當一部分內容無人看懂。近來望月新一聲稱，他依然相信自己的證明，會在10年代給出令人信服的解釋。

相比以上提及的中外同行，作者深感慚愧。因為所受教育和知識的局限，更由於自身才智和努力不夠，既沒有進入那些最新的研究領域，也沒有在經典問題上有所貢獻。萬幸的是，在所謂數學研究的黃金年齡以後，過去六年多來，我受abc猜想的形式啟發，把整數的加法和乘法結合起來，提出一些新的想法，並藉此對那幾個經典數論問題做了詮釋和拓廣，也包括前文未曾提及的完美數問題、華林問題、埃及分數，等等。

這其中，華林問題的歷史最短，但也將近兩個半世紀了。我們提出的新華林問題的一個特例說的是：除了2、5和11，每個素數均可表示成三個正整數的和，它們的乘積是一個立方數。例如，3 = 1+1+1, 而1·1·1 = 1為 1的立方；7 = 1+2+4,而1·2·4 = 8 為 2的立方，……結論比老華林問題簡潔、漂亮，難度恐怕是同等的。我們已經驗證了，此論斷對10000以內的素數成立，但卻無法給予證明。

這些問題收錄在我與幾位學生合寫的論文里，已陸續在數論專業名刊上亮相，同時也出現在我本人的中、英文版著作《數之書》中。其中新華林問題的研究獲得英國數學家、菲爾茲獎得主貝克的讚揚，平方完美數的結果發表第二年即成為《國際數論雜誌》史上讀者最多的一篇論文，而我提出的那類丟番圖方程也被德國數學家米哈伊內斯庫贊為「陰陽方程」。我希望，我們不總是跟在老外們後頭。米哈伊內斯庫在給我的信中指出（他本人最近剛訪問了中國），「未來這些問題的重要性如何，要看你的運氣了」。換句話說，取決於誰對她們感興趣了。

杜維明（1940-），祖籍廣東，出生於昆明。畢業於台灣東海大學，後赴美留學。獲哈佛大學博士學位後，先是在普林斯頓和伯克利任教，1981年回母校哈佛，擔任東亞語言和文明系主任。

篩法是解析數論的重要工具，肇始於古希臘的全才厄拉托色尼。布朗是挪威數學家，梯其瑪希是英國數學家、牛津大學教授，北大教授閔嗣鶴在他指導下獲得博士學位，潘師承洞又是閔先生的學生。

莫代爾猜測是說，有理數域上虧格大於 1的曲線至多有有限個有理點。1983年，此猜想被在名不見經傳的德國烏珀塔爾大學任教的法爾廷斯證明，隨後他被聘請到普林斯頓，並獲得1986年菲爾茲獎。

張益唐在美國念的是代數數論，博士導師是來自台灣的莫宗堅。他的博士論文證明了雅可比猜想，後來發現依賴的一個引理有誤。孿生素數猜想的突破性進展，讓他在解析數論領域殺了一個漂亮的回馬槍。

作者介紹：

蔡天新，山東大學理學博士、浙江大學數學學院教授。有文學和學術著作20多部，外版著作10多部。借高考恢復40周年（也是他本人獲博士學位30周年）之際，蔡天新回憶了他的9年大學生活，可謂是一個少年大學生的成長史，也描述了他文理兼修的心路歷程。本文與5月29日刊載的《神童維納：信息時代之父》是其中的兩篇。

製版編輯：艾略特丨

本頁刊發內容未經書面許可禁止轉載及使用

公眾號、報刊等轉載請聯繫授權

歡迎轉發至朋友圈

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！