數學，或是江湖——高次方程傳奇

編者註：有關三次方程的求解，其實中國南宋偉大的數學家秦九韶在他1247年編寫的數學名著《數書九章》一書中就提出了數字一元三次方程與任何高次方程的解法「正負開方術」，提出「商常為正，實常為負，從常為正，益常為負」的原則，純用代數加法，給出統一的運算規律，並且擴充到任何高次方程中去。現在，這種方法被後人稱為「秦九韶程序」。歐洲人在400多年後才發現，但是如今在我們的教材中這個三次方程公式是以歐洲人命名為「卡丹公式」，原來有關三次方程的故事在歐洲所發生的要精彩的多，本文為南開大學博士宋寧所撰寫。

三次方程——費羅的雄心

1453是一個令西方人無法忘懷的年份。這一年，拜占庭的永恆之城君士坦丁堡被卓越的奧斯曼蘇丹穆罕默德二世攻陷，拜占庭的難民們——主要是希臘人蜂擁逃亡西歐。他們給尚在黑暗中世紀的西歐人帶來一批改變歷史進程的東西，那就是古代希臘羅馬時期的重要文獻。在這批重要文獻的外部作用和西歐內部經濟文化軍事的內部需求這雙重作用下，西歐中世紀的黑幕徐徐落下，一個嶄新的時代初露端倪，後世稱其為「文藝復興」時期。我們的故事就從「文藝復興」的發源地——北義大利說起。

彼時的義大利正是群雄並起的大分裂時期，內有各方諸侯割一城一地而稱雄，外有法蘭西、西班牙、奧地利群狼環伺。小國寡民的義大利北部各領地兵連禍結，為求自保，各地諸侯大力發展城防建築進而間接地刺激起了數學的發展。我們的主人公就生活在1500年代的義大利北部城市博洛尼亞。

早在12世紀，古代的中國人阿拉伯人和歐洲人就或早或晚發現了一元二次方程的解法。但是對於一元三次方程，儘管各地的數學家都不同程度上地解決了一些特殊的三次方程，但是卻一直沒有對任意三次方程普遍適用的解法。此時整個歐洲最急需的數學就是代數和三角，尤其是代數方程的求根公式。儘管之前已經有了很多近似計演算法，但是人們仍然呼喚一位不世出的奇才能將這一問題攻克。

轉機出現在穆罕穆德二世攻破君士坦丁堡的九年後，也就是1462年，一個男童降生在義大利北部小城博洛尼亞一個造紙工匠家中，男孩名叫西皮奧內·費羅。他的童年和青年的大部分都已經淹沒於歷史的塵埃中。我們只是知道他很可能是在博洛尼亞大學完成了學業，並在31歲（也就是我現在的年齡）那年在這所大學留校任教，那時已經是1496年。

如果不出意外，我們的悶騷青年費羅先生會平平淡淡在這所學校做一個教書先生，然後平平淡淡地退休，消失在茫茫的歷史長河中（其實，這也是我想要的生活）。不過不巧的是，意外真的來了，就在費羅在博洛尼亞大學參加工作的5年之後，也就是1501年，費羅一生的伯樂出現了，他就是當時全義大利著名的數學家帕西亞利（Paciali），這位數學家受邀來到博洛尼亞大學講學。他很快注意到這位卓然的年輕人。很可能這之前費羅就有了一些求解三次方程的想法，但是此時無法進行下去，但是帕西亞利先生的到來，給予了某種激勵——有形的幫助或者無形的勉勵。總之帕西亞利鼓勵他支持他繼續他的工作。

又過去了十四年，也就是1515年，當年悶騷青年如今已經年屆五旬，但是功夫不負有心人，他終於找到了解決如下一類三次方程的方法：x^3+ax+b=0.

雖然這個方程缺少了二次項，但是卻相當於已經解決了所有三次方程的求解問題。這是因為：首先對於如下任意一個三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0.

由於它是三次的，所以a不是零，於是可以對方程兩側同時除以a，這樣就變成三次項係數為1的方程（也就是所謂「首一三次方程」）。因此只要解出了所有的首一三次方程就可以解出所有的三次方程了。

進一步地，對上述首一的三次方程，令z=x-(a/3)，很容易發現在以x為未知量的新的方程中是沒有二次項的，也就是說，最終所有的三次方程都可以轉化為首一的沒有二次項的三次方程，也就是費羅解出的那個類型的三次方程。

故事結束了嗎？不，遠遠沒有。費羅並不想將這個成果公之於眾。因為當時剛剛從黑暗的中世紀掙脫出來的歐洲並沒有今天的學術環境，沒有各種學術期刊，更沒有SCI之類的東東，任何的學術成果都是私有的財產，要麼可以出版著作揚名立萬，要麼作為震驚世界的資本謀求大學裡的終身教職。費羅並不想揚名立萬，而且五十歲的他也不怎麼留戀什麼終身教職，他有第三種打算。在臨死之前，他將他保守了一生的秘密，交給了兩個人：一是他的女婿，一是他的一個學生。後來的事實表明，如果費羅泉下有知，他將無限地懊悔這個決定，他的這個學生將毀了他一生的雄心——他確實看走了眼。

爭鬥時刻——口吃者的挑戰

費羅在臨終前將三次方程的解法告知了兩個人，一個是他的女婿也是他的繼任者，一個是他的學生安東尼奧·菲爾——這註定是個特大的錯誤，因為菲爾是一個沒有才華卻貪圖高位的人。他自以為得之，便如獲至寶般回到家鄉，想要憑藉求解三次方程這一「舉世無雙」的壯舉來贏得榮耀和終身教職——也許這舉世無雙是他自以為的，因為很快他就有了一個競爭者，一個被大夥稱為「塔爾塔利亞」的人（下圖）。

「塔爾塔利亞」並不是這個人的本名。他本名方丹諾，但是十二歲那年，法國軍隊侵略了他的家鄉布雷西亞時，他的嘴被一名法國騎兵的馬刀刺傷（很可能傷到骨頭和某些重要的神經），從此患上殘疾，口齒不清，鄉里人稱呼他為「塔爾塔利亞」，意思是「口吃者」。口吃者塔爾塔利亞在當地有著非同尋常的名氣，鄉人紛紛表示他早就能解三次方程了。這讓本以為可以撈個大便宜的菲爾倍感壓力，他意識到只有戰勝這個口吃的小子，才能得到他所希望的。

正如後世常常在類似《三個火槍手》之類的小說里看到的，那時決鬥是私下解決問題的通行手段。而學術界呢，儘管不會輕易決鬥，但是十分相似的爭鬥卻經常上演，雖然形式貌似更和平一些——主要是公開辯論和公開競賽——其實其殘酷程度並不亞於決鬥，因為失敗一方很可能就此名譽掃地而一蹶不振。那麼菲爾有這個自信挑起這場競賽嗎？

當然，他自以為是有理由的，他相信老師給他的這套方法是獨一無二的，並且他也自信自己已經將之爛熟於心。於是，在1535年初，大學教授的學生菲爾向著名的口吃小子塔爾塔利亞發出了挑戰，內容就是他們分別向對方出30道解三次方程的題，得分高者獲勝。

但是有一個關鍵的問題：菲爾只會解沒有二次項的首一的三次方程，換句話說他並不知道如何將一個一般的三次方程化為沒有二次項的首一三次方程。換言之他對老師的解法只是一知半解。

今天的我們可能會很奇怪。因為在上一集中可以看到，將一個普通的三次方程化為一個沒有二次項的二次方程並不是一件難事啊，為什麼菲爾學會了更難的部分，而做不出這一部分呢？我想這裡可能有兩個原因：一是菲爾這個人確實過於平庸，過於一知半解；第二個原因，可能也是很多人所忽視的原因是，當時的歐洲數學有一種奇怪的現象，就是雖然事實上已經理解了無理數，但是對負數卻不能毫無顧忌地使用，因為負數可能帶來虛數，而彼時的基督徒看來，虛數是不可理解的甚至如惡魔般的存在，於是他們總會把負數移到等號的另一側，這造成了巨大的麻煩，尤其對於一個平庸的人。

而另一方面，塔爾塔利亞卻做足了功課，他很可能通過某種途徑（我個人認為可能未必光彩）得知，他的對手只會解沒有二次項的三次方程，於是他給對手出的都是有二次項的三次方程。相反地，他本人卻在1535年2月13日那個晚上，成功地解決了這種方程。於是他大獲全勝，而平庸的菲爾一敗塗地。

塔爾塔利亞所使用的方法（很可能也是費羅所發明的方法，儘管費羅的方法已經不可考證）用我們今天的術語表達是這樣的：首先用之前的一集所講的方法，將一般的三次方程化為首一的沒有二次項的三次方程，如下：

令x=u-(a/3u) ，那麼原方程就變成以u為未知量的方程了，但是不要急著代換，這樣運算太麻煩，再令v=-a/(3u)，這樣方程變成了如下的二元方程組

通過代入法消去未知量v，於是奇蹟發生了，我們得到一個關於u的三次冪的一個二次方程.

只要解出u的三次冪然後開三次方就可以解出u，然後代回方程組就可以算出v，從而最後解出x了。

依然回到我們的故事，平庸的菲爾黯然淡出歷史的視野，塔爾塔利亞名聲大噪，但依然依照當時的慣例，嚴密保護著他的秘密——三次方程的解法。不過他已經實現了他揚名立萬的想法了，他可能只是希望日後在時間精力允許的前提下或許是在他即將退休之前著書立說吧。因為現在的他名氣太大了，諸侯們忙著請他去計算彈道——炮彈的彈道，自從君士坦丁堡的城牆被土耳其人的大炮轟塌之後，歐洲的將軍們發現了攻克北義大利諸多要塞的新方法——火炮，於是義大利的諸侯又紛紛請當時著名的數學家幫助他們計算彈道改進城堡（達芬奇和伽利略就攬了不少這種活）。

正在塔爾塔利亞為「修長城」的偉大事業忙得不可開交之時，又有一個人找到了他，這個人也許是我們這個系列裡遇到的第一個名人——他叫吉羅拉摩·卡爾達諾。也許你並不熟悉這個名字，那只是因為上世紀九十年代三次方程的解法方面的內容從我國高中課本里刪除了，如果你能有幸找到某本老課本，你就會發現三次方程的求根公式的正式名字是——卡丹公式，這個「卡丹」就是「卡爾達諾」的另一種翻譯。那麼，前面已經有了費羅和塔爾塔利亞，為什麼公式要以卡爾達諾命名呢？

虛偽的君子——學術著作中的勾心鬥角

前來探訪塔爾塔利亞的人名叫卡爾達諾。這個卡爾達諾在我國很長一段時期內被翻譯為「卡丹」，這很可能是按照英文Cardan做的翻譯，而如果按照義大利語應該是Cardano，也就是現在更常見的翻譯卡爾達諾（下圖）。

那麼卡爾達諾是個什麼人呢？傳統上他被稱為「文藝復興時期百科全書式的學者」，可見其非凡的地位。非凡的人自然有著非凡的童年。喜歡八卦的義大利人傳說，他的母親不守婦道懷上這個孩子卻不知道他的父親是誰（也是醉了），於是拚命吃墮胎藥卻愣是沒把他打下來。還有說他的童年正值家鄉蔓延黑死病，年幼體弱的卡爾達諾竟然熬了過來，總之是大難不死必有後福啊。相比於他的母親，他的父親的經歷更為傳（gou）奇（xue）。他的父親名叫卡奇奧·卡爾達諾，是達芬奇的密友，早年是數學老師，但他想發財，憑著學問給一些貴族做顧問。這種顧問有時像是私人醫生有時又像是私人律師，總之需要常常在學問不夠用時靠點嘴皮子功夫（差不多就是騙子吧）。但是這給卡爾達諾帶來了很奇妙的影響，他先是學醫（甚至他生命里大部分時間是醫生，甚至做過某些國王的御醫）。做醫生免不了有人問他自己還能活多久，於是他還精通算命。彼時算命靠星象（據說他晚年算準自己某年某月某日死，結果到了那天還沒死，為了自己星相大師的面子，這位大爺~自~殺~了~），於是他又懂天文。天文需要機械，於是他還會玩機器。天文當然最重要的是要計算，於是他又懂數學。

話說當世時，卡爺已經是名滿歐洲的大學者兼大暢銷書作家了。他也聽說了塔爾塔利亞贏得三次方程競賽的事情。此時他正好在寫一部書——這部書後來傳入中國時候翻譯成了《大衍術》——卡爺想增加這本書的銷量，那最好是有點「解密內幕」性質的玩意才好吸引讀者，於是他找到了那個時代八卦話題的核心人物塔爾塔利亞，向他求教三次方程的解法，並且保證絕對要在書中明確記載這份功勞歸功於塔爾塔利亞。

但是捏，我們之前說過，塔爺有塔爺的想法，他想把這個學術機密留在自己的著作里（那當然，這樣自己的書就能暢銷了嘛），所以任憑卡爾達諾怎麼軟磨硬泡，他都不為所動。塔爺表示，讓卡爾達諾的書中刊載解三次方程的方法不是不可以，但是有個條件，那就是必須等塔爺本人的學術著作出版之後你小卡得書才能出版！卡爾達諾急了，因為他的書付梓在即，馬上就要去印刷了，就是專門為了加這一部分才沒去印刷的，兄弟這兒急呀！總之呢，無論如何是沒辦法。

最後，卡爾達諾認慫了，那就請求塔爺快點出他自己的書吧。塔爺再次表示：不行！（估計這時候卡爾達諾心頭上已經跑過了一萬隻某南美賣萌小物種了）塔爺繼續用他口吃的語速慢條斯理地說，因為捏，俺現在還要給諸侯老爺們計算炮彈彈道——人命關天吶！（估計卡爾達諾要掀桌子了。。。好吧他確實很可能大概是真的「掀桌子」了。）

卡爺（這次終於回歸大爺狀態了）給塔爺寫了一封據說措辭極為強硬的信，大概內容是說，你那些什麼彈道研究著作基本就是個廢XX，滿本書都他XX滴是扯X，你根本就是個XX。。。（語言可能不雅，各位自己腦補吧）

塔爺也毫不留情地回罵（腦補腦補哈）。正在塔爺以為，卡爺又要更強硬地回回罵的時候，卡爺的回信卻把他給嚇著了，因為卡爾達諾突然回信說：哎呀，小卡我之所以說那麼重的話，是為了能引起您的注意啊，還望塔爺您大人不計小人過地啦，要不咱哥倆全聚德來只鴨子喝點茅台五糧液什麼的，您也消消氣？我本人認為卡爾達諾這麼靈活機（wu）動（chi）善於處理複雜關係，肯定跟他父親的言傳身教有關吧。

總之，這次聚會把塔爾塔利亞徹底忽悠蒙圈了。為了進一步加強忽悠效果和加重塔爺的「病情」，卡爾達諾還不失時機地表示：您塔爾塔利亞先生關於彈道學的書我是佩服得五體投地，您看，我前兩天還剛買了兩本精裝本吶，準備一本放在我們家正廳供起來，另一本送給瓦斯托侯爵老爺（瓦斯托侯爵是當時西班牙帝國駐義大利的總督兼帝國駐義大利軍隊司令，極度牛逼）呢！——終於塔爾塔利亞像被趙本山忽悠過范偉一樣中著了，他最終同意將解法寫成一首極其晦澀的二十五行的小詩，送給卡爾達諾。

卡爾達諾如獲至寶，他和助手花費了很多年才參透了三次方程的真正解法以及相關證明，這期間還得到了一個神秘人物的幫助，最終他們把解法和證明寫到他自己的著作《大衍術》中，並且還進一步拓展了原來的理論。當然出於虛偽的面子的著想，他依然在書中明確地說了卡爾達諾以及費羅所做的貢獻，並且明確表示自己並不是這套方法的發明人。但是至於那個君子協定嘛——憑什麼我卡爾達諾的書要等你塔爾塔利亞的書出版了才能出版呢？我們簽合同了嗎？誰證明呢？再說，要是真的是讓你先出版，那誰還買我的書呢？於是，他毫不顧忌地提前出版了這部書。

不出所料，這部書在歐洲引起了巨大轟動，一直於全歐洲都不管不顧地稱書中的三次方程的求根公式為「卡爾達諾公式」。這極大地刺激了塔爾塔利亞。他公開譴責卡爾達諾的背信棄義。但是卡爾達諾對此的解釋是：他在拜訪了塔爾塔利亞之後的第六年，得到了一個神秘人物的幫助——他聽說了在博洛尼亞早已有人會解三次方程，他是博洛尼亞大學的一位教授的女婿，名叫安尼貝勒·納夫。這個納夫又是何許人也？他不是別人，正是當年費羅臨終前傳授三次方程解法的兩個人中的另一人——費羅的女婿和繼承者。我本人相信這很可能是真的。不過這世事的輪迴也確實有趣，當年費羅野心勃勃地將三次方程的解法找到卻秘而不宣地交給了女婿納夫和學生菲爾。菲爾出去招搖撞騙，被塔爾塔利亞一舉擊敗。而女婿納夫卻在背後給了塔爾塔利亞沉重的一擊。

話說回來，卡爾達諾也並不是只會賣萌加忽悠的趙本山，他確實將塔爾塔利亞的解法提高到了一個新的高度。他的解法不和塔爾塔利亞的完全一樣，而是更簡潔，並且他明確地指出三次方程應該有三個根，這意味著卡爾達諾已經站在複數域的大門之前，只是「沒有勇氣去敲門」而已。

當然塔爾塔利亞並不認可這些。第二年他就加速出版了他的學術著作。出版的目的只有一個：激烈地抨擊和辱罵卡爾達諾！出人意料的是，卡爾達諾並沒有回應。真正做出回應的是他的學生與助手費拉里。費拉里宣稱要在任何學科上與塔爾塔利亞展開辯論和競賽直到他名譽掃地！接下來確實發生了一場辯論式的競賽，過程不為人知，我們只是知道：在費拉里的一番謾罵之後，塔爾塔利亞退出了賽場，結果費拉里不戰而勝，最終塔爾塔利亞失去了他的榮譽和教職。鑒於這次競賽的過於戲劇性，以及之後各方的守口如瓶，我本人很懷疑，當初塔爾塔利亞的解法可能來路不正，而費拉里通過費羅的女婿知道一些細節。總之，這不是一場多麼高貴的戰鬥。

來源：演算法與數學之美

作者：宋寧

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