數學的陳年佳釀（二）

作者：汪曉勤

摘自：《數學文化》2013/第4卷第1期，數學家隨筆《陳年佳釀》。

上篇回顧>>>數學的陳年佳釀（一）

18世紀法國數學史家蒙蒂克拉（J. E. Montucla，1725-1799）在他的《數學史》中講述了古希臘大數學家阿基米德（Archimedes，前287-212）的故事：公元前212年，阿基米德的家鄉敘拉古被羅馬人攻陷。當時，阿基米德仍在專心致志地研究一個幾何問題，絲毫不知死神的臨近。當一個羅馬士兵走近他時，阿基米德讓他走開，不要踩壞他的圖形，羅馬小卒殘忍地用刺刀危害了他。

阿基米德之死

18世紀法國著名女數學家索菲·熱爾曼（S. Germain，1776-1831）生活在對女性充滿偏見的時代。人們認為，女性並不適合從事科學研究工作，解剖學家甚至聲稱：女性的大腦結構較男性簡單。在這樣的時代，絕大多數女性失去了接受高等教育的機會。彷徨之中的索菲偶然在父親的書房裡發現蒙蒂克拉的書，讀到了阿基米德的故事，深感數學是世界上最有魅力的學科，於是下定決心學習數學。為了阻止她，父親沒收了她的蠟燭和取暖的工具，但是，在墨水結冰的漫漫冬夜，索菲點起偷偷藏著的蠟燭，身上裹著毯子，依然故我，勤學不怠！19世紀法國數學家泰爾凱（O. Terquem，1782-1862）描述了索菲亞年輕時的學習經歷：

「在極度痛苦之中，這位年輕的先知在抽象世界中尋求解脫。她瀏覽蒙蒂克拉的《數學史》，研究裴蜀（E. Bézout，1730-1783）的著作，甚至在1793年血腥的農神節期間，她也閉門不出。她整天沉浸於對勒讓德和居森（Cousin）著作中的數論和微積分的思索，成了隱居者。她進步神速。1801年，她偽托巴黎綜合工科學校一男生的名字開始了與高斯的通信往來，討論高斯剛出版的《算術研究》和其他內容。在1804年的戰役中，熱爾曼家的朋友、炮兵將軍佩爾內提（Pernetty）在布倫瑞克把這個冒名的『學生』的真名告訴給了這位大數學家。從未懷疑過這位通信者性別的高斯吃驚不小。他在後來的通信中對這位年輕的法國人深刻敏慧的心智表示欽佩，由於戰爭，當時這位德國教授平靜的書齋生活被打破，感情上受到了傷害，對我們國家產生了厭惡感，在這種情況下，他對熱爾曼的欽佩就越發顯得真誠了。」

索菲·熱爾曼

高斯在信中這樣寫道：

「當我得知我尊敬的通信者勒·布朗先生搖身一變，成為這麼一個曾經製造出令人難以置信的傑出摹本的名人時，我如何才能描述我的驚訝和欽佩呢？愛好這門抽象的科學，尤其是數的秘密的人如鳳毛麟角：這毫不足怪，因為這門崇高科學只對那些有勇氣探究它的人展示其迷人的魅力。而當一位女性在通曉其中的難題時，由於性別以及我們的世俗和偏見，她遭遇了比男性多不知多少的障礙，卻要克服這些桎梏，洞察隱密奧義，她無疑有著最為高貴的勇氣、超凡的才能和卓越的天賦。這門科學為我的生命增添了許多快樂，沒有什麼事情能比你對它的愛好更令人心悅誠服，更確實無疑地證明它的魅力並非子虛烏有。」

熱爾曼最終成為了一代數學名家。

高斯

19世紀的蘇格蘭人華里司（W. Wallace，1768-1843）是中國人不應忘記的數學家，因為他正是中國歷史上上第二部微積分教材《微積溯源》的原作者。少年時代，華里司因父親破產而輟學，並成了印刷廠的一名學徒工。

華里司偶然結識了一位上了年紀的木匠，而這位木匠當時正受雇於著名物理學家、愛丁堡大學自然哲學教授約翰·羅比遜（J. Robison，1739-1805），做羅比遜的實驗助理。老木匠是位有文化、愛讀書的人，他雖然對數學一竅不通，但整天和物理學家在一起，耳濡目染，不免對科學懷有一份崇敬之心；並常常因與自然哲學大教授為伍而自豪。他在知道華里司酷愛數學之後，有心把他引薦給羅比遜。華里司學徒期滿，老木匠寫好推薦信，勸他去找羅比遜教授。他鼓起勇氣去了愛丁堡大學。教授告誡：搞數學研究不可能給這個世界帶來什麼益處。或許，羅比遜是要試試華里司是否真心熱愛數學。華里司回答：人活著既然註定要含辛茹苦，他希望用求知的快樂給人生的酒杯加點糖。此言一出，羅比遜當即邀請他來聽自己的自然哲學課。羅比遜又把華里司引薦給著名數學家普雷費爾（J. Playfair，1784-1819）。

18世紀末，儘管歐洲的印刷術發展很快，但印後裝訂仍離不開手工：書頁印出後，工人依次將書頁堆放成一圈；然後按順序在每一堆上取一頁疊放好，最後裝訂成冊。華里司出師後，在印刷廠做了一名裝訂工。他每天做的是裝訂成冊之前的那道工序。在枯燥的重複勞動過程中，華里司不忘學習，在牆上貼滿拉丁辭彙表，轉一圈，必記上一個拉丁文單詞。就這樣，他學會了拉丁文，並得以鑽研歐洲大陸的數學著作。

華里司最終成為愛丁堡大學的數學教授。從學徒到教授，華里司用自己的勤奮書寫了人生的傳奇故事。

華里司

《微積溯源》的譯者、中國數學家華蘅芳（1833-1902）14歲開始自學數學，凡遇到數學書，輒愛不釋手。曾用22種方法證明勾股定理，真可謂才華橫溢，後生可畏。

20歲時，華蘅芳來到上海，去墨海書館拜訪著名數學家李善蘭（1811-1882）。當時，李善蘭和墨海書館的負責人英國傳教士偉烈亞力（A. Wylie，1815-1887）正在合作翻譯英國數學家德·摩爾根的《代數學》和美國數學家羅密士（Elias Loomis，1811-1889）的《解析幾何與微積分基礎》（譯名《代微積拾級》）。李善蘭這樣向他介紹微積分：

「此為算學中上乘功夫。此書一出，非特中法幾何盡廢，即西法之古者亦無所用矣。」

這是華蘅芳平生第一次知道數學上除了天元術以外，竟然還有微分、積分之術。這對於熱愛數學的華蘅芳來說無疑充滿了難以抗拒的誘惑力！他從李善蘭和偉烈亞力的譯稿中抄錄數條，拿回家細看，結果，茫茫然一無所獲。

華蘅芳與《微積溯源》

幾年後，中國第一本微積分教材《代微積拾級》出版了，李善蘭送了一本給華蘅芳。展卷披閱，不知所云。的確，如果我寫出書中的一個公式給你看——

你一定會看傻眼。無奈之下，華蘅芳只好又跑到墨海書館，向李善蘭求教。李善蘭如是說：

「此中微妙，非可以言語形容，其法盡在書中，吾無所隱也。多觀之，則自解耳。是豈旦夕之工所能通曉者哉！」

聽了李善蘭的話後，華蘅芳拿《代微積拾級》「反覆展玩不輟，乃得稍有頭緒」。華蘅芳對自己學習微積分的這個艱難過程作了一個精彩的比喻：

「譬如傍晚之星，初見一點，旋見數點，又見數點、數百點，以致燦然布滿天空。」

《代微積拾級》書影

順便提一句，偉烈亞力來華前只是一介木匠。英漢兩種版本的《聖經》是他學習漢語的唯一工具。他利用兩種版本的《聖經》，竟自編了一本英漢詞典！來華後，每天只睡6小時，工作之餘，手不釋卷。

先哲們在困難面前所展現出來的勇氣也常常令我們汗顏。

1605年秋，中國著名科學家徐光啟（1562-1633）在北京向義大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552-1610）了解西方的教育情況。說到數學時，利瑪竇盛讚《幾何原本》之精，又陳述此書漢譯之難，還說起昔日和中國人合作失敗的種種經歷。的確，要翻譯拉丁文版的《幾何原本》，談何容易！且不說徐光啟連一個拉丁文單詞也看不懂，那麼多中國傳統數學中所從未有過的數學術語首先就讓人望而生畏。可是，徐光啟卻說：

「吾先正有言：『一物不知，儒者之恥。』今此一家已失傳，為其學者，皆暗中摸索耳。既遇此書，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當吾世而失之！嗚呼，吾避難，難自長大；吾迎難，難自消微。必成之。」

其堅定的決心、過人的勇氣和強烈的使命感溢於言表。於是，兩人口授筆錄，反覆推敲，三易其稿，終於在1607年春把《幾何原本》前六卷譯完並出版。

我們今天常說：「困難像彈簧，你弱它就強。」其實，先哲早就說過了。

被譽為「昆蟲世界的詩人和預言家」的法布爾（J. H. Fabre，1823-1915）師範畢業後被分配到鄉下一個條件十分簡陋的、全校教師只能擠在唯一一張校長餐桌上吃飯的學校教書。儘管讀師範時學過一些平面幾何知識，但作為文科生的他，數學知識、特別是代數知識依然相當貧乏。用他自己的話說，開一個平方根，證明一個球的表面積公式，已經是科學的頂點了。打開一張對數表，立即頭暈目眩。可是有一天，一個報考橋樑工程專業的年齡與他相仿的不速之客登門造訪。原來，這位年輕人的考試科目中有數學，為了通過這場考試，他希望法布爾能輔導他學代數。真是病急亂投醫。法布爾先是吃驚，接著是猶豫；但最後，不知從哪兒來的勇氣，他竟然答應人家了：後天開始上課。自己不懂游泳，卻要教別游泳，怎麼辦？勇敢的辦法是自己先跳進海里！這樣，在瀕臨淹死的時候也許會產生一股強大的求生力量。可是，法布爾不光對代數一竅不通，而且連一本代數書都沒有：他想跳進代數學的深淵，可是連深淵都沒有。他想去買一本，可是囊中羞澀，況且他那裡可不是巴黎，想買就能買到的。離上課只有24小時。有了！有位教自然科學課的先生，是學校領導層的人物，儘管在學校他有兩個單間，但平時住城裡，也算是上流社會的人物了。法布爾猜想他房間里必有代數書；但由於人家高高在上，又怎敢開口言借？只有一個辦法：偷。如果那時中國作家魯迅已經寫出小說《孔乙己》來該多好，這樣法布爾也許不會責備自己了。正逢休假日，四顧無人，法布爾幸運地用自己房間的鑰匙打開了那城裡度假的主人的房間。天從人願！雙腿有些發抖的小偷從書櫃里搜索出三指厚的一本代數書來。

法布爾

神不知鬼不覺，法布爾回到了自己的房間。他急切地打開書本，一頁又一頁地翻看著，了無興趣。大半本書翻過去了，突然，他的眼光停在了一個章名上：「牛頓二項式」。譽滿全球的17世紀英國大科學家牛頓，他的二項式是怎麼回事？強烈的好奇心促使法布爾拿起筆，一邊看，一邊在紙上寫字母的排列和組合，整整一個下午在排列和組合中度過。不可思議，法布爾竟然完全搞懂了。

這下，他可以從容地應對明天的數學課了。這真是與眾不同的課，人家從頭開始教，而法布爾則幾乎是從末尾開始教。他時而耐心地講授，時而和學生進行討論，第一次課獲得了巨大的成功。牛頓二項式定理大大增加了法布爾的自信心。法布爾繼續向更多的代數知識發起衝擊，壁爐里的火光伴著他度過了一個又一個不眠之夜。

在知難而進的老師和忠實勤奮的學生共同努力下，他們最後啃完了代數課本。那年輕人如願以償，通過了考試，而那本代數書被偷偷地放回了原處。

法布爾繼續向解析幾何發起了衝擊，他這樣描述自己的學習歷程：

「當我失足掉進一個未知世界時，有時能找到炸藥把它炸開。剛開始是小顆粒，顆粒結成小團滾動著，越來越大。從一個定理的斜坡滾向另一個定理的斜坡，小團變成大團，成了有巨大威力的彈丸，它倒退著向後拋，劈開了黑暗，現出一片光明。」

經過一年多的努力，他順利拿到了數學學士學位。掌握了數學知識，法布爾終於成了「蛛網測量員」。

數學人文，清新雋永；陳年佳釀，歷久彌香。一次穿越時空的心靈之約，讓我們收穫幾許心靈的啟迪。先哲的數學故事會引發我們對以下問題的思考：

對於學業，應該持何種態度？

應該如何面對工作、學習和生活中的挫折、失敗和錯誤？

應該怎樣對待學術權威和世俗偏見？

應該怎樣看待數學在人一生中所扮演的角色？

最後，我想說，我也是一個講故事的人。我指望因為講故事獲什麼獎。但我知道，因為講故事，我讓自己的數學課變得不再枯無味，讓我自己的學生變得更有教養、更有文化、更有追求、更懂得生命的意義。我還想說，如要每一位數學教師都會講故事，那麼，我們的數學教育一定會變得很美好。

附註：本文為華東師範大學數學月講座。

（全文完）

作者簡介：汪曉勤，中國科學院自然科學史研究所博士，現執教於華東師範大學數學系，主要研究方向為數學史、數學文化與數學教育。先後在《自然科學史研究》、《自然辯證法研究》、《自然辯證法通訊》、《數學教育學報》等刊物發表論文170餘篇，著有《中西科學交流的功臣——偉烈亞力》、《中學數學中的數學史》、《HPM：數學史與數學教育》等。

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