物理史上首份「拓撲圖鑑」，鋪平科學家尋找拓撲絕緣體之路

如何在帶著腳鐐的情況下脫內褲？如何在吃麻花的時候不讓它散成碎屑？如何把甜甜圈變成咖啡杯？這兩個問題看似普通的益智遊戲，背後卻是一門霸佔了近期物理界頭條的前沿技術——拓撲物理學。

當一些科學家還在以「試錯」的方式苦尋新材料時，拓撲物理學家已經開始乘上了探索的高速列車。上周，《Nature》刊登的一篇論文就為我們展示了一份意義深遠的「拓撲圖鑑」，從原理上揭示了哪些材料會具有拓撲效應——這將幫助科學家深刻探索馬約拉納費米子、外爾費米子等奇異粒子——在這點上，最近關於「天使粒子」的研究成果就是在超導拓撲材料上達成的。

拓撲絕緣體具有非常神奇的特質，它內部絕緣，表面導電；是導體和絕緣體兩種相反性質的結合。而且，其導電的表面態源於材料整體的內稟性質，任何雜質和缺陷都不會影響它。

想像一種電阻值不受長度、橫截面積影響的導體；想像一台放在你桌面的量子計算機；想像一種甚至不靠電流傳遞電信號的元件——這些就是拓撲材料在我們生活中的潛在應用。但是，由於涉及到對能級計算、對性質的構想，尋找新的拓撲絕緣體通常是一個艱苦的過程。

圖丨二維拓撲絕緣體

然而，普林斯頓大學物理學家Andrei Bernevig 團隊卻找到了一條捷徑。《Nature》上發表的「Topological Quantum Chemistry」一文中，他們提出了一套方法論；通過列出晶格中可能存在的能帶、對比 230 種不同的對稱性、計算化學上的成鍵軌道，找出原則上能容納拓撲狀態的材料。

該團隊表示，呈現拓撲效應的材料占現有晶體材料的 10% 到 30%，也就是說很大一部分化合物都將是拓撲材料的候選者。Bernevig說道：「事實上，截止目前為止，我們所知道的僅僅是海量拓撲材料中的一小部分，更多的材料將等待我們挖掘。」

圖丨普林斯頓大學Andrei Bernevig 團隊發表的「Topological Quantum Chemistry」一文

那麼，為什麼實際找到的材料和理論預測的數量差那麼遠呢？這是因為，在對晶格的理解上「物理學派」和「化學學派」的觀念是分離的。高中的化學知識告訴我們，晶體的鏈接源於單個原子間的化學鍵，這對晶體的理解是局部的。而物理學家卻從能帶結構、費米面、k空間等概念上思考，這對晶體的理解是整體的。因此，才導致了現在的被動局面。

其實，Bernevig的方法就是把兩種認知模式結合了起來，從而提出了這套「拓撲圖鑑」。清華大學的物理學家李渭對此表示：「這絕對是一個更加有效的尋找新拓撲絕緣體的方法，我相信將會有更多的新材料問世。」

圖丨該團隊為判定拓撲絕緣體提出的方法步驟

儘管有了「拓撲圖鑑」，科學家仍需在在實驗室繼續探索。論文的共同作者 、馬克斯普朗克固體化學物理研究所的材料科學家 Claudia Felser 提醒到，知道物質具有一些拓撲狀態並不意味著立即能預測它的性質，材料的這些特性仍然需要被計算和測量。

除此之外，研究者面臨的另一個障礙是「強相互作用」拓撲材料。因為在絕大多數目前的研究對象中，電子相互間的靜電排斥力非常的弱，對拓撲效應影響較小；而強相互作用則會給科研工作帶來困難。

一旦解決以上問題，等待人類的將是一個我們無法想像的全新物理圖景。首個三維拓撲絕緣體的發現者、普林斯頓大學的 Zahid Hasan 表示，數學和物理間的相互交叉是這個領域的核心，正是拓撲的極致之美與現實的可行的交融驅使著我們不斷的探索。

拓撲學是什麼？

科學家們花了這麼大力氣弄這麼一個圖鑑出來，可不是閑著沒事幹。在過去十年中，拓撲物理學正經歷著一種爆炸式發展：現在的凝聚態物理論文中，很少有標題不帶「拓撲」字樣的文章。

如果你不想錯過這些重大發現，同時希望不被媒體誤導，你一定不能錯過下面這一波科普。

在數學上，拓撲學是研究多維幾何與空間性質的一門學科，其研究對象必須在拉伸、旋轉、翻折的條件下保持等價的連通性和緊緻性；而不必考慮剪切、斷裂的情況。

通俗地舉個例子，「甜甜圈」我們生活中最常見的拓撲圖形。它中間有一個洞，當我們把甜甜圈拉伸、旋轉、翻折之後，這個洞依然存在；但如果甜甜圈被切斷了，洞就不存在了。所以，「洞」就是該環面的拓撲特徵。而嚴格地說，環面（也就是甜甜圈）的拓撲學定義是兩個圓在三維空間中的笛卡爾乘積。

圖丨環面（也就是甜甜圈）的拓撲學定義是兩個圓在三維空間中的笛卡爾乘積

在某種角度說，拓撲學也是一種從幾何的角度看待事物的方式方法。以電子為例，在奇特的量子物理世界中，電子擁有1/2自旋，對電子自旋進行360度的旋轉將得到相反的自旋方向，即電子波函數的相位改變了180度，使得之前波峰的位置變成了波谷，波谷的位置變成了波峰。如果想要使電子自旋恢復到初始狀態，還需要再轉360度。

如果從拓撲學上看這個性質，電子就像一條扭轉一圈後首位相連的莫比烏斯環。如果一隻螞蟻在莫比烏斯環上爬了一圈，它會發現自己位於出發點的對立面，若想回到初始地，它需要再爬一圈才行。這不正是電子自旋中所發生的「拓撲怪相」嗎？

圖丨電子自旋與莫比烏斯環

事實上，所有由波函數數學結構所形成的幾何空間內都存在「拓撲怪相」，就好比每個電子都是一條莫比烏斯環，帶著某些有趣的拓撲原理。

量子霍爾效應

最初，大多數物理學家研究量子概念時也沒考慮過它們的拓撲意義。直到在上世紀80年代，英國物理學家David Thouless等人才意識到，拓撲理論或許能解釋當時剛剛發現的量子霍爾效應。他們具有前瞻性的研究也在去年被授予諾貝爾獎。

其實，霍爾效應在傳統電學中就已經出現。我們高中的時候就做過這樣的題：

看到這張圖你們有沒有百感交集？說白了，霍爾效應就是運動的電子會在垂直的磁場中受力，從而遵從右手定則發生偏轉，而偏轉的運動則帶來電勢差。

而在量子霍爾效應中，電子在極低溫下被約束在二維平面上運動。這時，霍爾電阻的圖像中出現了詭異的整數化量子平台。經1985年諾獎得主Klaus von Klitzing測算後，確定該電阻值為e^2/h的整數倍，也就是元電荷的平方與普朗克常數之比的整數倍。

圖丨霍爾效應與量子霍爾效應

奇異的是，即使試驗中的金屬板遭到拉伸、旋轉、翻折，甚至存在雜質，其霍爾電阻仍然是該數值的整數倍，這是從前科學家聞所未聞的。

拉伸形變？這麼聽起來是不是感覺似曾相識？是的，正是拓撲性質在這一現象中作祟。正如電子自旋一樣，量子霍爾效應也可以被類比為一種常見的拓撲圖形——環面。在推導霍爾效應波函數時，設立的邊界條件會形成一個幾何意義上的參數空間，該參數空間在拓撲學上與環面等價。

圖丨笛卡爾坐標上的環面

從量子霍爾效應到拓撲絕緣體

可以說，量子霍爾效應是拓撲學在量子領域的「處女秀」，也是邁向現代拓撲絕緣體的第一步。

科學家很快意識到，類似的」霍爾效應」可以在不施加外部磁場的條件下實現——在某些特殊的絕緣體中，材料能通過電子和原子核之間的相互作用自己維繫磁場，使得材料表面的電子具有堅固的「拓撲保護」狀態，並在沒有阻力的情況下流動；最終形成表面導電、內部絕緣的「拓撲絕緣體」。

拓撲絕緣體的特殊性質使其在種類繁多的導體、半導體、絕緣體材料中有著特殊的意義。

首先，「拓撲保護」是拓撲性質對其表層電流的穩定性的絕對保證，材料的表面必定是一種優良的導體，我們幾乎能夠能得到不受老化影響的、恆定不變的電流。想像一種電流絕對穩定、電阻不受長度和橫截面積影響的電路材料，工程師們是不是很激動？

除此之外，該材料的另一神奇之處是，在其表面電流中，自旋方向不同的電子運動方向是相反的；這就像高速公路上的雙行道，方向不同的車輛在兩邊有條不紊的行進，而不能相互越界。

圖丨在拓撲絕緣體表面電流中，自旋方向不同的電子運動方向相反

通過控制這些這些電子的自旋，科學家能在此基礎上製造代替傳統元件的「電子自旋」材料。在傳統電路中，晶體管通過電流的「開」和「關」來表示「0」和「1」的狀態，來傳輸數據。而自旋材料中，我們能把信息裝載在一個個單獨的電子之上，通過其自旋的「上」與「下」來進行運算。或許，拓撲絕緣體的表面就是這種傳輸方式的絕佳載體。

圖丨普通材料與自旋材料的對比

而基於拓撲性質的另一項應用，則是量子計算機。目前，量子計算的最大障礙是所謂的「退相干」效應，任何環境的影響都可能導致量子比特的糾纏態坍塌，所以降低環境噪音是工程師的首要目標。

大家知道，量子計算機在超導電路上運行；試想，如果在拓撲絕緣體表面再附上一層超導體，我們將得到兩種超級材料的加成——急速無損耗電流+拓撲保護。在拓撲保護之下，電路的運行將比平時穩定的多，也許退相干的問題就能得到解決。

而且，在拓撲量子計算機中，量子比特是由一種被稱之為「任意子」（anyon）的二維准粒子構成的。對任意子的操作會在時間上形成一種編織（braid），最終成為量子計算機所需的門電路。該計算機與其他量子計算機能力相當，甚至在某些演算法上還具有優勢，但其最大的優勢在於其穩定性和容錯性，因為它是基於量子比特拓撲結構來進行信息處理的。打個比方說，把兩股線剪斷之後再相互對接（拓撲量子比特退相干）比讓兩股線自然散開（其他量子比特退相干）要難得多。

圖丨拓撲量子比特的糾纏方式

其實，自旋材料和量子計算都只是拓撲絕緣體的潛在應用之一；在這種材料的奇異性質之上，它在未來還有廣闊的前景。然而，回歸拓撲本身，數學變換與物理相交融自身就是優美的，這種簡潔而內稟的美才是驅使我們探索的動力。

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