黎曼猜想（一）：通往質數的征途

作者：黃逸文（中國科學院數學與系統科學研究院）

德國著名數學家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）

1900年，大數學家希爾伯特（Hilbert）在巴黎舉辦的第二屆國際數學家大會上提出了23個數學問題，它為整個二十世紀的數學發展指明了方向。時過境遷，值千禧年之際，美國克雷研究所提出了7個世紀性的數學難題，並慷慨地為每個問題設置了100萬美元的獎金。

當我們回顧這次跨越時空的呼應時，卻發現有一個共同的問題，並且已經伴隨著數學家們走過了滄桑百年的歷程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數學家為此痴迷和魂牽夢繞？在它那裡，又藏著怎樣驚世駭俗的秘密？破譯這樣一個難題，真的會給數學和世界帶來激動人心的改變嗎？

質數探索

在自然數序列中，質數就是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等都是質數。4，6，8，9等等都不是質數。由於每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石，就好比原子是物質世界的基礎一樣。

人們對質數的興趣可以追溯到古希臘時期，彼時歐幾里得用反證法證明了自然數中存在著無窮多個質數，但是對質數的分布規律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發對行蹤詭異的質數感到費解。這些特立獨行的質數，在自然數的汪洋大海里不時拋頭露面後，給千辛萬苦抵達這裡的人們留下驚嘆後，又再次揚長而去。

1737年，瑞士的天才數學家歐拉（Euler）發表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為，終於向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著歐拉開闢的這一戰場，數學王子高斯（Gauss）和另一位數學大師勒讓德（Legendre）深入研究了質數的分布規律，終於各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分布概率，且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏遊戲兩千多年後，質數終於露出了其漂亮的狐狸尾巴。

橫空出世

雖然符合人們的期待，質數定理所預測的分布規律和實際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼（Riemann）當選為德國柏林科學院通信院士。出於對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報，同時為了表達自己的感激之情，他將一篇論文獻給了柏林科學院，論文的題目就是《論小於已知數的質數的個數》。在這篇文章里，黎曼闡述了質數的精確分布規律。

沒有人能預料到，這篇短短8頁的論文，蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們仍然為隱匿在其中的奧秘而苦苦思索。

黎曼Zeta函數

黎曼在文章里定義了一個函數，它被後世稱為黎曼Zeta函數，Zeta函數是關於s的函數，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，當且僅當複數s的實部大於1時，這個無窮級數的求和才能收斂（收斂在這裡指級數的加和總數小於無窮）。

為了研究Zeta函數的性質，黎曼通過圍道積分的方式對該函數做了一個解析延拓，將s存在的空間拓展為複數平面。

研究函數的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函數的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點，並且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓後的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函數自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。

第三個命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如痴如醉且寢食難安的黎曼猜想。

有人曾經問希爾伯特，如果500年後能重回人間，他最希望了解的事情是什麼？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。美國數學家蒙哥馬利（Montgomery）曾經也表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙里，數學家心目中那顆最璀璨的明星。

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