卡爾納普的數學哲學

文史 08-15

實用實用還是實用

《人文社科項目申報300問》

卡爾納普的數學哲學

林夏水

作者簡介：林夏水，中國社會科學院哲學所研究員。

人大複印：《自然辯證法》1995 年 12 期

原發期刊：《自然辯證法通訊》1995 年第 05 期第 1-6 頁

科學哲學

R.卡爾納普(1891～1970)作為維也納學派的一個重要成員，已為哲學界所知曉；但他作為一個數學哲學家，曾經代表邏輯主義，與形式主義、直覺主義進行過論戰，並以其數學哲學觀點影響邏輯經驗主義學派的形成，卻鮮為人知。本文將探討卡爾納普的數學哲學觀點，從一個側面反映這種觀點對邏輯經驗主義的影響。

一、思想淵源

卡爾納普在中學時代就喜歡數學。他在大學學習期間，先攻讀哲學和數學，後來物理學和數學成為主要的專業。他非常喜歡數學是因為，「哲學的諸多流派都處在無休止的爭論中。而與此相反，在數學的領域中，每一個結論都可以得到精確的證明，因此不會產生什麼分歧。」([1],p.3)對數學的興趣，使他有了接受數學哲學的基礎。他在耶拿大學讀書時，正好弗雷格在那裡任特邀數學教授，使他有機會聽到弗雷格關於符號邏輯和數學基礎的講座，接受數學哲學的啟蒙教育。1919年前後，他研讀了懷特海和羅素合著的《數學原理》，其中關於關係理論發展的描述給他以深刻印象，並且從中看到他們是如何實施他們的邏輯主義綱領的。所以，數學的邏輯基礎成為他的主要研究領域之一。

弗雷格是邏輯主義的始祖，他的思想經過羅素的發展成為數學基礎三大學派之一。卡爾納普通過直接聽取弗雷格的講座和閱讀弗雷格和羅素的著作，而接受他們的邏輯主義觀點。他回憶說：「我曾從弗雷格那裡得知，我們可以在邏輯概念的基礎上給一切數學概念下定義，並且還可以從邏輯的原理中推演出數學定理。因此，從真理只是依據於邏輯這種一般意義上說，數學真理是分析的。」([1],p.72)此外，他還學到了分析概念和語言詞句以及區分語句及其表達的意思的思想方法。他回憶說：「從弗雷格那裡，我學會了細緻而清楚地分析概念和語言詞句，區分語句本身和由它所表達的意思。……弗雷格的分析使我堅信，數學的知識從一般的意義上說是分析的，它與邏輯的知識基本上具有相同的性質。……此外，以下這些基本上是來自弗雷格的觀點，在我看來也是無比重要的：在整個知識的體系中，邏輯與數學的任務就在於提供概念、陳述和推理的形式。這些形式可以適用於任何一個領域和學科，因而也適用於非邏輯的知識。」([1],p.17)

如果說弗雷格在具體的數學、邏輯與語義學方面影響了卡爾納普，那麼羅素則在一般的哲學思維方法方面影響著他。他通過學習懷特海與羅素合著的《數學原理》，更加強了他的邏輯主義觀點，同時也看到他們是如何在該書中實施其邏輯主義綱領的。他從弗雷格和羅素那裡不僅繼承了邏輯主義觀點，而且學會運用邏輯分析法。

此外，卡爾納普還從直覺主義和形式主義，以及維特根斯坦等人那裡學到一些加強邏輯主義觀點的思想。例如，他接受形式主義的假設—演繹方法，吸收直覺主義的構造思想。特別是，他接受維特根斯坦的邏輯真理思想。他說：「對我個人來說，維特根斯坦可能是除羅素和弗雷格以外對我的哲學思考影響最大的哲學家。我從他的著作中所獲得的最重要的觀點是：邏輯陳述的真理性僅僅依據其邏輯的結構和詞語本身的意義。邏輯陳述在所有可以想像的情況下都是真實的，因此，它的真理性與世界上的偶然事實無關。而在另一方面，由此可以得出這樣的結論：這些邏輯的陳述沒有論及世界上任何事情，因而沒有什麼實際的內容。」([1],p.38)正是由於卡爾納普接受其他學派的一些「合理」思想，加強了他的邏輯主義觀點，使他成為一個邏輯主義的捍衛者。

二、數學知識是分析的，而不是先天綜合判斷

卡爾納普認為數學與邏輯具有相同的性質——分析性，而且全部數學可以從邏輯推導出來。當邏輯主義觀點為後來的數學基礎研究所否定時他仍然為之辨護，表明他繼續站在邏輯主義的立場上。這有其更深刻的思想根源——對康德先天綜合判斷的批判。

(1)邏輯主義的數學觀

在數學基礎諸學派中，以羅素為代表的邏輯主義的基本命題是：數學可以還原為邏輯學，因此，數學只不過是邏輯學的一部分。卡爾納普接受了這一邏輯主義綱領。他認為：數學知識從一般的意義上說是分析的，它與邏輯的知識基本上具有相同的性質。「一切有效的數學陳述，僅就它們在一切可能的場合下都能成立這種特殊意義而言，它們都是分析的，因而也不具有任何事實內容。」([1],p.73)不過，卡爾納普在這裡所說的數學不包括幾何學。因為在他看來，幾何學可以分為兩部分：數學的幾何學和物理的幾何學。「前者被看作是數學的一部分或關係邏輯的一部分，而物理的幾何學則屬於物理學的一部分。……物理的幾何學具有經驗的性質。」([1],p.77-78)正是由於卡爾納普接受了從弗雷格到羅素的邏輯主義觀點，使他有資格代表邏輯主義出席數學基礎專題討論會，與形式主義、直覺主義進行論戰。

1930年9月，在哥尼斯堡召開物理學家和數學家大會期間，卡爾納普與萊欣巴赫共同組織一次《數學基礎專題討論會》。這是數學基礎學派第一次相聚並公開宣傳各自的綱領的會議。會上，馮·諾伊曼代表形式主義作題為《形式主義的數學基礎》、A.海丁代表直覺主義作題為《直覺主義的數學基礎》、R.卡爾納普代表邏輯主義作題為《邏輯主義的數學基礎》的報告。

卡爾納普的報告分四部分，前兩部分闡述邏輯主義的論題：「數學可以還原為邏輯學」。他把這個論題分解為兩個命題：「1.數學概念可以通過顯定義而從邏輯概念推導出來；2.數學定理可以通過純粹的邏輯演繹法而從邏輯公理推導出來」。然後就如何進行推導問題作了具體論述。後兩部分主要說明邏輯主義從邏輯推導出數學存在的一些困難。這些困難主要是羅素引入的可化歸性公理和兩個非邏輯公理（無窮公理和選擇公理）。關於可化歸性公理問題，卡爾納普認為，由F.P.拉姆齊的研究結果得知，羅素的分支類型論是沒有必要的，只需要簡單類型論就夠了，因此可化歸性公理可以省略。([7],p.31-42)至於其他兩公理，卡爾納普也承認這確實是邏輯主義所面臨的困難。這種困難說明邏輯主義並沒有真正從邏輯推導出數學，只是把數學歸結為集合論。這是數學界和邏輯學界公認的。例如，1960年，A.海丁在斯坦福大學舉行的《邏輯學、方法論和科學哲學》國際學術會議上作題為《三十年以後》的報告，對1930-1960數學基礎研究三十年所作的總結性發言中說：三十年前數學基礎學派中哪一派都認為自己的「觀點是唯一正確的，……並且深信他的觀點在不遠的將來的勝利是無疑的。」和三十年前的情況相比，現在「沒有一個研究方向再自命代表唯一真正的數學。」[8]著名邏輯學家A.莫斯托夫斯基在1964年對數學基礎研究三十年所作的總結報告中更直接地說：「弗雷格和羅素的邏輯主義試圖把數學歸納為邏輯。看起來這倒是個卓越的方案，但一付諸實行，卻發現根本就沒有強得足以囊括全部數學的邏輯。」([9],p.2)但是，後來卡爾納普在1963年出版的《思想自述》一書中又說明如何把這兩個非邏輯公理解釋成分析公理。他說：「後來，我逐漸認識到，如果我們接受了與較窄的構造主義概念相對應的古典數學中所使用的類概念，那麼，選擇公理就成為分析的公理。不僅如此，我還給無窮公理找到了幾種可能的解釋，它們與羅素的解釋不同，並且使這一公理也成為分析的公理。」([1],p.74)這表明卡爾納普直至晚年仍然堅持邏輯主義觀點。

(2)批判康德的先天綜合判斷論

卡爾納普其所以直到晚年還堅持邏輯主義數學觀，有其深刻的思想根源。這就是他對康德的「數學是先天綜合判斷」的觀點的批判。

康德在批判唯理論與經驗論在認識論上的片面性時，力圖把兩派的合理方面結合起來。一方面把命題區分為：分析命題與綜合命題。另一方面又根據知識的來源劃分為：先天的與後天的。提出數學和自然科學是先天綜合判斷的觀點：它們的謂項不是從主項分析出來的，但又是必然地與主項聯結著的判斷；它們既增加新的內容又具有普遍必然性。卡爾納普根據非歐幾何的出現和希爾伯特《幾何基礎》一書的出版，說明康德關於數學性質的觀點已經過時了。他認為：非歐幾何的產生使幾何學分為數學幾何學與物理幾何學。所以「今天，容易看出康德錯誤的根源，就是沒有認識到，有兩種本質上不同的幾何——一種是數學幾何，另一種是物理幾何。」([3],p.177)因為「數學幾何是純數學。用康德的話說，它真的既是分析的而又是先天的。但不可能說它是綜合的，它不過是建立在一定的公理基礎上的演繹系統，而這些公理是無須藉助於任何現存世界來加以解釋的。」([3],p.177)「另一方面，物理幾何與純幾何在這個世界中的運用有關。」歐幾里得的術語具有普通的含義。比如純幾何的點，它是不能觀察到的抽象的點，但它又可以表現物理空間中的一個現實的位置。所以點、線、面、體「這些詞涉及我們居住的物理空間的現實結構，並且也是純幾何學或數學幾何的語言的一部分；這就是19世紀關於幾何學的混亂的根源所在。因為同樣的詞被科學家運用，也被數學家運用，假定二者在同一種幾何中被運用，那就是錯誤的。」([3],p.178)希爾伯特關於幾何基礎的出色工作，使這兩種幾何的區別變得更清楚了。在他的幾何系統中，點、線、面可以用來表示滿足公理中的關係的任何三種實體，所以它們的解釋是自由的、無限的，這與具體應用中的特定意義不同。因此，「當我們說，『幾何學是必定先天的，關於它的定理的真理性是無疑的』的時候，我們講的是數學幾何。但假定我們補充道：『它也告訴我們有關這個世界的某些情況。藉助於它的幫助，我們能預見現實幾何結構的測量結果。』現在我們已經漫不經心地滑到幾何學的另一種意思。這時我們講的是物理幾何，講的是現實空間的結構。數學幾何是先天的，物理幾何是綜合的，沒有什麼幾何既是先天的又是綜合的。」([3],p.179)

三、數學對象的實在性只具有相對的意義

數學基礎學派在討論數學的本體論時，主要集中討論實無窮的存在性（或實在性）問題。卡爾納普則應用語義學觀點在更一般的意義上闡述了抽象數學對象的存在性問題。他認為，數學對象的存在性只是相對於所談論的數學系統而言，才有意義；那種先於數學系統的存在性問題，因為不具有認識內容，所以是沒有意義的，是假的問題。其實，數學對象的存在性問題可以歸結為對所談論的數系統的接受和選擇問題。

卡爾納普早在1935年出版的《哲學和邏輯句法》一書中就應用可證實性原理區別實在性的兩個概念：具有經驗內容的實在性與不具有經驗內容的實在性。他肯定具有經驗內容論題的實在性，而否定不具有經驗內容論題的實在性。例如，心靈的實在性、所予的實在性、共相的實在性、性質的實在性、關係的實在性、數的實在性等等。……所有這些哲學論題都是沒有經驗內容，無法證實的，沒有理論意義的，因而是假的論題。([2],p.8)

1950年他在「經驗論、語意學和本體論」一文（此文作為附錄收入1956年出版的《意義和必然性》一書）中，應用語義學的觀點對存在性或實在性這個本體論問題作了更詳盡的闡述。他說：「經驗論者對於象屬性、類、關係、數、命題等等任何一種抽象對象，一般總是表示懷疑的。」([6],p.82)所以，他們儘可能地試圖避免提及抽象對象。但是，在一定的科學語境中，要避免提到它們好象簡直是不可能的。因此卡爾納普區分了兩種存在或實在性。他說，當有人談到一種新的對象時，他就必須引入一種新的說話方式的系統，這些說話方式是受新規則支配的。這個過程叫做給正在談論的新對象構造一個語言構架。有了語言構架這個概念後，就可以區分兩種存在：「第一，這個新種類的某些對象在語言構架內部的存在問題，我們稱之為內部問題。第二，關於這些對象的系統當作一個整體的存在或實在性問題，叫做外部問題。」([6],p.83)「內部問題和它的可能的答案是藉助於新的表示式來明確表述的。答案可以或用純邏輯的方法或用經驗的方法找到，隨這個構架是一個邏輯的還是一個事實的構架而定。」([6],p.84)例如，「有一張白紙在我的書桌上嗎？」這個問題將由經驗的研究來解答。所以，「內部問題中出現的實在性概念是一個經驗的、科學的、非形而上學的概念。」([6],p.84)

但是，關於事物世界本身的實在性這個外部問題，則是一個相反的問題。它是由哲學家提出來的，爭論了幾個世紀未曾解決過。它也是不可能解決的，因為提法不對。比如，「提出事物世界本身的實在性的那些人也許心裡想的不是象他們的表達式似乎提示的那樣是一個理論問題，而寧可說是一個實際的問題，一個關於我們的語言結構的實際問題。」([6],p.84-85)他們把是否接受正在談論的語言結構的實際問題變成理論問題。就象「如果有人決定接受事物語言，說他已經接受了事物世界，這是無可非議的。但不可以把這句話解釋為好象表示他接受了關於事物世界的實在性的信念；並沒有這樣的信念或斷言或假設，因為這不是一個理論問題。接受事物世界的意思不過是接受一定的語言形式，換句話說，接受形成陳述的規則和檢驗、接受或不接受這些陳述的規則。」([6],p.85)

卡爾納普把上述關於實在性問題的一些思想應用於數學中。他說：在數的系統中也有「內部問題」。「例如，『有一個大於一百的素數嗎？』但是，在這裡不是用以觀察為基礎的經驗研究，而是用以新的表示式的規則為基礎的邏輯分析來尋求答案。所以這裡答案是分析的，即邏輯地真的。([6],p.86)可是，為什麼有些哲學家會提出關於數的存在或實在性的哲學性問題呢？因為他們把存在的相對性絕對化了。例如，在數的系統中，「數是存在的」，或者說，「有一個n，使得n是一個數」。這個陳述可以由數的系統中「五是一個數」這一分析陳述得出。所以「數是存在的」這句話，只表示這個系統是非空的。它是內部問題。可是，有些哲學家卻說，它不是內部問題，而是外部問題，即「先於這個新構架（即新的數系統——引注）的接受的問題」，以此來說明，數具有某種實在性，或「獨立對象」地位的形而上學特性的問題。不幸的是，這些哲學家迄今「未曾做到給予這個外部問題及其可能的答案以任何的認識內容。……我們有理由懷疑他們的問題是一個偽問題，就是說，一個以理論問題的形式偽裝起來而事實上卻是非理論性的問題；在目前這個例子，它是一個是否要把那構成數的構架的新語言形式吸收到語言中來的實際問題。」([6],p.87)卡爾納普就這樣把數學對象的本體論問題變成一個是否接受所談論的語言構架問題，從而否定一般所談論的數學對象的存在性問題。

四、對邏輯經驗主義學派的影響

卡爾納普的數學哲學對維也納學派的影響主要表現在兩個方面：關於數學性質的觀點本身和應用數學-邏輯分析法於非邏輯的知識領域。

(1)數學觀的影響

卡爾納普早在參加維也納小組（1926年）以前就形成了關於數學的邏輯主義觀點。由於他的數學觀的系統，因而在維也納學派關於數學性質觀點的形成過程中起起到該學派其他成員（邏輯學家魏斯曼和數學家H.漢森(Hahn)、K.盂格爾(Menger)、K.哥德爾(Godel)等人）所起不到的作用，而這種觀點的確立對該學派來說具有重要意義。這正如他所說的：「這種觀點的重要之處就在於這樣一個事實，即我們第一次有可能把經驗主義的基本原則與一種對邏輯和數學的性質令人滿意的結合到一起。……這是經驗主義發展中的重要進步。」因為在此之前，哲學家們或者認為數學的知識基於純直觀或純理性（即非經驗主義的觀點）；或者象J.S.密爾(Mill)等人認為邏輯和數學的定理與觀察事件的知識一樣，具有經驗的性質。([1],p.73)正是他們有了關於數學性質的基本看法，才使他們有可能通過邏輯的分析法發展出既區別於休謨和密爾的經驗論，又不同於孔德和馬赫的實證主義的邏輯實證主義。

(2)應用邏輯分析法於非邏輯的知識領域

卡爾納普為了把邏輯分析法應用於非邏輯的知識領域，首先應用數學中的形式化方法，把語言系統變成形式系統，然後分析系統中的句子類型，說明哲學研究的任務就是邏輯分析，進一步為邏輯實證主義奠定基礎。

他說：「和希爾伯特在他的元數學中應用於數學系統的相同的形式方法，也由我們在我們的邏輯句法應用於科學之整個語言系統，或它的任何特殊部分，或任何其他語言系統。」([2],p.21)怎樣應用希爾伯特的形式化方法呢？他首先捨棄語詞的涵義，然後仿效數學形式化方法，引入形成規則（規定系統的句子如何能由各種不同符號構造出來）、變形規則（規定如何將給定的句子變形為其他的句子）、兩個原始名詞（句子和直接後承）和由原始名詞定義的若干句法名詞，這樣就構成一個語言的形式系統（卡爾納普有時叫做語言的「邏輯句法理論」）

有了語言的形式系統以後，邏輯句法的任務就是藉助句法名詞來陳述一些定義，並分析給定的句子、證明和理論等等。這樣一種邏輯分析的結果就可以表述為如下的句法句子：「包含在某一理論中的一個這種這樣的句子是綜合的，而另一個句子僅僅是分析的」。([2],p.33)可是，還有另外一些句子。它們似乎屬於完全不同種類。比如說，似乎不僅涉及語言表達的形式，而且也涉及完全另外一種樣子的對象（諸如空間和時間的結構、事物與其性質的關係、數和數值函項的特性等等）。因此，通過這種句法分析使我們發現三類不同的句子。第一類叫做句法句子，它「涉及語言表達的形式」；第二類叫做真對象句子，它「涉及的不是語言的表達，而是語言以外的對象」；第三類叫做假對象句子，它是「介乎二者之間的一種句子，這種句子可以說是兩棲的，在它們的形式方面象對象句子，但在它們的內容方面又象句法句子」。([2],p.34)也就是說，它表面上象對象句子，但實際上卻是句法句子。例如，「玫瑰花是紅的」，這個句子是真對象句子。「玫瑰花這個詞是一個事物的詞」，這個句子是句法句子。「玫瑰花是一個事物」，這個句子是假對象句子。因為在假的對象句子里的說話方式中出現指稱對象或物質的詞，而在句法句子中所用的詞只涉及形式。所以，假對象句子也叫做說話的實質方式的句子，句法句子也叫做說話的形式方式的句子。

卡爾納普認為，「這種實質說話方式的使用經常導致混亂和無謂的哲學爭論」。第一種情況是，由於說話的實質方式的誘惑而提出一些假的問題。例如，在數學中使用實質方式時，由於它談到的是數而不是數的表達式，這就誘導人們提出數的實在性的哲學問題（如，數是實在的對象還是觀念的對象？等）。第二種情況是，由於使用了說話的實質方式，同時又忽視語言系統的相對性而引起的哲學爭論。例如，在懷特海和羅素的系統中，數是作為類的類來處理的，而在皮業諾和希爾伯特的系統中，數是作為原始對象來處理的。他們雙方對數究竟是什麼進行無休止的爭論。一方說：「數是類的類」。另一方說：「數是原始的對象，獨立的元素」。怎麼解決由於使用說話的實質方式所引起的混亂和無謂的哲學爭論呢？

他說：「這種混亂和爭論是能夠通過把這些爭論的論題翻譯成為形式的方式來解決的。」([2],p.38-39)怎樣翻譯呢？他說：「一般地說，每一個具有『……是一個事物』這種形式的句子都屬於實質方式」。其中與「事物」這個詞起著相同作用的還有其他一些詞。比如，性質、關係、數、事件等等。所以為了避免危險的實質方式，就必須迴避「事物」這個詞，而用「平行的句法名詞『事物指稱』來代替」。與此相類似，可以用「數字指稱」代替「數」，用「性質指稱」代替「性質」，用「關係指稱」代替「關係」等等。通過這種替代就可以把實質方式翻譯成形式方式，從而避免出現哲學上的假問題。因此，他提醒人們，「在哲學討論中，如果一方不能或不願意提出他的論題的形式方式的譯文，或者如果他不陳述他的論題引據哪種語言系統，那麼另一方最好是拒絕和他辨論，因為他的對手的論題是不完備的，而且這種討論除了導致空洞的爭吵之外，別無其他。」([2],p.46)

卡爾納普的上述分析向我們表明，既然真對象句子涉及語言以外的對象，是綜合的，屬於自然科學研究的對象；句法句子只涉及語言的表達形式；而假的對象句子可以翻譯成句法句子，因此，表達邏輯分析結果的句子都是句法句子，也就是說，哲學就是句法方法的應用，或者說，哲學的任務就是邏輯分析。這樣，他就把經驗與邏輯更緊密地結合起來，為邏輯經驗主義的建立作出了特有的貢獻。

參考文獻：

[1] R.卡爾納普：《卡爾納普思想自述》(1963)，上海譯文出版社，1985。

[2] R.卡爾納普：《哲學和邏輯句法》(1935)，上海人民出版社，1962。

[3] R.卡爾納普：《科學哲學導論》(1966)，中山大學出版社，1987。

[4] R.卡爾納普等原著：《科學哲學和科學方法論》，華夏出版社，1990。

[5] 洪謙主編：《現代西方哲學論著選輯》（上冊），商務印書館，1993。

[6] 洪謙主編：《邏輯經驗主義》（上卷），商務印書館，1982。

[7] P.Benacerraf andH.Putnam ed.Philosophyof Mathemalics:Selected Reading,Cambridge University Prce,1964,first edition.