從化圓為方到選擇公理

文化 08-16

化圓為方，與三等分角、倍立方體並稱古希臘三大幾何作圖問題。給定一個圓，它要求我們用圓規和直尺畫出一個面積相等的正方形。這個坑一挖開，從古希臘到現在不斷有人往裡跳。

直到解析幾何的出現，人們才從根本上證明了這個問題的不可能性：化圓為方相當於作出 π 的平方根，但尺規作圖只能進行四則運算和開平方，對作為超越數的 π 無能為力。

但這並不能阻擋某些「數學愛好者」的腳步。至今仍有人往這個大坑裡跳，而且摔得樂此不疲。

化圓為方問題，本質上就是要求作 π 的平方根。

達·芬奇的「解法」

有人跳坑，也就肯定有人耍點小聰明繞道而行。達·芬奇這位聰明人就想了一個很簡單的辦法：假設圓半徑為 r，造一個半徑為 r 高度為 r/2 的圓柱體，它的側面面積恰好就是 πr^2 。接下來就好辦了，用繩子把圓柱體的「腰圍」和「身高」量一下，放到紙上形成一個矩形，然後用直尺圓規來將這個矩形化為正方形就好了。

這個方法相當狡猾，用「度量」的方法巧妙避開了「作出 π 的平方根」這個問題。當然，在歐幾里德這些希臘人的眼中，這種方法只是取巧，因為一來不精確，二來太犯規，用了直尺圓規以外的工具。即使用直尺和圓規來度量也不行，尺規作圖的規定就是，直尺只能拿來畫直線，圓規則是畫圓，它們不能有「度量」的功能。

塔斯基的問題

那如果我們用更基本的東西來完成任務呢？比如說將圓切成幾塊，然後拼成一個正方形？那雖然不能說是「尺規作圖」，但在某種意義上比尺規作圖更基本，不是嗎？

數學家塔斯基（Alfred Tarski）在 1925 年提出的，正是這樣一個挑戰。用更精確的數學語言來說，就是要求把平面上的單位圓盤分割成有限塊，每一塊是一個點集，然後通過平移和旋轉這些保持面積的方法，將這些點集拼成面積相同的正方形。怎麼分割都無所謂，甚至是沒辦法做出來的分割也可以，唯獨是「有限塊」這種限制不能去掉。如果能分割成無限塊的話，那就太簡單了，只要把單位圓盤「磨成細末」，每一塊都只有一個點的話，那別說是拼成正方形，就是拼成一幅對聯也問題不大。即使是犯規，也是有底線的。

這乍聽起來是個很無理的問題。別的先不說，要把圓變成正方形，總要先處理那彎彎的圓周吧？看起來無論怎麼切，只要是有限塊，那恐怕也不能將彎曲的邊界拗成直線。實際上，可以證明，如果只用剪刀這樣的工具的話（從數學上來說就是如果每一塊的邊界都是簡單閉合曲線的話），這個任務是不可能做到的。但是，原來的題目中也沒有限制只能用剪刀。只要是「點集」，無論是否連在一起，都符合要求，所以希望還有，不過就是更「犯規」一點而已。

拉茲柯維奇的答案

在 1990 年，匈牙利數學家拉茲柯維奇（Miklós Laczkovich）終於肯定地解答了塔斯基的這個問題。他證明了這樣的先割後補的「化圓為方」方法是存在的。美中不足的是，他並沒有實際給出一個割補的方法，而只是證明了這樣的方法存在，而且粗略估計需要將圓切成大約 10 的 50 次方個點集。而更為犯規的是，這些點集是沒有面積的。這些點集甚至不是面積為 0，而是我們根本無法定義它們的面積。在數學上，這些無法定義面積的點集叫不可測集。為了定義這些集合，拉茲柯維奇在證明中大量使用了選擇公理，這是定義不可測集的唯一方法，也是令我們不能明確構造分割方法的原因。 [注1]

儘管現在大多數數學家都會自然地運用選擇公理和它的各種變種，但在 20 世紀初，公理集合論起步伊始之時，是否允許使用選擇公理曾經是熱門的爭論話題之一，直接與針對數學基礎的第三次數學革命扯上了關係。整場風波圍繞著一個問題：什麼是可以被接受的數學推理？這場關於數學基礎的爭論持續了幾十年才慢慢平息下來。其中也產生了一些饒有趣味的結果，比如說同樣利用選擇公理，我們可以將一個球分成幾個不可測集，然後用這幾個不可測集拼成兩個和原來相同大小的球！儘管在直觀上很難接受，但在數學上這的確成立。這個定理叫巴拿赫-塔斯基悖論，這位塔斯基正是提出上文中問題的那位塔斯基。