清華筆記：計算共形幾何講義 離散曲面曲率流 IV

設計黎曼度量又是計算機圖形學、計算機視覺、計算力學、醫學圖像等領域最為基本的問題之一。許多工程中的關鍵問題可以歸結為設計一種特殊的黎曼度量。離散曲面Ricci流是通過曲率來設計黎曼度量的有力武器。迄今為止，這是唯一的一種方法，既有嚴密的理論基礎，又有高效穩定的演算法。

在前述章節中，我們證明了離散曲面曲率流解的存在性、唯一性，其對應熵能量的凸性及其幾何解釋。這一講，我們來證明離散曲率流所得到的離散共形變換收斂到光滑Ricci flow的結果。因為離散曲率流方法完全獨立於傳統的有限元分析方法，因此其收斂性證明的方法也必然是迥異的。通過冗長而嚴密地推導，我們給出了精確的逼近結果。

收斂性定理陳述

這裡，我們首先解釋主要的收斂性結果。

定義（-三角剖分）給定一個緊的多面體曲面（Polyhedral Surface），三角剖分是一個-三角剖分，，如果每個面上所有的內角都在區間中。

定義（-三角剖分）給定一個緊的三角剖分的多面體曲面（Triangulated Polyhedral Surface），的一個（Geometric Subdivision Sequence）幾何細分系列是細分系列，這裡，為正常數，如果每個都是-三角剖分，並且邊長滿足

。

如上定義中，多面體曲面可以被替換成一般的帶有黎曼度量曲面，三角剖分可以被替代成測地三角剖分，由此得到所謂的測地細分系列。

定理1（離散曲率流收斂性定理）給定帶有黎曼度量的曲邊三角形，在三個角點處的內角為，給定一個測地細分系列，對於任意邊

，為度量下的測地長度。那麼存在離散共形因子，對於足夠大的，令

滿足

和平面等邊三角形等距，同時是-三角剖分，

離散單值化映射一致收斂到光滑單值化映射，使得

。

主要技術定理

我們證明過程中的主要工具是如下的定理，這些工具性定理的證明細節可以在【1】找到，這裡我們直接給出結論。

定理2給定一個緊的三角剖分的多面體曲面，是它的一個幾何細分系列；是另外一系列多面體度量，滿足不等式條件：

,

這裡是一個正常數，那麼存在常數，和離散共形因子，對於足夠大的，

是-三角剖分。

離散共形因子

並且我們有估計

。

引理. 假設是一個光滑的緊度量曲面，其邊界可能非空並且帶有角點，是另外一個黎曼度量，和初始度量共形等價，這裡共形因子

為二階光滑函數，那麼存在常數，使得對於任意連接兩點和的測地線段，或者為光滑邊界曲線段，,我們有估計

。

證明框架

圖1. 平面等邊三角形。

圖1顯示了經典的平面等邊三角形，。每條邊的長度為1，給個內角為。一次細分操作（subidivision operator）加入每條邊的中點，然後連接這些中點，將每個三角形分成4個三角形。第n次細分操作之後，所得的離散曲面記為，其三角剖分記為，其PL度量由平面歐氏度量所誘導，表示成邊長函數。我們用來表示這一離散曲面。

顯然，是一個細分系列，這裡，是任意小的正數。

圖2. 光滑曲面。

圖2顯示了一個帶有黎曼度量的光滑曲面，有三個角點（corner points），其邊界是連接角點的三條光滑曲線，；在任意角點處，兩條光滑邊界曲線的交角是。

根據黎曼映照定理，存在共形映射，將角點映成角點，邊界曲線映成邊界曲線。因為曲面為緊曲面，對應角點處的角度相同，所以映射誘導的共形因子函數光滑有界，

。

同時映射將的三角剖分拉回到光滑曲面上。我們在上將的每條邊都用測地線段來代替，頂點保留，於是得到光滑曲面的一個測地三角剖分，記為，這裡是三角剖分的測地邊長。

因為為共形映射，共形因子一致連續，當足夠大的時候，在

的每個三角形面上，共形因子幾乎為常數，三角形的測地邊長几乎相等。

是曲面的一個測地細分系列。對於任意的正數，存在

，當時，。

圖3. 離散化。

圖3顯示了將光滑曲面離散化。我們將抽象的離散曲面轉換成PL曲面。對於任何一個面，帶有三個邊，我們以為邊長構造一個歐氏三角形，然後將這些歐氏三角形沿著公共邊等距地粘貼起來，得到一個具有PL度量的離散曲面，。

根據幾何逼近論，的度量（包括Laplace-Beltrami 運算元）收斂到光滑曲面的度量。因為共形因子一致連續，當足夠大的時候，在

的每個三角形面幾乎為等邊三角形。為細分系列，這裡常數

是曲面黎曼度量和共形因子的函數。

我們計劃構造離散共形映射，然證明在某種模（norm）下，離散共形映射收斂到光滑黎曼映照，。

圖4. 逼近。

圖4顯示了對黎曼映照的初步逼近。光滑黎曼映射誘導的共形因子為，

。

我們定義其對應的離散共形因子，對一切頂點，

,

這裡，。

我們用離散曲面來逼近光滑曲面，離散度量來逼近光滑度量，離散共形因子來逼近光滑共形因子，用頂點縮放來逼近共形變換，

，

這裡平直度量

。

由此，得到離散曲面，用於逼近平面等邊三角形。

由引理1，我們得到如下估計：存在常數，這裡平直度量，對於一切邊，

。

圖5. 補償化。

我們最後對初步逼近得到的離散度量進一步補償。由定理2，我們得到存在離散共形因子，使得

是-三角剖分，

，這意味著成為平面等邊三角形，

共形因子的模

,

對於一切邊

。

我們來證明主要定理1：由是-三角剖分，我們證明了主定理結論中的（a）。我們構造分片線性映射，因為和都是等邊三角形，通過反射，我們將映射拓展成複平面到自身的映射，。

由是-三角剖分，我們得到存在一個大於1的正數，是-擬共形映射。我們得到複平面到自身的-擬共形映射族，由擬共形映射族的緊性，存在收斂子列，

。

令，由4我們得到

，

因此極限-擬共形映射的伸縮商，即是共形映射。同時將的三個角點映到的三個角點，因此是複平面到自身的恆同映射。由此，我們證明了主定理結論中的（b）。

總結

綜上所述，我們的整體證明思路是：

這裡映射是用測地距離來離散化光滑曲面；是光滑共形因子來直接逼近單值化映射；是進一步補償離散帶來的誤差；是離散單值化映射。擬共形映射的Beltrami係數的模小於，這給出了逼近階。這一方法可以推廣到拓撲複雜的曲面情形。

近二十年來，在工程領域，學者們發明了大量的計算共形映射的演算法。真正給出收斂性證明和逼近階估計的工作卻極其稀少。依隨這一領域的日益成熟，我們期待看到更多有關演算法收斂性的嚴格證明。

Reference

X. Gu, F. Luo and T. Wu, Convergence of Discrete Conformal Geometry and Computation of Uniformization Maps, Asian Journal of Mathematics, 2017.

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