清華筆記：計算共形幾何講義 離散曲面曲率流 V

前面我們介紹了離散曲面的曲率流理論，曲面上配備著歐氏度量帶有奇異點。這次，我們介紹雙曲離散曲面的曲率流理論。對於歐拉示性數為負的曲面，其單值化度量自然是雙曲度量。雙曲度量具有非常多的優點，因此在工程實踐中起到了非常根本的作用。

例如雙曲度量下，每個曲線同倫類中存在唯一的測地線，兩條封閉曲線同倫當且僅當它們可以同倫變換成同一條測地線，因此可以將拓撲問題轉化成幾何問題。再如，如果源曲面和目標曲面同胚，目標具有雙曲度量，那麼調和映照存在並且唯一，並且調和映照為微分同胚。這在曲面配准問題中，具有重要作用。

計算曲面雙曲度量的最為簡單方法就是雙曲離散曲面的曲率流方法。

雙曲背景幾何

圖1. 多面體曲面。

在工程實踐中，光滑曲面嵌入在三維歐氏空間中，因而具有歐氏度量誘導的黎曼度量。我們在曲面上採樣，然後以這些採樣點為頂點進行三角剖分，將每個面變成歐氏三角形，如此得到了一個多面體曲面（Polyhedral Surface）。

圖2. 常曲率測地三角形。

我們也可以將每個面上的歐氏三角形換成常曲率測地三角形，例如球面三角形或者雙曲三角形。換言之，給定一個邊長函數，在每個面

上滿足三角形不等式，；我們用邊長構造一個雙曲三角形，我們將這些雙曲三角形沿著公共邊等距地粘貼起來，所得的曲面被稱為是一個帶有雙曲背景幾何的離散曲面（discrete surface with hyperbolic background geometry），記為。這裡頂點集合成為雙曲度量的錐奇異點（cone singularities）。

雙曲離散曲面曲率流

圖3. 雙曲三角形。

如圖3所示，雙曲三角形的邊長和內角之間滿足雙曲餘弦定理：

和正弦定理：

,

同時雙曲三角形的面積等於

。

雙曲微分餘弦定理表示為：

。

給定一個帶有雙曲背景幾何的離散曲面，每個三角形都是測地雙曲三角形，頂點處的離散曲率定義為角欠，

,

離散高斯-博納定理表示為：

。

給定離散共形因子函數，雙曲頂點縮放（hyperbolic vertex scaling）操作定義如下：，

。

通過直接計算，我們得到

這裡，。通過直接計算，我們得到對稱關係

這樣，離散雙曲熵能量被定義成

。

圖4. 廣義雙曲四面體。

如圖4所示，我們為三角形在中構造廣義雙曲四面體，頂點

在無窮遠平面上，被三個horosphere截斷。在之外，被一個雙曲平面截斷。雙曲四面體由6條邊長所決定，

,

這裡為共形結構參數，為常數，

,

所有的二面角為

為共形因子的函數。根據Schlafli定理，我們雙曲四面體體積的變分公式，

我們構造函數

,

那麼我們直接得到

。

由此，我們得到離散雙曲曲率流方程為：

,

它是雙曲離散熵能量的梯度流，

,

這一能量的嚴格凹性蘊含著離散雙曲曲率流解的唯一性。我們用Teichmuller理論和區域不變原理可以證明解的存在性【2】。

雙曲離散曲率流的拓撲應用

圖5. 虧格為2的曲面上的雙曲度量。

雙曲度量比較抽象，遠離人們日常生活。但是在幾何和拓撲問題中，發揮著非常基本的作用。我們可以考察計算拓撲中的「最短詞」（shortest word）問題。

圖6. 最短詞問題。

如圖6所示，給定一個高虧格曲面，和一組基本群基底，例如

，

對於任意給定的封閉曲線，我們欲求同倫類在基本群中的表示。一般情況下，的表示並不唯一，如圖6所示，

。

對於任給的同倫類，求其中最短的表示被稱為是最短詞問題。只用代數拓撲方法，最短詞問題是NP難問題。但是如果我們將所有的基底曲線形變成測地線，將也同倫變換成測地線，如圖7所示，那麼最短詞問題在多項式時間內可解。

圖7. 將基本群基底同倫變換成測地線。

給定初始曲面，我們用離散雙曲曲率流的演算法得到雙曲度量。將曲面的基本群基底同倫變換成測地線。設是曲面的萬有復迭空間，我們將等距嵌入在雙曲平面中，基本群基底曲線在中的提升構成的胞腔分解，每個胞腔是曲面的一個基本域（funadamental domain），其邊界為測地線，如圖8所示。

圖8. 虧格為2的曲面的雙曲度量，及其萬有復迭空間的等距嵌入。

我們將同倫變換成測地線，然後提升到中，記為；再將的表示初始化為空，；追蹤，如果穿過，在後加上，；如果穿過，在後加上，。如此，我們可以得到同倫類的最短詞表示。

這裡我們看到一個饒有興味的現象：某些具有非多項式複雜度的演算法，經過恰當選取黎曼度量，被轉化成具有多項式複雜度的演算法。這種用幾何做拓撲的思路非常奏效，值得進一步探索。

雙曲共形模

圖9. 虧格為3的曲面的共形模計算。

給定一個高虧格封閉曲面，由單值化定理，存在共形因子，使得誘導常數值高斯曲率，常數為-1。亦即單值化度量為雙曲度量。兩個帶度量的曲面共形等價，當且僅當在它們的單值化度量下，它們彼此等距。

設是曲面的萬有復迭空間，其覆蓋變換群（甲板映射群）和曲面本身的基本群同構，我們記為:

,

這裡。投影映射將雙曲度量拉回到覆蓋空間上得到雙曲曲面。我們將等距嵌入在雙曲平面中，那麼覆蓋空間的覆蓋映射群成為等距變換群的子群，被稱為是曲面的Fuchs群。Fuchs群的每個元素都是雙曲平面的等距變換，即莫比烏斯變換，

,

Fuchs群有個生成元，每個生成元有3個自由度，一共6個自由度。整體約束

,

減少了3個自由度。另外，我們對整個進行一個莫比烏斯變換，這樣又減少了3個自由度。所以，一共有個自由度。

如此，我們證明了虧格為的封閉曲面的Teichmuller空間是維，Fuchs群生成元就構成了曲面在Teichmuller空間中的坐標，即曲面的共形不變數的一種表示形式。這為曲面分類提供了直接的計算方法。

總結

從理論角度而言，雙曲背景幾何下的離散曲面曲率流和歐氏背景幾何下的曲率流具有相似的理論框架。從計算角度而言，因為雙曲離散熵能量是嚴格凸的，沒有零空間，雙曲曲率流具有更穩定的收斂性；由於雙曲度量的共形因子在靠近邊界時趨於無窮大，雙曲離散曲面（頂點離散高斯曲率處處為0）在中的等距嵌入的演算法對於數值誤差更為敏感，因此雙曲曲率流的計算需要更高的精度。

雙曲度量具有很多優點，可以用於簡化拓撲問題，可視化一般圖的嵌入問題，拓撲複雜曲面間的配准問題，曲面的幾何分類問題，光滑樣條曲面的構造問題，網路中的安全路由問題等等，因此在工程中具有根本的重要性。

Reference

M. Zhang, R. Guo, W. Zeng, F. Luo, S-T Yau and X. Gu, The unified discrete surface Ricci flow，Graphics Models Vol 76 (5), Pages 321-339, 2014.

X. Gu, R. Guo, F. Luo, J. Sun and T. Wu, A discrete Uniformization theorem for polyhedral surfaces II, Journal of Differential Geometry, 2016

(arXiv:1401.4594)

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