哈爾莫斯：怎樣做數學研究

科技 08-02

有誰能告訴別人怎樣去做研究，怎樣去創造，怎樣去發現新東西？幾乎肯定這是不可能的。在很長一段時間裡，我始終努力學習數學，理解數學，尋求真理，證明一個定理，解決一個問題——現在我要努力說清楚我是怎樣去做這些工作的，整個工作過程中重要部分是腦力勞動，那可是難以講清楚的——但我至少可以試著講一講體力勞動的那一部分。

數學並非是一門演繹科學——那已是老生常談了。當你試圖去證明一個定理時，你不僅只是羅列假設，然後開始推理，你所要做的工作應是反覆試驗，不斷摸索，猜測。你要想弄清楚事實真相，在這點上你做的就像實驗室里的技師，只是在其精確性和信息量上有些區別罷了。如果哲學家有膽量，他們也可能像看技師一樣地看我們。

我喜歡做研究，我想做研究，我也得做研究，我卻不願坐下來開始做研究——我是能拖則拖遲遲不肯動手。儘管我對工作無限眷戀，我仍是不願意著手去做它；每做一項工作都像是一場打仗格鬥。難道就沒有什麼事我能（或必須？）先行干好嗎？難道我就不能先將鉛筆削好嗎？事實上我從來不用鉛筆，但「削鉛筆」已成為一切有助於延遲集中創造精力帶來的痛苦的手法的代名詞。它的意思可以是在圖書館查閱資料，可以是整理舊筆記，甚至可以視為明天要講的課作準備，干這些事的理由是：一旦這些事了結了，我就真正能做到一心一意而不受干擾了。

當卡米查埃(Carmichael)抱怨說他當研究生院主任每周可用於研究工作的時間不超過20小時的時候，我感到很奇怪，我現在仍覺得很奇怪。在我大出成果的那些年代裡，我每周也許平均用20小時作全神貫注的數學思考，但大大超過20小時的情況是極少的。這極少的例外，在我的一生中只有兩三次，他們都是在我長長的思想階梯接近頂點時來到的。儘管我從來未當過研究生院主任，我似乎每天只有干三，四個小時工作的精力，這是真正的「工作」；剩下的時間我用於寫作，教書，作評論，與人交換意見，作鑒定，作講座，干編輯活，旅行。一般地說，我總是想出各種辦法來「削鉛筆」。每個做研究工作的人都陷入過休閑期。在我的休閑期中，其他的職業活動，低到並包括教教課,成了我生活的一種借口。是的，是的，我也許今天沒有證明出任何新定理，但至少我今天將正弦定理解釋得十分透徹，我沒白吃一天飯。

數學家們為什麼要研究？這問題有好幾個回答。我喜愛的回答是：有好奇心——我們需要知道.這幾乎等於說「因為我願意這樣做」，我就接受這一回答——那也是一個好回答。然而還有其它的回答，它們要實在些。

我們給未來的工程師，物理學家，生物學家，心理學家，經濟學家，還有數學家教數學。如果我們只教會他們解課本中的習題，那不等他們畢業，他們受到的教育便過時了。即使從粗糙而世俗的工商業觀點來看，我們的學生也得準備回答未來的問題，甚至在我們課堂上從未問過的問題。只教他們已為人們所知的一切東西是不夠的——他們也必須知道如何去發現尚未被發現的東西。換句話說，他們必須接受獨立解題的訓練——去做研究工作。一個教師，如果他從不總是在考慮解題——解答他尚不知道答案的題目——從心理上來說，他就是不打算教他的學生們解題的本領。

做研究工作，有一點我不擅長因而也從不喜歡的是競爭。我不太善於搶在別人前面已獲得榮譽。我爭當第一的另一辦法是離開研究主流方向去獨自尋找屬於我自己的一潭小而深的洄水。我討厭為證明一個著名猜想而耗費大量的時間卻得不到結果，所以我所乾的事無非是分檢出被別人漏掉的概念和闡明富有結果的問題。這樣的事在你一生當中不可能常做，如果那概念和那些個問題真是「正確」的，它們便會被廣泛接受，而你則很有可能在你自己的課題發展中，被更有能力和更有眼光的人們甩在後面。這很公平，我能受得了；這是合理的分工，當然我希望次正規不變子空間定理是我證明的，但至少我在引入概念和指出方法方面做過一點貢獻。

不介入競爭的另一個方面就是我對強調搶時間爭速度不以為然。我問我自己，落後於最近的精美的成果一兩年又有什麼關係呢？一點關係都沒有，我這樣對自己說，但即使對我自己來說，這樣的回答有時也不管用，對那些心裡構成和我相異的人們來說，這樣的回答總是錯的.當羅蒙諾索夫（Lomonosov）(關於交換緊運算元的聯立不變子空間)和斯科特.布朗（ScottBrown）的（關於次正規運算元）消息傳開時，我激動的就像我是第二位運算元理論家似的，急切的想迅速的知道詳情.然而這種破例的情形是少有的。所以我仍然可以在我一生大部分時間中心安理得地生活於時代之後。

還有寫作。我在我的書桌前坐下，提起一桿黑色的圓珠筆，開始在一張81/2x11見方的標準用紙上寫作.我在右上角上寫上個「1」，然後開始：「這些筆記的目的是研究秩為1的攝動在…的格上的影響。」在這一自然段寫完後，我在稿紙邊上標上個黑體「A」字，然後開始寫B段，頁數字和段落字構成了參考系統，常常可以一連寫上好一百頁：87C意味著87頁上C段。我將這些頁手稿放入三環筆記夾中，在夾脊上貼上標籤：逼近論，格，積分運算元等等。如果一個研究項目獲得成功，這筆記本便成為一篇論文，但不管成功與否，這筆記本是很難扔掉的。我常在我的書桌旁的書架上放上幾十本，我仍然希望那些未完成的筆記將繼續得到新的補充，希望那些已成為文章發表的筆記以後會被發現隱含著某種被忽視了的新思路的寶貴萌芽，而這種新思路恰恰是為解決某一懸而未決的大問題所需要的。

我繼續儘可能長時間地坐在我的書桌前——這可以理解為，我只要有精力，或者只要有時間，我就這樣坐在書桌前，我努力整理筆記到一個弱拍出現為止，如一個引理的確定，或者，在最壞的情況下，一個未經過仔細研究但明顯不是沒希望解答的問題被提出。那樣，我的潛意識可以投入工作了，並且在最好的時候，在我走向辦公室時，或者給一個班上課時，甚至在夜間睡眠中，我取得意外的進展。那捉摸不透的問題解答有時讓我無法入睡，但我似乎養成了一種愚弄我自己的辦法了.在我翻來覆去一會後，時間並不長——通常僅為幾分鐘——我「解決」了那問題；那問題的證明或反例在閃念中出現了，我心滿意足了，翻了個身便睡著了。那閃念幾乎總被證明是假的；那證明有個巨大的漏洞，或者那反例根本就不反對任何東西。可不管怎麼說，我對那個「解」相信的時間，長的足夠使我睡個好覺。奇怪的事情是，在夜間，在床上，在黑暗中，我從未記得我懷疑過那「思路」，我百分之百地相信它可是件大好事，對一些情形它甚至被證明是正確的。

我不在乎坐在鍾邊工作，當因為到了上課的時間或者到了除去吃飯的時間，而我必須停止思考時，我總是高興地將我的筆記收起來。我也許會在下樓去教室的路上，或者在發動我的汽車，關閉我車庫門時仔細思考我的問題；但我並不因為這種打擾而生氣（不像我的一些朋友們說的那樣，他們討厭被打斷思緒）。這些都是生活的組成部分，一想到幾小時後我倆——我的工作和我——又要相聚時，我就感到很舒坦。

好的問題，好的研究問題，打哪兒來呢？它們也許來自一個隱蔽的洞穴，同在那個洞穴里，作家發現了他們的小說情節，作曲家則發現了他們的曲調——誰也不知道它在何方，甚至在偶然之中闖進一兩次後，也記不清它的位置。有一點是肯定的：好的問題不是來自於做推廣的模糊慾念。幾乎正相反的說法倒是真的：所有大數學問題的根源都是特例，是具體的例子。在數學中常見到的一個似乎具有很大普遍性的概念實質上與一個小的具體的特例是一樣的。通常，正是這個特例首次揭示了普遍性。闡述「在實質上是一樣」的一個精確明晰的方法就如同一個定理表述。關於線性泛函的黎茲（Riesz）定理就很典型。固定一個在內積中的向量就定義了一個有界線性泛函；一個有界線性泛函的抽象概念表面上看來具有很大的概括性；事實上，每個抽象概念都是以具體特定的方式產生出來的，那定理也是。

這是我和狄多涅（Dieudonne）似乎各執己見的許多論題中的一個。在馬里蘭，我曾做過一次學術報告，那正好也是狄多涅訪問那裡的許多次中的一次。那次報告的主題是正逼近，我那次選定的問題是：已知一希爾伯特(Hilbert)空間上的任意運算元A，求一個正（非負半定的）運算元P極小化||A-P||。我很幸運：結果發現有一個小的具體的特例，它包含了一切概念，一切困難，一切為理解和克服它們所需要的步驟.我使我的報告緊緊圍繞那個特例，由矩陣 /01\00/定義的C^2上的運算元，我當時感到很自豪：我認為我成功地講清了一個很好的問題及其令人滿意的解，卻沒有因此而陷入與此無關的分析的術語陳式之中去。狄多涅當時表現得禮貌且友好，但事後顯然表現出不屑一顧的態度；我記不清他的原話了，但大意上，他祝賀我的滑稽表演，他對我的報告的印象似乎是「娛樂數學」，這在他的辭彙中是個譏笑的字眼；他認為我的報告趣味有餘，但是做作且輕浮，我認為（現在還繼續認為）問題遠不只如此。我倆評價的相異是我們觀點上的差別造成的。我認為對於狄多涅來說，重要的是那個強大的一般性定理，從這一定理你很容易推出所有你需要的特例來；而對於我來說，最偉大的前進步驟是，很能說明問題的中心例子，從這一例子中我們很容易搞清楚圍在該例子周圍的所有帶普遍性的東西。

作為數學家，我最強的能力便是能看到兩個事物在什麼時候是「相同的「。例如，當我對大衛·伯格（David Berg）定理（正規等於對角加上緊緻）苦苦思索時，我注意到它的困境很像那個證明：每個緊統(Compactam)是康托(Cantor)集的一個連續象，從那時起用不著很大的靈感就可使用經典的表述而不用它的證明了，結果是能取得伯格結果的一種意思明白的新方法。這樣的例子我還可以舉出很多，一些最突出的例子發生在對偶理論中，例如：緊阿貝爾群的研究與傅里葉(Fourier)級數的研究是一樣的，正如布爾代數的研究與不連通的緊豪斯道夫(Hausdorff)空間的研究是一樣的，其它的例子，不是對偶那一類的有：逐次逼近的經典方法與巴拿赫不動點定理是一樣的，概率論與測度論也是一樣的。

這樣一聯繫起來看問題，數學便清楚了；這樣看問題去掉了表象，揭示了實質，他推進了數學的發展了嗎？難道那些偉大的新思想僅僅是看清了兩個東西是一樣的而已嗎？我常常這樣想——但我並不是總有把握的。

說到這裡為止，我是不是已經回答了怎樣做研究這個問題呢？

來源：演算法與數學之美