清華筆記：計算共形幾何講義背景簡介

知識 08-24

計算共形幾何是現代數學和計算機科學交叉的新興學科，一方面將共形幾何的基本概念和定理轉換成計算機演算法，應用於工程和醫療領域；另一方面，建立離散的共形幾何理論，通過無限細分、求取極限來推導連續幾何的相應理論，從而推動純粹數學的發展。

在純粹數學領域，共形幾何是很多領域交叉的區域，例如複變函數理論（Complex Analysis），代數拓撲（Algebraic Topology），代數幾何（Algebraic Geometry）特別是代數曲線（Algebraic Curves）理論，黎曼面（Riemann Surface）理論，微分幾何（Differential Geometry），偏微分方程（Partial Differential Geometry）等等；在計算數學領域，計算共形幾何和計算複變函數理論（Computational Complex Analysis），有限元方法（Finite Element Method）和優化理論（Optimization）都有很深的淵源；在計算機科學領域，計算共形幾何和經典的計算幾何（Computational Geometry），數字幾何處理（Digital Geometry Processing），幾何建模（Geometric Modeling）等學科領域具有密切聯繫。

經典的有限元法主要計算歐氏空間中的偏微分方程，計算共形幾何需要在黎曼流形上求解偏微分方程；有限元法經常計算未知函數，計算共形幾何需要未知的張量（tensor），例如微分形式和黎曼度量。經典的計算複變函數致力於計算平面區域之間的保角變換（conformal mapping），強烈依賴於複變函數方法；計算共形幾何則極大地擴充了計算範圍，致力於計算曲面間的保角變換，因此依賴微分幾何，黎曼面和Teichmuller空間理論等。經典的計算幾何基本上是應用歐氏幾何，計算共形幾何則處理任意帶度量的曲面，因此植根於曲面微分幾何和黎曼幾何。

根據Klein的Erlangen綱領，不同的幾何研究不同變換量。在工程科學中常用的幾何包括拓撲、黎曼幾何以及曲面的微分幾何。拓撲學的範疇過於寬泛，對於幾何形狀和變換的描述過於粗糙而簡略；黎曼幾何只限於等距變換，雖然對於幾何和變換的描述精密而詳盡，但是研究範圍過於狹窄，無法涵蓋一般的變換。例如等距變換保持高斯曲率，黎曼幾何方法無法將彎曲的曲面映到平面上來。共形幾何恰好介於拓撲和黎曼幾何之間，共形結構遠比拓撲結構豐富多彩，同時共形變換遠比等距變換複雜而靈活。因此，共形幾何理論非常適用於處理複雜的幾何計算問題。

計算共形幾何方法比較適用於如下的幾何計算問題：

曲面映射：給定兩張拓撲等價的曲面，如何構造麯面間具有特定性質的映射。例如使得曲面彈性形變能量最小的映射，即所謂調和映照；使得曲面角度畸變最小的映射，即共形映射或者極值擬共形映射；使得曲面的面積畸變最小的映射，即所謂的最優傳輸映射等等。在計算機視覺應用中，曲面映射可以直接用於形狀配准。

形狀分類：我們考慮所有拓撲同胚的帶黎曼度量的曲面構成的形狀空間，在這個空間中設計黎曼度量，計算每個具體曲面的坐標，從而定量衡量形狀的異同，從而實現形狀的分類。在計算機視覺中，幾何分類經常被使用，例如人臉表情分類等等。

形狀分析：從曲面提取幾何特徵來進行分析判斷。例如在醫學圖像領域，通過對大腦皮層幾何的分析進行某些神經疾病的診斷，通過對直腸表面進行幾何分析，來判斷腫瘤等應用。

共形幾何的研究途徑非常豐富，既可以用代數幾何的方法進行，也可以用微分幾何的方法。例如，在代數曲線理論中，每一個黎曼面上都可以被表示成一條代數曲線，曲面上的全純微分形式具有顯式表達；每一個黎曼面上的所有半純函數構成一個域（Field），兩個黎曼面共形等價當且僅當相應的域同構。因此，共形幾何問題可以被轉化為數值代數問題，特別是理想的生成元表示問題。在微分幾何中，曲面的共形不變數往往由某種特殊的幾何偏微分方程來描述，例如曲面的單值化度量由所謂的Yamabe方程來控制。我們這門課程主要是採用微分幾何和偏微分方程的途徑。主要有如下原因：

因為我們設計的演算法為工程實踐服務，處理的都是三維歐氏中的嵌入曲面，具有黎曼獨立。因此相對於抽象的代數幾何方法，微分幾何的計算方案更加直觀，可以直接應用於工程和醫療領域。

代數幾何方法往往給出絕對精確的解，演算法複雜度非常高。例如有關理想生成元表示的最為常見演算法-Groebner基方法，其計算複雜度遠超指數級。幾何偏微分方程方法可以在可控制的範圍內近似，很多時候歸結為凸優化問題，因此計算複雜度較低，穩定性、魯棒性較好，切實可行。

關於幾何偏微分方程方法，已經有大量的現成數值計算、優化、可視化工具，容易開發和推廣新型的演算法。

但是，代數曲線方法具有自身巨大的優勢，例如判定全局對稱性、計算全純二次微分等問題，代數方法更為簡潔優雅。我們相信代數幾何方法具有巨大的潛力，這一方向非常值得進一步探索。

在課程中，我們主要強調三種幾何偏微分方程方法：

調和映照（Harmonic Map）：我們用非線性熱流的方法計算調和映照，這給出了虧格為0封閉曲面的單值化映射，也用於計算曲面的全純二次微分。

霍奇分解（Hodge Decomposition）：我們用霍奇分解方法計算曲面的調和微分形式，進而計算曲面的全純微分，由此可以計算具有複雜拓撲曲面的共形不變數。

里奇流（Ricci Flow）：我們建立完備的離散曲面里奇流理論，證明了存在性、唯一性和離散解到連續解的收斂性。這種方法可以用於計算任意拓撲曲面單值化定理。

這些方法足以應對帶有各種拓撲曲面的共形幾何計算問題，理論上完備嚴密，工程中實用高效。

計算共形幾何的基本理論計算問題如下：

給頂一個帶有黎曼度量的曲面，計算由黎曼度量所決定的共形結構，例如計算局部的等溫坐標；計算曲面的共形不變數，例如共形模，周期矩陣，Fenchel-Nilson Teichmuller坐標；固定曲面的共形結構，尋找最為簡單的黎曼度量，例如單值化度量，簡化拓撲問題；給定目標高斯曲率，計算一個黎曼度量實現目標度量；給定角度畸變，通過求解Beltrami方程來計算相應的擬共形變換；給定曲面映射的同倫類，計算角度畸變最小的極值擬共形映射，如Teichmuller映射等。

雖然這些問題的提法比較理論化，但是它們都有非常堅實的應用背景。

計算共形幾何的理論和演算法在工程和醫療領域具有廣闊的應用前景，在非常多的工程和醫療領域都有其直接應用。

圖1. 計算機圖形學：曲面全局參數化。

圖1顯式了計算機圖形學領域中的全局參數化問題。在計算機遊戲、CG影視技術中，曲面由多面體網格表示，其顏色紋理由二維平面圖像表示。將紋理圖像貼附到曲面上面，這需要求解曲面到平面的微分同胚，即所謂的曲面參數化。我們希望這種曲面參數化盡量保持局部形狀，減小角度畸變，因此共形映射提供了自然的解決方案。同時我們希望盡量保持曲面映射的整體性，曲面整體的單值化定理給出了理論基礎。

圖2. 計算機視覺：動態曲面跟蹤。

圖2顯示了在計算機視覺中的曲面配准，動態形狀追蹤問題。給定兩張曲面，建立曲面間的微分同胚，這被稱為是曲面配准問題（shape registration）；給定一系列動態曲面，建立曲面間的微分同胚。例如圖2中顯示的一系列三維動態人臉曲面，帶有不同的表情變化。我們希望演算法自動建立人臉曲面的微分同胚，得到皮膚表面的逐點對應，從而實現曲面追蹤，表情提取和分析。人臉曲面的幾何變換是非等距的，卻是擬共形的，可以用共形幾何的方法加以解決。

圖3. 幾何建模：流形樣條理論。

圖3顯示了幾何建模領域中流形樣條的例子。在計算機遊戲和影視製作中，曲面可以是連續不可微曲面。在數字製造領域中，數控機床的刀具的軌跡控制需要計算速度和加速度（力量），這要求曲面是二階光滑的。因此，構造全局二階光滑的曲面是幾何建模領域的中心問題之一。我們可以證明，傳統的樣條構造是基於仿射幾何，拓撲複雜曲面上的全局樣條需要曲面具有仿射結構。因為拓撲障礙的存在，一般情形下全局仿射結構並不存在。因此，奇異點無法避免。如何選取奇異點的位置，控制奇異點的指標，構造其餘部分的仿射結構，這些都需要用到計算共形幾何的方法。

圖4. 計算力學：六面體網格化。

圖4顯示了計算力學中六面體網格化的應用。在計算力學中，我們需要求解各種物理偏微分方程，這需要計算實體的剖分。如何將實體剖分成六面體網格，同時具有最少的奇異點和奇異線，這被稱為是網格生成領域的聖杯問題。應用共形幾何中的曲面葉狀結構理論和全純微分理論，我們可以自動構造神聖網格。

圖5. 醫學圖像：共形腦圖。

在醫學圖像中，如何配准人體器官曲面，如何精準測量幾何形狀的相異程度都是基本問題。如圖5所示，人的大腦皮層曲面具有複雜的溝回結構，並且這種結構因人而異。我們用共形映射將大腦皮層曲面映射到單位球面，為皮層上的每點建立經緯坐標，這樣就容易配准大腦皮層曲面，進行精確測量。這為診斷腦神經方面的疾病診斷提供了精準的方法。

圖6. 感測器網路的幾何路由演算法。

如圖6所示，在無線感測器網路（wireless sensor network）中的幾何路由（routing）演算法需要用到每個感測器的坐標。一般情況下，可以用每個感測器的GPS坐標。但是，GPS信號無法穿越水層，因此水下感測器網路需要設計虛擬坐標。我們應用離散共形映射方法，將抽象的圖映射到單位球面上，在投射到平面上面，得到虛擬坐標以利於實現路由演算法。